0503_ Din\341mica de Rotaci\363n.doc

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0503) Dinámica de Rotación
N
1
2
K = ∑ mn ( Rnω )
2
n =1
A) Inercia Rotacional
Los factores ½ y ω son iguales para todos los sumandos, así que pueden sacarse fuera de la suma:
En las rotaciones, tal como en las traslaciones,
existe una inercia y un principio que la rige. El
principio de inercia para rotación dice que “todo
cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y
todo cuerpo en movimiento rotatorio seguirá
con ese movimiento, salvo que sobre él actúen
torques exteriores que le obliguen a modificar
esos estados”. Así, todo cuerpo en rotación
constante tiende a mantener constante su vector
velocidad angular.
K=
Podemos escribir la energía cinética del objeto rígido como:
K=
Figura 1) Persona tratando de girar una
En la figura 1 apreciamos a una persona tratando
rueda
de mover el eje de una rueda. Debido a la inercia
rotacional, si la rueda gira con velocidad angular
nula, cuesta mover su eje, mientras que si la velocidad angular es nula, resulta fácil cambiar la
dirección del eje.
Momento de Inercia
Cuando un objeto rígido como el de la figura 2 gira con
una velocidad angular ω, existe una energía cinética
asociada a su rotación. El cuerpo puede ser
descompuesto en un gran número N de pequeñas
partículas, cada una de masa mn con rapidez tangencial
vn, y una distancia Rn del centro de rotación.
Cada partícula tiene asociada una energía cinética:
1
K n = m nv n2
2
1 2 N
2
ω ∑ mn ( Rn )
2 n =1
Figura 2) Cuerpo rígido girando
La energía cinética K de todo el objeto rígido es la suma de las energías cinéticas de las N
partículas que la componen. Así:
N
N
1
K = ∑ K n = ∑ mnv n2
n =1
n =1 2
Las diversas partículas poseen diferentes velocidades tangenciales, pero como el objeto es rígido,
todas las partículas tienen el mismo módulo de velocidad angular ω. Usando la relación v n = Rnω ,
podemos escribir la energía cinética del objeto rígido como:
1 N
1

∑ mnRn2  ω 2 = 2 Iω 2
2  n =1
Donde I es el momento de inercia (o inercia rotacional) del objeto, definido como:
N
I = ∑ mn Rn2
n =1
El momento de inercia se mide en [kg·m2] (MKS) y es
una cantidad física escalar. Como se desprende de la
definición, depende de:
• Las masas de las partículas del objeto rígido.
• La distancia entre las partículas y el eje de giro
En general, un mismo cuerpo tiene diferentes momentos
de inercia dependiendo del eje de giro. En un objeto o
sistema de masas, mientras más lejos estén las masas
de un sistema del centro de giro, mayor es el momento
de inercia y más cuesta hacerlo girar. Así, los sistemas
mostrados en la figura 3, en los cuales la masa está
cerca del eje de giro, tienen baja inercia rotacional, por lo
que son fáciles de girar. Por el contrario, los
sistemas de la figura 4 tienen mayor concentración
de masa lejos del eje de giro, por lo que su
momento de inercia es mayor y son por tanto más
difíciles de hacer girar
Figura 3) Sistemas con masas
cercanas al eje de giro
La idea de momento de inercia permite explicar la
razón de ciertos fenómenos de la vida cotidiana:
Figura 4) Sistemas con masas cercanas al
• En la figura 5a se aprecian dos péndulos,
eje de giro
uno corto y otro largo. Como el péndulo
corto tiene menor inercia rotacional que el
péndulo largo, resulta más fácil hacerlo oscilar, lo que es coherente con el hecho de que su
frecuencia de oscilación es mayor.
3
4
•
•
•
•
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Sosteniendo una vara larga, el equilibrista de la cuerda floja de la figura 5b aumenta su
inercia rotacional. Así, se hace
más difícil que vuelque
producto de un eventual
desequilibrio, disponiendo de
tiempo
suficiente
para
reajustar su centro de masa
mientras avanza.
