Contenido Nº1 Factor Común Monomio

Profesora: Tamara Grandón V.
PRIMERO MEDIO
GUIA PREPARATORIA MATEMATICA
UNIDAD 2: ALGEBRA.
CONTENIDOS : Factorizaciones.
NOMBRE: ……………………………………………………………… Fecha: ………..
Contenido Nº1 Factor Común Monomio
I. EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
1) 6x – 12 =
2) 4x – 8y =
3) 24a– 12ab =
4) 10x – 15x2 =
5) 14m2n + 7mn =
6) 4m2 – 20 am =
7) 8a3 – 6a2 =
8) ax + bx + cx =
9) b4 – b3 =
10) 4a3bx – 4bx =
11) 14a – 21b + 35 =
12) 3ab + 6ac – 9ad =
13) 20x –12xy + 4xz =
14) 6x4 – 30x3 + 2x2 =
15) 10x2y – 15xy2 + 25xy =
16) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 =
17) 2x2 + 6x + 8x3 –12x4 =
18) 10p2q3 + 14p3q2 – 18p4q3 – 16p5q4 =
19) m3n2p4 + m4n3p5 – m6n4p4 + m2n4p3 =
20) 3 x 2 y − 8 xy
4
9
2
=
21) 1 a 2 b 3 + 1 a 3 b 4 − 1 a 2 b 5 + 1 a 4 b 2 =
2
22) 4 a
35
4
2
b −
8
16
12
8
16
ab +
a 2b 3 −
a 3b =
5
15
25
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PRIMERO MEDIO
Contenido Nº2 Factor Común Polinomio
II. EJERCICIOS.
1) a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
2) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
3) x2( p + q ) + y2( p + q ) =
4) ( a2 + 1 ) – b (a2 + 1 ) =
5) ( 1 – x ) + 5c( 1 – x ) =
6) a(2 + x ) – ( 2 + x ) =
7) (x + y )(n + 1 ) – 3 (n + 1 ) =
8) (a + 1 )(a – 1 ) – 2 ( a – 1 ) =
9) a( a + b ) – b ( a + b ) =
10) (2x + 3 )( 3 – r ) – (2x – 5 )( 3 – r ) =
Contenido Nº 3 Factor Común por Agrupamiento
III. Inténtalo tú:
1) a2 + ab + ax + bx =
2) ab + 3a + 2b + 6 =
3) ab – 2a – 5b + 10 =
4) 2ab + 2a – b – 1 =
5) am – bm + an – bn =
6) 3x3 – 9ax2 – x + 3a =
7) 3x2 – 3bx + xy – by =
8) 6ab + 4a – 15b – 10 =
9) 3a – b2 + 2b2x – 6ax =
10) a3 + a2 + a + 1 =
11) ac – a – bc + b + c2 – c =
12) 6ac – 4ad – 9bc + 6bd + 15c2 – 10cd =
13) ax – ay – bx + by – cx + cy =
14) 3am – 8bp – 2bm + 12 ap =
15) 18x – 12 – 3xy + 2y + 15xz – 10z =
16) 15 x 2 − 21 xz − 10 xy + 143 yz + 5 x − 7z =
4
4
3
3
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PRIMERO MEDIO
17) 2 am − 8 am − 4 bm + 16 bn =
3
3
5
5
Contenido Nº 4 factorización de la forma x2 +bx +c
IV. EJERCICIOS:
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
1) x2 + 4x + 3 =
7) a2 + 7a + 10 =
2) b2 + 8b + 15 =
8) x2 – x – 2 =
3) r2 – 12r + 27 =
9) s2 – 14s + 33 =
4) h2 – 27h + 50 =
10) y2 – 3y – 4 =
5) x2 + 14xy + 24y2 =
11) m2 + 19m + 48 =
6) x2 + 5x + 4 =
