Tercer Examen Sorpresa Algebra Lineal Primer Semestre 2015

Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Considere P 3 (x) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 en la variable x con
coeficientes reales con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalar. Pruebe que el siguiente conjunto
de polinomios es una base para P 3 (x)
©
ª
BP 3 (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = 1 + 2 x + x2 , p4 (x) = x2 + x3
Determine el vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 , respecto a la base BP 3 (x) .
Solución Tercer Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Para verificar que se trata de una base, es conveniente recordar que la dimensión del espacio vectorial P 3 (x) es
4, por lo que, si el conjunto tiene cuatro vectores, es necesario unicamente probar que es linealmente independiente.
Considere la combinación lineal
λ1 p1 (x) + λ2 p2 (x) + λ3 p3 (x) + λ4 p4 (x)
=
0
=
0
λ1 p1 (x) + λ2 p2 (x) + λ3 p3 (x) + λ4 p4 (x)
=
0
λ1 (1) + λ2 (1 − x) + λ3 (1 + 2 x + x2 ) + λ4 (x2 + x3 )
=
0
2
2
3
λ1 (1) + λ2 (1 − x) + λ3 (1 + 2 x + x ) + λ4 (x + x )
El sistema de ecuaciones correspondiente está dado
El sistema resultante de ecuaciones está dado por
λ1 + λ2 + λ3 + 0λ4
=
0
−λ2 + 2 λ3 + 0 λ4
λ3 + λ4
=
=
0
0
λ4
=
0
De la cuarta ecuación, se tiene que λ4 = 0, sustituyendo en la tercera ecuación, se tiene que λ3 = 0, sustituyendo
este resultado en la segunda ecuación, se tiene que λ2 = 0. Finalmente, sustituyendo estos resultados en la primera
ecuación, se tiene que λ1 = 0. El conjunto es linealmente independiente y puesto que la dimensión de P 3 (x) es 4. El
conjunto es una base.
Finalmente, para determinar el vector coordenado de q(x) = 1+3 x+2 x2 +4 x3 respecto a la base BP 3 (x) , considere
la ecuación
λ1 p1 (x) + λ2 p2 (x) + λ3 p3 (x) + λ4 p4 (x)
λ1 (1) + λ2 (1 − x) + λ3 (1 + 2 x + x2 ) + λ4 (x2 + x3 )
= q(x)
= 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3
El sistema resultante de ecuaciones está dado por El sistema resultante de ecuaciones está dado por
λ1 + λ2 + λ3 + 0λ4
=
1
−λ2 + 2 λ3 + 0 λ4
λ3 + λ4
λ4
=
=
=
3
2
4
De la cuarta ecuación, se tiene que λ4 = 4, sustituyendo en la tercera ecuación,
λ3 + 4 = 2
λ3 = −2
sustituyendo este resultado en la segunda ecuación,
−λ2 + 2 (−2) = 3
λ2 = −7
Finalmente, sustituyendo estos resultados en la primera ecuación,
λ1 − 7 − 2 = 1
λ1 = 10
se tiene que λ1 = 10. El vector coordenado de q(x) = 1 + 3 x + 2 x2 + 4 x3 respecto a la base BP 3 (x) , está dado por
(10, −7, −2, 4)