Dadas distribuciones de masa
semejantes, las patas cortas
tienen menor inercia rotacional
que las patas largas. Así, los
animales de patas cortas
Figura 5) Momento de inercia y la vida cotidiana. (a)
pueden correr más rápido que
péndulo; (b) equilibrista; (c) animales de patas largas y
los de patas largas, como la
cortas. (d) persona corriendo; (e) cilindros cayendo en un
jirafa de la figura 5c.
plano inclinado.
Observando la figura 5d,
podemos entender porqué
doblamos las piernas al correr.
Al hacerlo, reducimos su inercia
rotacional, con lo que se hace
más fácil hacerlas girar.
En el caso de los cilindros de
igual masa cayendo en un plano
inclinado mostrados en la figura
5e, el cilindro sólido (masa
repartida en todo el cilindro)
tiene menor inercia rotacional
Figura 6) Ejes de giro del cuerpo humano
que el cilindro hueco (que tiene
toda la masa concentrada lejos
del eje de giro del cilindro): Luego, el cilindro sólido rodará más aprisa, y llegará antes al
punto más bajo del plano inclinado.
El cuerpo humano puede girar libremente y en forma estable alrededor de los tres ejes principales de
rotación mutuamente perpendiculares, que se muestran en la figura 6. Estos son: longitudinal, medio
y transversal. La inercia rotacional más pequeña es respecto al eje longitudinal (eje vertical que va
de la cabeza a los pies) pues la mayor parte de la masa se concentra alrededor de este eje. Por ello,
resulta más fácil rotar alrededor del eje longitudinal que de los otros dos.
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Momento de Inercia de diferentes cuerpos.
Figura
Descripción
Péndulo Simple
Valor del Momento de Inercia
Aro girando en torno a su eje
normal
I = mr 2
Aro girando en torno a un
diámetro
1
I = mr 2
2
2
I = mr 2
3
I = mr 2
Aro girando en torno a una
línea tangente
Cilindro anular (anillo), con
respecto al eje del cilindro
1
I = m ( R12 + R22 )
2
Cilindro sólido, con respecto al
eje del cilindro
1
I = mR 2
2
Cilindro de largo L alrededor de
un diámetro central
Barra delgada girando en torno
a su Centro de Masa
I=
mR 2 mL2
+
4
12
I=
1
m2
12
Barra delgada girando en torno
de uno de sus extremos
1
I = m 2
3
Esfera rellena girando en torno
a cualquiera de sus diámetros
2
I = mR 2
5
Esfera hueca (cascarón
esférico) girando en torno a
cualquiera de sus diámetros
2
I = mR 2
3
5
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Placa rectangular girando en
1
torno a su Centro de Masa
I= m
12
Placa rectangular girando en
torno a uno de sus bordes.
(a
2
+ b2 )
1
I = ma 2
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Sumando N partículas que conforman el cuerpo rígido completo, se puede calcular que el momento
total de inercia Icm en torno al centro de masa es:
N
N
n =1
n =1
Icm = ∑ Icmn = ∑ mn ( x n2 + y n2 )
Por otra parte, el momento de inercia IP en torno a P es:
N
N
2
2
IP = ∑ IPn = ∑ mn ( xn − a ) + ( y n − b ) 


n =1
n =1
Teorema de los Ejes Paralelos
Un cuerpo tiene infinitos momentos de inercia, pues en
número de ejes de giro que podría tener es infinito.
Existe una relación simple entre el momento de inercia
Icm de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que
pasa por el centro de masa y el momento IP alrededor
de cualquier otro eje paralelo al original pero
desplazado una distancia d. Esta relación es el
teorema de los ejes paralelos, y dice que:
Expandiendo los cuadrados y reagrupando:
N
IP = ∑ mn  x n2 − 2ax n + a 2 + y n2 − 2by n + b 2 
n =1
N
N
N
n =1
n =1
= ∑ mn ( xn2 + y n2 ) − 2a ∑ mn x n − 2b ∑ mn y n
n =1
N
+ ∑ mn ( a + b
2
IP = I cm +Md 2
2
)
n =1
A continuación, se demostrará este teorema
Figura 7) Cuerpo rígido (demostración
del teorema de los ejes paralelos)
Analizando los términos:
N
Tomando como referencia el cuerpo rígido de la figura 11, considere dos ejes paralelos al eje z, uno
que pasa por el centro de masa y otro que pasa por P.