12) x2 – 12x + 35 =
Contenido Nº5
Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c
V. EJERCICIOS :
1) 5x2 + 11x + 2 =
2) 3a2 + 10ab + 7b2 =
3) 4x2 + 7x + 3 =
4) 4h2 + 5h + 1 =
5) 5 + 7b + 2b2 =
6) 7x2 – 15x + 2 =
7) 5c2 + 11cd + 2d2 =
8) 2x2 + 5x – 12 =
9) 6x2 + 7x – 5 =
10) 6ª2 + 23ab – 4b2 =
11) 3m2 – 7m – 20 =
12) 8x2 – 14x + 3 =
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PRIMERO MEDIO
13) 5x2 + 3xy – 2y2 =
14) 7p2 + 13p – 2 =
15) 6a2 – 5a – 21 =
16) 2x2 – 17xy + 15y2 =
17) 2a2 – 13a + 15 =
18) 2x2 + 7x + 5 =
Contenido Nº 6
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
VI. EJERCICIOS :
1) 9a2 – 25b2 =
2) 16x2 – 100 =
3) 4x2 – 1 =
4) 9p2 – 40q2 =
5) 36m2n2 – 25 =
6) 49x2 – 64t2 =
7) 169m2 – 196 n2 =
8) 121 x2 – 144 k2 =
9)
9 2 49 2
b =
a −
25
36
10)
1 4 9 4
y =
x −
25
16
11) 3x2 – 12 =
12) 5 – 180f2 =
13) 8y2 – 18 =
14) 3x2 – 75y2 =
15) 45m3n – 20mn =
16) 2ª5 – 162 a3 =
–6–
Contenido Nº 7
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
VII. EJERCICIOS :
1) b2 – 12b + 36 =
2) 25x2 + 70xy + 49y2 =
3) m2 – 2m + 1 =
4) x2 + 10x + 25 =
5) 16m2 – 40mn + 25n2 =
6) 49x2 – 14x + 1 =
7) 36x2 – 84xy + 49y2 =
8) 4ª2 + 4ª + 1 =
9) 1 + 6ª + 9ª2 =
10) 25m2 – 70 mn + 49n2 =
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PRIMERO MEDIO
11) 25ª2c2 + 20acd + 4d2 =
12) 289ª2 + 68abc + 4b2c2 =
13) 16x6y8 – 8 x3y4z7 + z14 =
14) 9x2 + 30xy + 25y2 =
VIII. EJERCICIOS DIVERSOS:
1) 2ab + 4a2b – 6ab2 =
2) 2xy2 – 5xy + 10x2y – 5x2y2 =
3) b2 – 3b – 28 =
4) a2 + 6ª + 8 =
5) 5a + 25ab =
6) bx – ab + x2 – ax =
7) 6x2 – 4ax – 9bx + 6ab =
8) ax + ay + x + y =
9) 8x2 – 128 =
10) 4 – 12y + 9y2 =
11) x4 – y2 =
12) x2 + 2x + 1 – y2 =
13) (a + b )2 – ( c + d)2 =
14) a2 + 12ab + 36b2 =
15) 36m2 – 12mn + n2 =
16) x16 – y16 =
Contenido Nº 8 factorización para futuros matemáticos
¿Cuáles serán esas?
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
1. DIFERENCIA DE CUBOS :
Ejemplo :
2. SUMA DE CUBOS :
Ejemplo:
8 – x3 = (23 – x3 ) = (2 – x)(4 + 2x + x2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
27a3 + 1 = (3a)3 + 13 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)
IX. RESUELVE
1) 64 – x3 =
2) 8a3b3 + 27 =
3) 27m3 + 6n6 =
4) x6 – y6 =
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1)
a 2 + 2ab + b 2
2)
y4 +1+ 2y2
3)
16 + 40 x 2 + 25 x 4
4)
1 − 2a 3 + a 6
5)
1 + 14 x y + 49 x y
2
6)
7)
8)
