1.8 Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial

1.8 Ecuación de Bernoulli
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1.8 Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
y´+ p( x) y = f ( x) y n
(1)
Donde n es cualquier número real, se conoce como Ecuación de Bernoulli.
Si n = 0 y n = 1 la ecuación (1), es lineal. Si n ≠ 0 y n ≠ 1 , la sustitución
u = y1− n
(2)
Reduce cualquier ecuación de la forma (1) (ecuación de Bernoulli) a una ecuación lineal.
[13]
Para resolver una ecuación de Bernoulli en y ( x) , primero debemos convertir a una
ecuación diferencial lineal en u ( x) , llevando a cabo la sustitución u ( x) = y1− n , y
resolviendo después la ecuación diferencial lineal para u ( x)
Con un ejemplo indicaremos el procedimiento para resolver una ecuación de Bernoulli, es
decir una ecuación de la forma (1.1).
Ejemplo 1.8.1 Resolver
x
dy
+ y = x2 y 2
dx
Primero se despeja la ecuación y se deja en la forma estándar de Bernoulli (1)
Dividiendo entre x , obtenemos
dy 1
+ y = xy 2
dx x
(3)
identificamos n = 2 , y hacemos la sustitución como en (2)
y = u −1
(4)
Derivando (4)
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dy
du
= −u −2
dx
dx
(5)
Sustituyendo en la ecuación (3)
du 1 −1
−u −2
+ u = xu −2
dx x
(6)
du 1
− u = − x , quedando la forma estándar de una ecuación
dx x
lineal , y usamos el factor integrante
Dividiendo (6), entre −u −2 ,
e
−
1
∫ x dx
= eln( x
−1
)
= x −1
(7)
Multiplicando ambos lados del igual por el factor integrante (7), x −1 (
Simplificando
d −1
( x u ) = −1 , integrando ambos lados del igual
dx
du 1
− u ) = x −1 (− x)
dx x
d
∫  dx ( x
−1

u )  = −1∫ dx

Obtenemos x −1u = − x + c , despejando y restituyendo el valor de y = u −1
Es decir u = y −1 u = − x 2 + cx , por lo tanto y =
Ejercicio 1.8.2
Resolver
1
− x + cx
2
dy 3
x
−
y = 2 con condiciones iniciales
dx 2 x
y
y (1) = 2
Reescribiendo la ecuación en la forma (1)
dy 3
y = 2 xy −1
−
dx 2 x
Observamos que n = −1 , por lo que u = y1− n o bien u = y1−( −1)
u = y2
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(8)
de lo que
(9)
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Derivando (9),
y=u
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du
= 2 y 3 , como y 2 = u entonces
dy
1
2
Donde y
(10)
−1
=u
−1
1
2
dy 1 − 2 du
y
= u
que son los valores que debemos sustituir en la
dx 2
dx
ecuación diferencial.
Entonces sutituyendo en la ecuación (8)
1
1
 −1 
1 − 2 du 3  2 
u
−  u  = 2x  u 2 
dx 2 x  
2


(11)
1
Multiplicando (11) por 2u 2 , resulta
1
1
 1 − 1 du 
2
−
2u 2  u 2
2
u

2
dx


1
 3  1 
2
2
=
u
2
u
  
2
x
   
  − 1 
2 x  u 2 
 
 
(12)
Finalmente de (12),
du 3
− u = 4x
dx x
(13)
Que es la forma estándar de una ecuación lineal donde
integración quedaría como e
−3
∫
dx
x
=e
−3 l( n x )
p ( x) = −
3
y el factor de
x
= x −3
 du 3 
− u  = ( 4 x ) x −3
Multiplicando la ecuación (13), por ese factor de integración x −3 
 dx x 
du
− 3x −2 u = 4 x −2 observamos que el lado izquierdo del igual corresponde a
Quedando x −3
dx
la derivada del factor de integración por la variable dependiente
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d −3
x u ) = 4 x −2
(
dx
(14)
Integrando ambos lados del igual nos queda
x −3 u = −
d
∫ dx ( x u ) = 4∫ x
−3
−2
dx o bien
4
+c
x
(15)
Despejando de (15), u = −4 x 2 + cx 3 , restituyendo los valores de y de (10),
y 2 = −4 x 2 + cx3
Sustituyendo
( 2)
2
las
condiciones
iniciales
x = 1, para y = 2 ,
= −4 (1) + c (1) quedando c = 8 , la solución queda y = −4 x + 8 x
2
3
2
Ejemplo 1.8.3 Resolver y´+
2
tenemos
que
3
2x
2
y=
2
2
x +1
( x2 + 1) y 2
Observamos que la ecuación ya está en la forma estándar (1), identificamos n = −2 ,
hacemos la sustitución de u = y1− n como en (2) , de tal manera que
u = y1−( −2) = y 3
(16)
1
2
diferencial,
u′ +
1 −3 
u´u + 
3

2
3
2
1 −
y y´= u 3 u´ ,valores que debemos sustituir en la ecuación
3

 −2
1
2
2x  3 
2
 u 3 o bien multiplicando por 3u 3 , resulta
=
u

 ( x 2 + 1)2 
x 2 + 1


Entonces y = u 3 , y −2 = u
−
6x
6
u= 2
x +1
( x + 1) 2
2
(17)
Donde (17), es una ecuación diferencial lineal, y por lo tanto la resolvemos por los
métodos ya conocidos.
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p ( x) =
Para el factor integrante
e
(
) = x2 + 1 3
(
)
6x
2x
3 ∫ 2 dx
6x
∫ 2 dx
, por lo que e x +1 = e x +1 ,
2
x +1
o
bien
3 ln x 2 +1
Multiplicando (17), por ese factor de integración, de modo que
(x
2
3
3 
3
 2
d  2
6x  
6
x + 1) u  = 6 ( x 2 + 1)
u =  2
x + 1) , resulta
+ 1) u ′ + 2
(
2 (


dx 
x + 1   ( x + 1) 

Integrando
y así
3
2 x3 + 6 x + c
1 3

2
u
=
1
6
x
+
u
=
x
+
x
+
c
o
bien
(
)


3
3

( x2 + 1)
( x 2 + 1)3 u = x 3 + 3x + c
Por lo que u ( x) =
x3 + 3x + c
( x 2 + 1)3
Pero u = y 3 entonces y =
( x + 3x + c )
x + 3x + c
, finalmente y =
2
3
( x + 1)
( x 2 + 1)
3
3
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3
1
3
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