El origen O de nuestro sistema está en el centro de masa (xcm= ycm = zcm= 0). El eje de por el centro
de masa pasa por el punto O.
∑m (x
n
2
n
+ y n2 ) = Icm
n =1
N
2a ∑ mn xn = 2axcm = 0
El eje paralelo pasa por el punto P, cuyas coordenadas (x, y) son (a,b).
n =1
N
2b ∑ mn y n = 2by cm = 0
La distancia entre este eje y el eje que pasa por centro de masa es d, donde
n =1
N
d = a2 + b2
Considere una partícula de masa mn, a distancias xn, yn y zn del origen O. El momento de inercia Icmn
en torno al centro de masa es:
Icmn = mn ( x n2 + y n2 )
El momento de inercia IPn en torno a P es:
2
2
IPn = mn ( xn − a ) + ( y n − b ) 


∑ m (a
n
n =1
2
N
N
n =1
n =1
+ b 2 ) = ∑ mnd 2 =d 2 ∑ mn =Md 2
Finalmente, IP = I cm +Md 2 , con lo que queda demostrado el teorema de los ejes paralelos.
B) 2º Principio de Newton para Rotación
Considere el cuerpo rígido de la figura 8, formado por N partículas, cada una de masa mn y a
distancia rn del centro de giro 0, y que sufre una fuerza neta Fn .
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La fuerza neta se descompone en una componente radial Fradn , que no ejerce torque, y en una
componente tangencial Ftann , que si ejerce torque. La 2º Ley de Newton para la componente
tangencial es, en magnitud:
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Así, se llega a la 2º Ley de Newton para la rotación de un cuerpo rígido.
∑τ = I ⋅ α
Enunciado: La suma de los torques aplicados al cuerpo es igual al producto de su momento
de inercia y su aceleración angular.
Ftan n = mn ⋅ atan n
Dado que es un cuerpo rígido, todas las partículas
tienen la misma aceleración angular α. La
aceleración tangencial de la n-ésima partícula se
puede expresar en función de la aceleración angular
como:
C) Movimiento combinado de traslación y rotación.
Cuando
una
rueda
está
rodando,
experimenta
simultáneamente una traslación y una rotación en torno a su
eje. Así, el movimiento de cuerpos que ruedan es la
combinación de un movimiento de traslación y de uno de
rotación. Sin embargo, también se puede analizar el problema
de un cuerpo que rueda como si su movimiento fuera de
rotación pura.
atan n = rn ⋅α
Reemplazando, se llega a:
Ftann = mn ⋅ rn ⋅ α
Figura 8) Demostración del 2º Principio
de Newton para Rotación
Multiplicando a ambos lados por rn, se llega a:
Ftann ⋅ rn = mn ⋅ rn2 ⋅ α
Por definición:
τ n = Ftan n ⋅ rn
Donde τn es el torque aplicado sobre la n-ésima partícula. Luego
Considere el cilindro de radio basal R y masa M que rueda en
una superficie horizontal mostrado en la figura 9. En un instante
cualquiera, la parte baja del cilindro se encuentra en reposo en
la superficie, puesto que no desliza. El eje normal al plano de la
Figura 9) Cuerpo rodando
figura que pasa por el punto de contacto P se llama eje
instantáneo de rotación. En ese instante, la velocidad lineal de toda partícula del cilindro tiene una
dirección perpendicular a la línea que una la partícula con P, y su magnitud es proporcional a esa
distancia. Esta situación equivale a decir que, en ese instante, el cilindro gira alrededor de un eje fijo
que pasa por P con una cierta velocidad angular ω.