4 2
PRIMERO MEDIO
a 2 − 24am 2 x 2 + 144m 4 x 4
a2
− ab + b 2
4
1 25 x 4 x 2
+
−
25
36
3
III. Escribe las siguientes expresiones como multiplicación de factores.
1
− 9a 2
4
1)
x2 − y2
2)
1 − 4m 2
3)
100 − x y
4)
a10 − 49b12
5)
25 x 2 y 4 − 121
10)
6)
a 2 m 4 n 6 − 144
11)
100m 2 n 2 −
7)
256a12 − 289b 4 m10
12)
a 2 n − b 2n
2 6
8)
9)
a2 x6
−
36 25
y2z4
x2
−
100
81
1 8
x
6
IV.
1)
x 2 + 7 x + 10
12)
5 x 2 + 13x − 6
2)
m 2 + 5m − 14
13)
4a 2 + 15a + 9
3)
28 + a 2 − 11a
14)
2 x 2 + 29 x + 90
4)
a 2 + 33 − 14a
15)
30 x 2 + 13 x − 10
5)
x 2 − 17 x − 60
16)
2 x 2 + 3x − 2
6)
x 2 + 8 x − 180
17)
12 x 2 − x − 6
7)
c 2 + 24c + 135
18)
20 y 2 + y − 1
8)
x 2 + 12 x − 364
19)
20n 2 − 9n − 20
9)
y 2 + 50 y + 336
20)
14m 2 − 31m − 10
10)
m 2 − 8m − 1008
11)
3x 2 − 5 x − 2
V.
1)
1 + a3
5)
a 3b 3 − x 6
2)
m3 − n3
3)
8x 3 + y 3
6)
1 + ( x + y) 3
4)
a 3 − 125
7)
( x − y) 3 − 8
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8)
( x + 2 y) 3 + 1
9)
27 x 3 − ( x − y ) 3
VI.
1)
a 3 − 3a 2 b + 5ab 2
2)
4 x 4 + 3x 2 y 2 + y 4
3)
8m 3 − 27 y 6
4)
a 2 + 2ab + b 2 − m 2
5)
1 + 216 x 9
6)
7 x 2 + 31x − 20
7)
5a 2 − 5
8)
3 x 3 − 18 x 2 y + 27 xy 2
9)
x4 − y4
10)
6ax 2 + 12ax − 90a
11)
3 x 4 − 26 x 2 − 9
12)
8x 3 + 8
13)
a 4 − 8a + a 3 − 8
14)
x3 − 4x − x 2 + 4
10)
PRIMERO MEDIO
x 6 − ( x + 2) 3
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PRIMERO MEDIO
XI. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:
a) 3b – 6x =
b) 5x – 5 =
2
d) 16x – 12 =
c) 20u – 55u =
e) 6x –12y + 18=
f) 15x + 20y – 30=
2
2
g) 14c – 21d – 30=
h) 152x yz – 114xyz =
2 2
2
3
3
2
2
3
i) 30m n + 75mn – 105mn =
j) 28pq x + 20p qx – 44p qx + 4pqx=
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
2
2
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=
n) 20abc – 30abd – 60b c + 90b d =
2
2 2
2
2 2
2
ñ) 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y =
o) 4g + 2gh =
2
2
p) 25a – 30ab + 15ab =
q) m – 64 =
2
2
r) 144y – 256 =
s) 144 – 9x =
6
4
v) 25x – 4y =
w) ap + aq + bm + bn=
2
x) xy – x + 3z – 6 =
y) x + xy + xz + yz=
z) 15 + 5x + 3b + xb =
z’) ab + a – b – 1 =
XII. Expresar como un producto:
2
2
a) x + 6x + 8=
2
c) x + 10x – 56=
2
e) y – 7y – 30=
2
g) x – 5x – 84=
2
i) x + 7x – 120=
b) x – 16x + 63=
2
d) x –13x – 48 =
2
f) x – 14x + 48=
2
h) x + 27x + 180=
2
j) x –30x + 216=
XIII. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
a)
c)
e)
g)
2
x + 10x + .........
