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PRIMER PUNTO
TEMA A:
5𝑥 2
Determine los puntos máximos y mínimos de: 7𝑥 3 + 2 − 6𝑥 + 8
La derivada es 21𝑥 2 + 5𝑥 − 6, al igualarla a cero: (7𝑥−3)(3𝑥+2) = 0
Quedan: 𝑥 = −2/3 y 𝑥 = 3/7 , de lo cual el máximo es -2/3 y el mínimo es 3/7
TEMA B:
87𝑥 2
Determine los puntos máximos y mínimos de: 18𝑥 3 − 2 + 35𝑥 + 10
La derivada es 54𝑥 2 − 87𝑥 + 35, al igualarla a cero (6𝑥−5)(9𝑥−7)=0
Quedan: 𝑥 = 7/9 y 𝑥 = 5/6 , de lo cual el máximo es 7/9 y el mínimo es 5/6
TEMA C:
41𝑥 2
Determine los puntos máximos y mínimos de: 2𝑥 3 −
+ 63𝑥 + 6
2
2
La derivada es 6𝑥 − 41𝑥 + 63, al igualarla a cero (2𝑥 −9)(3𝑥−7)=0
Quedan: 𝑥 = 7/3 y 𝑥 = 9/2 , de lo cual el máximo es 7/3 y el mínimo es 9/2
SEGUNDO PUNTO
Si se cuenta con (1600𝑐𝑚2 , 1100𝑐𝑚2 , 800𝑐𝑚2 ) de material para hacer una caja con base cuadrada
y tapas cruzadas como se vé en la figura, encuentre el volumen máximo de la caja y sus
dimensiones.
Tema A
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 3𝑏 2 + 4𝑏ℎ
1600 = 3𝑏 2 + 4𝑏ℎ
1600−3𝑏 2 = 4𝑏ℎ
1600 − 3𝑏 2
=ℎ
4𝑏
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2 ℎ
1600 − 3𝑏 2
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2
4𝑏
1600𝑏 − 3𝑏 3
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 =
4
3𝑏 3
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 400𝑏 −
4
Se deriva e iguala a cero
9𝑏 2
400 −
=0
4
𝑏 = ±13.33
b positivo es el máximo
1600 − 13.332
= ℎ = 17.78
6(13.33)
Las dimensiones son:
b=13.33 h=17.78
Tema B
Tema C
2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 3𝑏 + 4𝑏ℎ
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 3𝑏 2 + 4𝑏ℎ
2
1100 = 3𝑏 + 4𝑏ℎ
800 = 3𝑏 2 + 4𝑏ℎ
2
1100−3𝑏 = 4𝑏ℎ
800−3𝑏2 = 4𝑏ℎ
2
1100 − 3𝑏
800 − 3𝑏 2
=ℎ
=ℎ
4𝑏
4𝑏
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2 ℎ
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2 ℎ
2
1100 − 3𝑏
800 − 3𝑏 2
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 2
4𝑏
4𝑏
1100𝑏 − 3𝑏 3
800𝑏 − 3𝑏 3
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 =
4
4
3𝑏 3
3𝑏 3
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 275𝑏 −
𝑉𝑜𝑙𝑚𝑎𝑥 = 200𝑏 −
4
4
Se deriva e iguala a cero
Se deriva e iguala a cero
9𝑏 2
9𝑏 2
275 −
=0
200 −
=0
4
4
𝑏 = ±11.05
𝑏 = ±9.42
b positivo es el máximo
b positivo es el máximo
1100 − 11.052
800 − 9.422
= ℎ = 14.74
= ℎ = 12.58
6(11.05)
6(9.42)
Las dimensiones son:
Las dimensiones son:
b=11.05 h=14.74
b=9.42 h=12.58
TERCER PUNTO
Se va a fabricar una lata que contenga 500ml, 200ml y 850ml de gaseosa. Halle las dimensiones
que minimizaran el costo del metal para fabricar la lata
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 4𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 4𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ
Considere volumen=500ml
Considere volumen=200ml
Considere volumen=850ml
2
2
𝜋𝑟 ℎ = 500
𝜋𝑟 ℎ = 200
𝜋𝑟 2 ℎ = 850
200
500
850
ℎ= 2
ℎ= 2
ℎ= 2
𝜋𝑟
𝜋𝑟
𝜋𝑟
200
500
850
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 4𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟 2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟 2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 4𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟 2
𝜋𝑟
𝜋𝑟
𝜋𝑟
400
1000
1700
2
2
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2𝜋𝑟 +
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2𝜋𝑟 +
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2𝜋𝑟 2 +
𝑟
𝑟
𝑟
Se deriva e iguala a cero
Se deriva e iguala a cero
Se deriva e iguala a cero
400
1000
1700
𝐴′ 𝑠𝑢𝑝 = 4𝝅𝑟 − 2 = 0
𝐴′ 𝑠𝑢𝑝 = 4𝝅𝑟 − 2 = 0
𝐴′ 𝑠𝑢𝑝 = 4𝝅𝑟 − 2 = 0
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟 = 3.16
𝑟 = ±8.92
𝑟 = 5.13
b positivo es el máximo
b positivo es el máximo
b positivo es el máximo
500
500
500
ℎ=
= 5.07
ℎ=
= 0.63
ℎ=
= 1.92
2
2
𝜋(3.16)
𝜋(8.92)
𝜋(5.13)2
Las dimensiones son:
Las dimensiones son:
Las dimensiones son:
r=3.16 h=5.07
r=8.92 h=0.63
r=5.13 h=1.92