Luego, en un instante dado, el movimiento del cuerpo es equivalente a una rotación pura. Luego, la
energía cinética total es:
τ n = m n ⋅ rn2 ⋅ α
K=
1
IP ω 2
2
Sumando los torques sobre las N partículas
N
N
∑τ = ∑ m
n
n =1
n =1


⋅ rn2 ⋅α = α  ∑ mn ⋅ rn2 
 n =1

N
n
Como vimos en la sección anterior,


I = ∑ mn ⋅ rn2 
 n =1

N
Donde I es el momento de inercia total del cuerpo rígido
Donde IP es el momento de inercia con respecto al eje que pasa por P. Del teorema de los ejes
paralelos:
IP = Icm + MR 2
Donde Icm es el momento de inercia del cilindro de masa M y radio R con respecto a un eje paralelo
que pasa por su centro de masa. Reemplazando, la energía cinética total queda:
K=
1
( Icm + MR 2 )ω 2 = 12 Icmω 2 + 12 MR 2ω 2
2
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Como la velocidad del centro de masa con respecto a P es igual que la velocidad de P con respecto
al centro de masa, la velocidad angular del centro de masa con respecto a P es igual que la
velocidad angular de P con respecto al centro de masa. Si ωR=vcm es la velocidad con que se está
moviendo el centro de masa del cilindro con respecto a P:
K=
1
1
2
Icmω 2 + M ⋅ v cm
2
2
Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: K = K tras + K rot
Donde
1
2
M ⋅ v cm
Energía cinética asociada al movimiento de traslación
2
1
= Icmω 2 Energía cinética asociada al movimiento de rotación
2
•
K tras =
•
K rot
Así, tal como se
muestra en la figura
10,
los
efectos
combinados de la
traslación del centro
de masa y de la
rotación en torno a un
eje que pase por el
Figura 10) Movimiento combinado de rotación y traslación como
centro de masa son
movimiento de rotación pura.
equivalentes a una
rotación pura con la misma velocidad
2 ⋅ v cm
angular con respecto a un eje que pasa por
el punto de contacto de un cuerpo que va
rodando.
Con referencia a la figura 11, se puede
establecer que en el punto Q
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v
v P = v cm − ω R = v cm − cm R = 0
R
D) Trabajo y Energía en el Movimiento de Rotación
Una fuerza tangencial
que actúa sobre un
cuerpo en rotación
efectúa un trabajo
Suponga que una
fuerza tangencial Ftan
actúa en el borde de
una rueda pivotante,
como por ejemplo la
niña
que
corre
empujando el tiovivo
mostrada en la figura
12ª, y cuyo esquema
se muestra en la
figura 12b.
(a)
(b)
Figura 12) Niña empujando un tiovivo. (a) retrato de la situación; (b) esquema de la situación
La rueda gira un
ángulo infinitesimal dθ
alrededor de un eje
fijo un tiempo infinitesimal dt. El trabajo dW efectuado por la fuerza Ftan mientras un punto del borde
se mueve una distancia ds es:
dW = Ftands
Si dθ se mide en radianes, ds = R·dθ , por lo que
dW = Ftan Rdθ
v cm
Como τ = Ftan·R, se tiene que:
v
v Q = v cm + ω R = v cm + cm R = 2v cm
R
dW = τ dθ
Integrando sobre un desplazamiento entre θ1 y θ2:
En el punto C
v C = v cm + 0 = v cm
Figura 11) Cuerpo en movimiento combinado de
rotación y traslación
θ2
W = ∫ τ dθ
θ1
En el punto P
Para torque de magnitud constante
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τ = −k θ
W = τ ( θ2 − θ 1 ) = τ ⋅ ∆θ
Usando la 2º Ley de Newton para rotación, con I momento de inercia constante y α aceleración
angular constante:
dW = τ dθ = Iα dθ = I
dω
dθ
dθ = I
dω = Iω dω
dt
dt
La constante κ se llama “constante de torsión” y depende de las propiedades del alambre. El signo
menos indica que el torque neto tiene sentido opuesto al desplazamiento angular. (Torque
restaurador)
Aplicando el 2º Principio de Newton para rotaciones, vemos que la ecuación de movimiento para
este sistema es:
Desarrollando la Integral
τ = Iα = I
ω2
W = ∫ Iω dω =
ω1
1 2 1 2
Iω 2 − Iω1
2
2
Reemplazando
Que es el teorema del trabajo y la energía para la rotación de un cuerpo rígido.