2
2
m – ......... + 36n
......... + 42x + 49
2
289z + 340 z + ...........
b)
d)
f)
h)
2
y –18y + ...........
2
2
p + ............ + 64p
.......... – 390y + 225
2
64x – 80xy + ............
XIV. Expresar como un cuadrado de binomio:
2
2
2
a) g + 2gh + h =
2
2
c) x + 2xy + y =
2
e) a – 2a + 1 =
2
2
g) 9x –12xy + 4y =
b) 225 – 30b + b =
2
2
d) p – 2pq + q =
2
f) m – 6m + 9=
2
2
h) 36n + 84pn + 49p =
XV. CASO 1: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común
Ejercicios:
2
2) 8x - 8x - 16x
3
2
3 2
1) 3x -15
2
3
2
2
2
3
4
2
3
2 2
2
2
2
6) 34ax + 51a y – 68a y
4
5
9) a –2a + 3a – 4a + 6a
6
2
4) 3x -9xy+3x y -3x y
2
5) 3a b + 6ab – 5a b + 8a bx + 4ab m
8) x – x + x – x
3
3) 3mn + 3mn -6m
20
10) a
16
–a
7) 4x – 8x + 2
12
+a
8
4
2
–a +a –a
XVI. CASO 2: Factor común por agrupamiento de términos
Ejercicios:
2
1) 3ax – 3x + 4y – 4ay
2) a + ab + ax + bx
2
4) ax – 2bx – 2ay + 4by
2
2
2
2
3) am – bm + an – bn
3
5) x – a + x – a x
2
2
2
2
6) 4a – 1 – a + 4a 7) x + x – xy – y
2
8) 3a –7b x + 3ax –7ab 9)2am – 2an +2a – m + n – 1 10)3ax – 2by – 2bx –6a +3ay + 4b
XVII. CASO 3 Trinomio cuadrado perfecto.
Ejercicios:
1) 9 – 6x + x
2
2
2
2) a – 10a + 25
2
4
5) 9b – 30a b + 25a
2
2
3) 16 + 40x + 25x
6) 9a +6a+1
2
4
2
2
4) 4x – 12xy + 9y
2
7) 25m -70mn +49n
8) 400x
10
5
+ 40x + 1
XVIII. CASO 4: Diferencia de cuadrados perfectos
Ejercicios:
6
1) 25y -9
2
2) 9z -1
2
3) 121h - 144k
2
4)
1 2 1 12
x y
256
25
5)
3 2 9 2
x y - xy
4
8
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2 6
2
6) 100 – x y
4
2 4
7) 4x – 81y
PRIMERO MEDIO
2 4
8) 25x y – 121
6
9) 100m n – 169y
2
10) a – 25
XIX. COMBINACIONES DE LOS CASOS 3 Y 4
Ejercicios:
2
2
1) a + 2ab + b – x
2
2
2
2) a – 2a + 1- b
2
2
5) 9 –10n + 25 – n
2
2
2
3) a + 2ax + x – 4 4) n + 6n + 9 -c
2
2
2
6) m – x – 2xy – y
2
2
2
7) 9a – x + 2x – 1
8) 1 – a + 2ax – x
2
2
XX. CASO 5 : Trinomio de la forma x + bx + c
Ejercicios:
2
2
1) x – 5x – 14
2) x – 13x + 40
2
2
5) x – 7x – 30
4
2
6) 14 + 5n – n
2
4
10) x + 5x + 4
2
7) 21a + 4ax – x
2
2
3) y – 9y + 20
2
4) n – 6n – 40
2
4 4
11) x + 7ax – 60a
6
3
8) x – 6x – 7
2 2
8
4
9) x + x – 240
2
12) a b –2a b – 99
13) 48 + 2x – x
4
2
XXI. CASO 6 : Trinomio de la forma ax + bx +c
Ejercicios:
2
2
1) 2x + 3x – 2
2) 12x – x – 6
2
6) 7x – 44x – 35
2
2
10) 21x + 11x – 2
5) 2x + 29x + 90
2
9) 4x + 15x + 9
3
3
2
2
1) a + b = ( a + b) ( a – ab + b )
2
3) 3x – 5x – 2
2
7) 9x + 10x + 1
2
11) 9x + 37x + 4
3
3
2 2
2
3
2
2) x + xy + xz + yz =
2
3) y – 7y – 30 =
2
4) x + 10x – 56 =
2
2
5) 9x –12xy + 4y =
6
4
