De Mozart a Einstein Mozart Chopin Debussy Schöenberg Newton

De Mozart a Einstein
Mozart
Newton/Leibniz
Chopin
Gauss
Debussy
Poincaré
Schöenberg
Einstein/Hausdorff
De la caja a la red en mátemáticas y música
Capi Corrales Rodrigáñez1
1
Publicado en “El Adelantado de Indiana” nº 4, Noviembre 2006, www.adelantadodeindiana.co.nr
Introducción
Si salimos a la calle, y pedimos a las personas que nos vayamos encontrando, los
nombres de un científico y un músico, probablemente todas mencionarán el nombre de
Einstein y casi todas el de Mozart. Con un año de diferencia (Einstein murió en 1955 y
Mozart nació en 1756), hemos celebrado el cincuenta aniversario de la muerte del
primero y el doscientos cincuenta del nacimiento del segundo.
Albert Einstein fue, entre otras cosas, el descubridor de la teoría de la relatividad. Las
teorías científicas se basan en el conocimiento de los hechos que se tiene en cada
momento, y según vamos sabiendo más, vamos completando nuesstras teorías. Por eso,
ninguna teoría científica es la última y definitiva explicación de algo, ni invalida a las
anteriores, sino que las completa. La teoría de la gravedad de Newton —que murió
veintitantos años antes de que naciese Mozart—, explica con mucha precisión qué
ocurre cuando una manzana cae de un árbol, o cuando tenemos en cuenta el campo de
gravedad de tan sólo dos cuerpos celestes. Pero en cuanto consideramos tres o más
cuerpos celestes moviéndose por el espacio, la teoría de la gravedad de Newton se nos
queda corta para explicar lo que ocurre. A principios del siglo XX, Einstein encontró un
modelo más completo que explica cómo funciona la gravedad: la teoría general de la
relatividad. El modelo de Einstein no invalida el de Newton: allá donde el de Newton es
adecuado, ambos coinciden. Pero la teoría de Einstein permite explicar fenómenos para
los que la de Newton resulta insuficiente.
La teoría de la relatividad de Einstein, además de ser una pieza fascinante y de enorme
bellaza, tiene el atractivo añadido de haber puesto en tela de juicio las concepciones de
espaciales que la cultura occidental ha sostenido desde los inicios de la revolución
científica del siglo diecisiete. Las implicaciones que para los conceptos de espacio y
tiempo tiene la teoría de la relatividad, contribuyeron de manera esencial a que
cambiase radicalmente el imaginario de nuestra cultura a principios del siglo XX.
“Espacio y tiempo. Términos usados en filosofía para describir la estructura de la
naturaleza. A veces son descritos como contenedores en los que ocurren todos los
sucesos y procesos naturales, y a veces como relaciones que conectan tales sucesos.”
(Enciclopedia Collier's, 1968).
Curiosamente, las dos palabras, contenedor y relación describen, respectivamente,
la idea de espacio que encontramos en época del nacimiento de Mozart, cuando la
noción de espacio se menciona explícitamente por primera vez en matemáticas (en
cartas de Newton) y se describe por primera vez con precisión (en el apéndice a
Introductio de Euler, en 1748, [Eu]), y la idea de espacio en las matemáticas
contemporáneas a Einstein (definido con precisión por Hausdorff en 1914, [Ha]).
Reflexionando sobre estas cuestiones con el compositor Juan Manuel Artero,
caimos en la cuenta de que la relación entre música y matemáticas está muy aceptada,
pero más allá de los pitagóricos y sus trabajos con la escala musical —interesantísimos,
pero con más de dos mil quinientos años de antigüedad— las referencias a esta relación
suelen ser muy vagas. De hecho, en su formación como compositor nunca le enseñaron
nada sobre matemáticas, y en la mía como matemática nunca me enseñaron nada sobre
composición musical. Puesto que a él le encantaría saber matemáticas y a mí me
encantaría saber música, como homenaje a Mozart y a Einstein, y como regalo mutuo,
se nos ocurrió llevar a cabo un experimento (juego) teórico.
