MA2323 - Departamento de Matemáticas

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓNd DIVISIÓN
Física y Matemáticas
DEPARTAMENTO
Matemáticas Puras y Aplicadas
CÓDIGO
MA2323 ASIGNATURA Análisis III
REQUISITOS
MA2322
HORAS/SEMANA
T.4
P.2
L.0
UNIDADES CRÉDITO:
VIGENCIA
Propuesta a partir de septiembre 2009
AUTORES
Sección de Análisis
4
PROFESOR
JUSTIFICACIÓN
Este es un curso orientado al estudio riguroso de las nociones de diferenciabilidad de
campos escalares y vectoriales, así como también de las distintas nociones de integración
para funciones de varias variables reales: integrales de línea, integrales múltiples e
integrales de superficie. Es importante destacar que para el momento de tomar este curso el
alumno ya estará familiarizado con muchas nociones y aspectos técnicos del cálculo
diferencial e integral de funciones de varias variables reales, puesto que ya habrá tomado y
aprobado los cursos de Cálculo Avanzado.
Por lo tanto, el propósito principal de este curso es estudiar bajo condiciones más generales,
y con atención a los detalles, la mayoría de los resultados de los cursos de Cálculo 5 y
Cálculo 6 del bloque de Cálculo Avanzado.
OBJETIVOS
Generales:


Estudiar los resultados clásicos asociados a diferenciabilidad de campos escalares y
vectoriales.
Estudiar las distintas nociones de integración para funciones de varias variables
reales: integrales de línea, integrales múltiples e integrales de superficie.
Específicos: Una vez aprobada la asignatura el alumno debe estar en capacidad de:


Formular y demostrar los principales resultados clásicos asociados a
diferenciabilidad de campos escalares.
Formular y demostrar los principales resultados clásicos asociados a las distintas
nociones de integración para funciones de varias variables.
CONTENIDO PROGRAMÁTICO
1. Cálculo diferencial de campos escalares. Campos escalares y vectoriales.
Derivadas direccionales y continuidad. La diferencial. Gradiente. Condición
suficiente para la diferenciabilidad. Regla de la cadena. Derivadas parciales mixtas.
Fórmula de Taylor.
2. Aplicaciones. Derivadas de funciones definidas implícitamente. Máximos y
mínimos. Extremos de funciones de dos variables. Extremos condicionales.
Multiplicadores de Lagrange.
3. Función inversa e implícita. Método de Newton y contracciones. Teorema del
valor medio en varias variables. Teorema de la función inversa. Teorema de la
función implícita.
4. Integrales de línea. Concepto de trabajo como integral de línea. Integrales con
respecto a la longitud de arco. Conjuntos conexos. Integrales independientes del
camino de integración. Potencial Newtoniano. Teorema Fundamental del Cálculo
para integrales de línea. Condiciones para que un campo vectorial sea un gradiente.
5. Integrales múltiples. Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas. Integral
doble de funciones escalonadas. Propiedades. Integral de funciones acotadas
definidas en rectángulos. Integración doble iterada. Interpretación de la integral
doble como volumen. Integrales dobles en regiones más generales. Cálculo de áreas
y volúmenes. Otras aplicaciones: dos teoremas de Pappus. Teorema de Green en el
plano. Aplicaciones del Teorema de Green. Teorema de Green en regiones de
conexidad múltiple. Cambio de variables en integrales dobles: casos particulares.
Integración en dimensiones mayores que 2. Cambio de variables en dimensiones
mayores que 2: demostración del caso general.
6. Integrales de superficie. El rotacional y la divergencia. Teorema de Stokes.
Teorema de la divergencia de Gauss. Opcional: Enfoque general en el marco de las
formas diferenciales.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZAAPRENDIZAJE
El curso consiste de 6 horas semanales, distribuidas en 4 horas de teoría, donde el profesor
expone el contenido del mismo, y 2 horas de práctica, donde el preparador y los estudiantes
trabajan y/o discuten los ejercicios propuestos para cada tema.
Opcional: También dependiendo de la metodología usada por el profesor para impartir sus
clases, suelen asignarse tareas periódicas que motivan al estudiante a mantenerse al día
con la materia y que en consecuencia facilitan su comprensión de las clases.
ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
Usualmente al inicio de clases (Semana 1 del periodo lectivo) el profesor encargado del
curso propone al estudiante un cronograma de evaluación que comprende las fechas,
ponderaciones y los contenidos de cada evaluación.
Algunos profesores de la sección distribuyen los porcentajes de la evaluación de la forma
siguiente: Un 85% de la calificación del curso corresponde a la aplicación de dos
exámenes parciales y el 15% restante corresponde a las actividades de práctica
(distribuidas entre “quices” y/o tareas).
Otros profesores de la sección distribuyen el 100% de la calificación del curso entre la
aplicación de exámenes parciales.
En cualquiera de los casos, las estrategias de evaluación del curso serán siempre
presentadas a los estudiantes en la Semana 1. El profesor podrá incorporar a estas
estrategias sugerencias provenientes de sus alumnos.
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA
1. T. Apostol, Análisis Matemático. Editorial Reverté. 1974. Capítulos 12 y 13.
2. T. Apostol, Cálculo. Tomo II. Editorial Reverté. 1989. Capítulos 9, 10, 11 y 12.
3. R. Courant, Differential and Integral Calculus. Wiley-Interscience. 1st Edition.
1988. Vol. II: Capítulos II, III, IV y V.
Disponible online.
4. M. Spivak, Calculus on Manifolds. Westview Press. 5th Edition. 1971.
DISTRIBUCIÓN DE LAS CLASES A LO LARGO DEL TRIMESTRE.
SUGERENCIA PARA EL PROFESOR ENCARGADO DEL CURSO
Con la intención de que todos los temas propuestos en el programa sean impartidos y
evaluados a lo largo del trimestre y dado que este programa debe ajustarse a los contenidos
de los cursos de Cálculo 5 y Cálculo 6 del bloque de Cálculo Avanzado, la Sección de
Análisis propone la siguiente distribución por clases de los contenidos de cada tema del
curso:
Tema
T1: Cálculo diferencial de campos
escalares vectoriales
T2: Aplicaciones
T3: Función inversa e implícita
T4: Integrales de línea
T5: Integrales múltiples
T6: Integrales de superficie
Nro. de clases de teoría
3
2
2
4
6
3
Distribución de clases y exámenes a lo largo del trimestre (esta distribución puede variar
según el cronograma de evaluación propuesto por el profesor):
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Clases semanales
T1 – T1
T1 – T2
T2 – T3
T3 – T4
T4 – T4
T4 – Repaso
Examen – T5
T5 – T5
T5 – T5
T5 – T6
T6 – T6
Repaso – Examen