−κθ = I
Dividiendo dW = τ dθ por dt, nos queda
dW
dθ
=τ
dt
dt
d 2θ
d 2θ
κθ
⇒ 2 =−
2
dt
dt
I
Esta ecuación es la de un movimiento armónico simple (MAS) angular. Es análoga a la del MAS
lineal, pudiendo encontrarse las siguientes correspondencias con el sistema masa-resorte
Péndulo de Torsión
Desplazamiento (x)
Masa (m)
Constante de elasticidad del resorte (k)
Como dW/dt es la potencia P y dθ/dt es la velocidad angular ω, se llega finalmente a que
P = τω
E) MAS Rotacional
d 2θ
dt 2
Sistema Masa-Resorte
Ángulo (θ)
Momento de Inercia (I)
Constante de torsión del resorte (κ)
Así, por simple analogía, se pueden establecer los siguientes parámetros:
Péndulo de Torsión)
•
Posición angular en función del tiempo: θ ( t ) = θ0 ·cos (ω ⋅ t + δ )
Es un disco suspendido de un alambre fijo al centro de
masa del disco, como el ilustrado en la figura 13. El
alambre está firmemente unido a un soporte sólido y al
disco. En la posición de equilibrio del disco se traza
una línea radial desde el centro hasta P, como se
muestra en la figura.
•
Frecuencia angular: ω =
•
Frecuencia de oscilación: f =
Si el disco se hace girar en un plano horizontal hasta la
posición radial Q, el alambre se tuerce.
El alambre torcido ejercerá un momento de rotación
sobre el disco, tendiendo a regresarlo a la posición P.
Este es un momento de rotación (torque) restaurador.
Para pequeñas torsiones se encuentra que el momento
Figura 13) Péndulo de Torsión
restaurador es proporcional al momento de la torsión, o
sea, al desplazamiento angular (ley de Hooke para rotaciones), de manera que:
•
κ
I
.
κ
1
2π
Período de oscilación: T = 2π
I
I
κ
Péndulo Físico o Real
Es un cuerpo rígido cualquiera instalado de manera que pueda
oscilar en un plano vertical en torno de algún eje que pase por
éste. Es una generalización del péndulo simple. Para pequeñas
oscilaciones, el análisis casi tan fácil como el de éste.
Para el péndulo real de la figura 14, se definen:
Figura 14) Péndulo físico
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14
•
•
•
•
•
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m: masa del péndulo
θ: Ángulo de giro.
O: eje de giro
I: Momento de inercia del cuerpo alrededor de O.
d: distancia de O al centro de masa
En la posición de equilibrio, el centro de masa está exactamente debajo del pivote O.
Cuando el péndulo se desplaza a la posición mostrada en la figura y se suelta, el peso mg causa un
torque de restitución:
τ = −m ⋅ g ⋅ d ⋅ sin ( θ )
Para valores pequeños de θ, sin(θ) ≈ θ, el movimiento es aproximadamente MAS
τ ≈ −m ⋅ g ⋅ d ⋅ θ
La ecuación del movimiento es:
d 2θ
∑ τ = Iα = I dt
2
Reemplazando
d 2θ
d 2θ
mgd
⇒ 2 =−
θ
2
dt
dt
I
Esta ecuación es la de un movimiento armónico simple (MAS) angular. Es análoga a la del MAS
lineal, pudiendo encontrarse las siguientes correspondencias con el sistema masa-resorte
−m ⋅ g ⋅ d ⋅ θ = I
Péndulo Físico
Desplazamiento (x)
Masa (m)
Constante de elasticidad del resorte (k)
Sistema Masa-Resorte
Ángulo (θ)
Momento de Inercia (I)
Producto m·g·d
Así, por simple analogía, se pueden establecer los siguientes parámetros:
•
•
•
Posición angular en función del tiempo: θ ( t ) = θ0 ·cos (ω ⋅ t + δ )
mgd
I
1
Frecuencia de oscilación: f =
2π
Frecuencia angular: ω =
mgd
I
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•
Período de oscilación: T = 2π
I
mgd
De la ecuación del período del péndulo se puede despejar el momento de inercia del cuerpo.
T = 2π
I
T 2 mgd
⇒I =
mgd
4π 2
donde el período, la masa y la distancia al centro de masa se pueden medir directamente. Con esta
ecuación podemos calcular el momento de inercia de cualquier cuerpo, pues basta hacer oscilar el
cuerpo en torno a cualquier punto distinto al centro de masa, medir T, m y d y hacer el cálculo
respectivo.