Primero yo construí para Artero un esquema con las fases por las que ha pasado
la noción de espacio en matemáticas desde la época de Mozart hasta Einstein, y se lo
ilustré con algunas de las imágenes que lo propios matemáticos habían incluido en sus
textos y con algunos de los cuadros que se estaban pintando mientras los distintos
conceptos matemáticos se cocinaban. A continuación, Artero se estudió el esquema,
eligió partituras compuestas desde visiones espaciales contemporáneas a las
matemáticas. y las fue insertando en las correspondientes fases. Finalmente, nos
preguntamos y discutimos mutuamente hasta que llegamos a una versión definitiva que,
juntos explicamos a la pianista Marta Alfaro. El 26 de junio de 2006, en una velada
matemático-musical, presentamos nuestro esquema en el Museo CosmoCaixa de
Ciencias de Alcobendas. Artero explicaba las partituras, Marta las interpretaba al piano
y yo las enmarcaba en el imaginario espacial matemático de su época. Entre las fases
dos y tres hicimos un descanso práctico en el recorrido teórico, presentamos la máquina
de calcular de Leibniz y la de componer de Mozart y, con la colaboración entusiasta del
público utilizamos la última para componer en vivo piezas cortas que Marta iba
interpretando.
De Mozart a Einstein
Mozart
Newton/Leibniz
Chopin
Gauss
Debussy
Poincaré
Schöenberg
Einstein/Hausdorff
Fase 1: Los precursores
Galileo Galilei (1564-1642), Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Hasta mediado el siglo XVII, los matemáticos no piensan en el espacio, están dónde
están y tiran para adelante como pueden, utilizando una geometría euclídea básica (la
geometría de círculos, triángulos y rectas que todos estudiamos en la escuela). Avanzan
siempre en horizontal, como las rectas de geometría euclidea, que se pueden prolongar
ilimitadamente. En este avance, no les preocupa la precisión. Si las cosas funcionan,
funcionan, y no le dan más vueltas.
Johann Sebastian Bach (1685-1750)
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Geometría de los indivisibles, 1635
Fase 2: La caja
Isaac Newton (1642-1727) G.W. Leibniz (1646-1716) Leonard Euler (1707-1783)
El primer matemático en pensar el espacio como una enorme caja fue Newton. Él y
Leibniz inventan el cálculo infinitesimal, poderosísima herramienta con la que Euler
puede, entre otras cosas, describir el espacio-contenedor con toda precisión.
Utilizan como herramientas la geometría euclídea, las simetrías, las imágenes
especulares, y la repetición, y llevan a cabo su trabajo en bloques verticales.
Describen el movimiento como en el cine, a base de fotogramas verticales que avanzan
horizontalmente en el tiempo.
En esta época la geometría euclídea se convierte en una herramienta muy poderosa para
describir el mundo tal cual lo ven los ojos. Trabajos como Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica de Newton (1687) y Las meninas de Velázquez (1657),
convirtieron el espacio euclídeo en el modelo científico y artístico para describir el
universo, y en las lentes a través de las cuales la cultura occidental lo observaba y
definía, En el siglo XVIII es espacio ya se pensaba y representaba en toda la cultura
occidental como un contenedor dotado de las propiedades del espacio euclideo
(tridimensional, infinito, homogéneo y sin ofrecer resistencia al movimiento de las
cosas).
Wolfang Amadeus Mozart (1756-1791)
Velázquez, Las meninas (1657)
Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
Fase 3: Coordenadas intrínsecas: las superficies de las cosas
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Bernhard Riemann
Los matemáticos, conscientes de las limitaciones de sus construcciones y modelos —ya
hemos comentado que no funcionaban, por ejemplo, para describir el movimiento
relativo de tres cuerpos celestes—, siguieron puliéndolos, intentando extenderlos más
allá de sus límites. Hacia 1800, y a través de los trabajos de Gauss, se acercaron a las
superficies de las cosas, dejando de mirarlas como fronteras precisas entre la cosas, y
empezando a considerarlas como mundos en sí mismas.
En 1828 Gauss publicó sus reflexiones en Disquisitiones generales circa superficies
curvas, un texto muy famoso que dio origen a la geometría diferencial moderna, en el
que Gauss abrió el camino al estudio de las superficies como cuerpos en sí mismas, esto
es, desde un punto de vista intrínseco, y en el que demostró que no es necesario
describir el espacio ambiente que rodea a una superficie para describirla con toda
precisión.