6) 25x – 4y =
2
7) 0,04 – 9x =
8) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
4
3
9) b - b =
10) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )
2
11) 3m - 7m - 20 =
2
12) 2x + 5x - 12 =
2
13) 8y - 18 =
3
14) 64 – x =
15)
x3 −
1
=
64
2
16) ac - a - bc + b + c - c =
5
3
17) 2a - 162 a =
18)
9 2 49 2
a − b =
25
36
2
8) 4x + x – 33
2
12) 16m + 15m – 15
2
2
2) a – b = (a – b) (a + ab + b )
XXII. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
1) 30m n + 75mn – 105mn =
2
4) 8x – 14x – 15
Profesora: Tamara Grandón V.
PRIMERO MEDIO
XXIV. Trabajo en mi cuaderno: Expreso como un producto de tantos factores como sea
posible:
2
a) 3b – 6x =
b) 5x – 5 =
c) 20u – 55u =
d) 16x – 12 =
e) 6x –12y + 18 =
f) 15x + 20y – 30 =
2
g) 14c – 21d – 35 =
2
2 2
h) 152x yz – 114xyz =
2
i) 30m n + 75mn
3
– 105mn =
3
2
2
3
2
j) 28pq x + 20p qx – 44p qx + 4pqx =
2
k) 4g + 2gh =
l) 25a – 30ab + 15ab =
XXV. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, para ello agrupo adecuadamente:
a) a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
2
b) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
c) x ( p + q
2
)–y(p+q)=
2
d) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
2
e) ( a + 1 ) - b (a + 1 ) =
f) a(2 + x ) -
(2+x)=
g) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
h) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
i) a( a + b ) - b ( a +
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
l) 21ax + 35ay +
b)=
j) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )=
20y + 12x =
2
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by =
2
2 2
2
2
n) 20abc – 30abd – 60b c + 90b d =
2 2
o) 10abx + 4ab x – 40aby – 16ab y =
XXVI. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, si es necesario, más de una vez:
2
2
a) m – 64 =
6
4
2 2
d) 25x – 4y =
4
2
b) 144y – 256 =
c) 144 – 9x =
2 2
2
e) 4a p – 16b q =
4
f)( xy) – 36 =
6
g) 81x – 16y =
2 4
h) 225 - 25x =
4 4
i) x y – x y =
XXVII. Expreso como un producto los siguientes trinomios:
2
a) x + 6x + 8=
2
c) x + 10x – 56=
2
g) x – 5x – 84=
b) x – 16x + 63 =
2
2
d) x –13x
– 48 =
2
f) x – 14x + 48=
2
j) x – 30x + 216=
e) y – 7y – 30=
2
2
i) x + 7x – 120=
2
h) x + 27x + 180=
2
k) x – 7x – 60 =
2
l) x + 14x - 51=
XXVIII. Expreso como un cuadrado de binomio:
2
2
2
a) g + 2gh + h =
b) 225 – 30b + b =
2
2
2
c) x + 2xy + y =
d) p – 2pq
2
+q =
2
2
e) a – 2a + 1 =
2
f) m – 6m + 9=
2
h) 36n + 84pn + 49p =
2
2
g) 9x –12xy + 4y =
Profesora: Tamara Grandón V.
PRIMERO MEDIO
Profe: TAMARA GRANDÓN V.
PRIMERO MEDIO