En menos de medio siglo, los matemáticos estuvieron preparados para dar el difícil paso
de permitirse a sí mismos pensar de otra manera —Riemann, extendiendo en 1854 las
nociones espaciales a objetos que no formaban parte de un espacio euclídeo, es un
ejemplo excelente de este pensar de otra manera—; las matemáticas modernas habían
nacido.
Frédéric Chopin (1810-1849)
Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828)
Goya, Las pinturas negras (1814)
Fase 4: No importa ni el tamaño ni la forma, sino las conexiones entre las cosas.
Henri Poincaré (1854-1912)
A finales del siglo XX Poincaré desarrolló una nueva forma de geometría llamada
topología (que había sido inventada por Euler en el siglo XVIII), en la que el tamaño y
la forma no importan, sólo importan las conexiones entre las cosas: todo vale mientras
haya continuidad sin roturas o nuevas conexiones.
A la topología se la conoce por muchos nombres: las matemáticas de la plastelina,
las matemáticas de la goma elástica, las matemáticas de los espejos de feria, etc. Son las
matemáticas de la continuidad, las matemáticas que estudian las propiedades de las
figuras que permanecen inalterables bajo los cambios graduales, cambios que, como el
estirar una superficie elástica sobre la que hemos dibujado el plano de una red de Metro,
tienen lugar poco a poco y sin alteraciones dramáticas ni súbitas. A las alteraciones
dramáticas y súbitas las llamamos en matemáticas “discontinuidades”, mientras que los
cambios pausados y graduales, son “continuos”. Un alfarero, sentado en un torno, va
transformando de manera continua una bola de barro en un plato, un vaso o un jarrón.
No importa el tamaño ni la forma que tenga el objeto: si se puede producir a partir de
una bola de una forma continuada, para la topología se trata de una misma cosa. Un
plato, un vaso o un jarrón son objetos topológicamente equivalentes. Para producir una
taza con asa a partir de una bola de barro, el alfarero tendrá que producir un agujero,
tendrá que romper adherencias. No podrá hacerlo sin cortar, sin discontinuidades, sin
cambios abruptos. Pero una vez que tenga hecho el agujero en la bola, una vez que
tenga una rosquilla entre las manos, podrá, sin problemas y con suavidad, convertirla en
una taza, un cilindro o el marco de un cuadro.
Veamos un ejemplo concreto. Tomemos un plano de Madrid y una gráfica de la red del
metro, y tracemos sobre el plano una línea recta que una la Puerta del Sol con la Plaza
de Antón Martín. Observamos que esa línea no pasa por la Plaza de Tirso de Molina.
Sin embargo, en la gráfica del metro, el tramo de la línea 1 que une las paradas Sol y
Antón Martín, pasa por Tirso de Molina. En la gráfica del Metro no importan ni la
trayectoria real de las vías del tren, ni la distancia exacta entre las paradas; sólo importa
cuántas paradas hay y cómo están conectadas unas con otras. Dicho con otras palabras:
no importa el tamaño ni la forma, sólo las conexiones. La gráfica del metro es un
ejemplo de lo que en matemáticas se conoce como gráfica topológica.
Claude Debussy (1862 -1918)
Juan Gris, Guitarra con incrustaciones (1925), La ventana abierta (1921),
Guitarra frente al mar (1925)
Fase 4: La red de relaciones
Felix Hausdorff (1868-1942), Albert Einstein (1879-1955)
El proceso de desarrollo de las nuevas ideas fue largo y difícil, y exigió un grado muy
alto de abstracción. Muchos de los conceptos nuevos que fueron surgiendo en el
camino, basados en intuiciones espaciales radicalmente nuevas, cambiaron
sistemáticamente la visión espacial de los matemáticos. Sin embargo, sus campos de
percepción seguían ligados a estructuras euclídeas. El paso definitivo lo tomó Felix
Hausdorff en 1914 cuando, utilizando de manera esencial la topología, definió los
espacios abstractos en matemáticas. Desde 1914, un espacio en matemáticas (nótese que
ya no es el espacio, sino un espacio) consiste en dos cosas, cualquier conjunto de cosas
y una red de relaciones entre esas cosas.
Arnold Schöenberg (1874-1951)
Picasso, Las meninas (1957)
Einstein, Teoría de la relatividad (1915)