Tema B - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1
Question
Points
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
AD
OR
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba
con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede
hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,
cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea
recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.
Score
Nombre:
Código:
Firma:
Profesor
01
Mauricio Velasco Grigori
06
Mikhail Malakhaltsev
11
Paul Bressler
16
Marco Boggi
21
Alexander Cardona Guio
26
Jean Carlos Cortissoz Iriarte
Mi sección
RR
Chequee su sección en la tabla−→
Sección
1
BO
Bogotá, Marzo 8, 2014
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Código:
1. (10 points)
Tema B
Pág. 2 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Respuesta:
AD
OR
Sea Σ la superficie de gráfico de la función f (x, y) = x2 + y 2 . Hallar todos los puntos de la
superficie Σ donde el plano tangente a la superficie sea paralelo al plano 2x − 4y − z = 0.
Solution: La superficie Σ es dada por la ecuación F (x, y, z) = x2 + y 2 − z, entonces el
vector normal al plano tangente es ∇F = (2x, 2y, −1). Como el vector normal al plano
~ = (2, −4, −1), el plano tangente es paralelo al plano α si y
α : 2x − 4y − z = 0 es N
sólo si
2x = 2λ, 2y = −4λ, −1 = −λ.
Entonces λ = 1 y por lo tanto x = 1, y = −2 y luego z = 5.
(1, -2, 5)
Respuesta:
Pautas de corrección:
RR
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
De un total de 10 puntos:
Vector normal al plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Vector normal a la superficie en (x,y,z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BO
Plantear que los vectores son paralelos ssi uno se obtiene del otro multiplicando por
alguna constante λ (-1 si se pide que los vectores normales sean iguales y no paralelos)
o por plantear que el producto cruz entre los dos vectores normales debe ser cero . . . 2
Solucion correcta de la ecuacion de paralelismo planteada anteriormente . . . . . . . . . . . . 2
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
BO
RR
AD
OR
Prob. 1 cont.. . .
Pág. 3 de 15
Código:
Pág. 4 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
2
2
2
AD
OR
Suponga que T (x, y, z) = e(−3x −2y −z ) es la temperatura en grados de un punto (x, y, z) ∈
R3 (x, y, z están medido en centı́metros). Suponga que tenemos una partı́cula en el punto
(1, −1, 1).
(a) (5 points) En qué dirección (unitaria) deberı́a moverse la partı́cula para disminuir su
temperatura lo más rápidamente posible?
(b) (5 points) Si la partı́cula avanza a una velocidad de e6 cm/seg en la dirección determinada en la parte (a), con que rapidez decrecerá la temperatura?
Respuesta: (a)
(b)
Solution: a) Sea A(1, −1, 1). La partı́cula debe moverse en la dirección del vector
−∇T (A). Como
2
2
2
∇T = −2e−(−3x −2y −z ) (3x, 2y, z) ,
entonces
RR
∇T (A) = −2e−6 (3, −2, 1) = 2e−6 (−3, 2, −1) .
Entonces
en la dirección determinada por el vector unitario
√ la partı́cula
√ debe
√ moverse
~u = 3/ 14, −2/ 14, 1/ 14 .
b) La rapidez es igual a
√
√ √
√
e6 ∇T (A) · ~u = 2 (−3, 2, −1) · 3/ 14, −2/ 14, 1/ 14 = −2 14.
Respuesta: (a)
BO
2.
Tema B
(b)
√
√
√ 3/ 14, −2/ 14, 1/ 14
√
−2 14
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 2 cont.. . .
Código:
Tema B
Pág. 5 de 15
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
AD
OR
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
El vector gradiente ∇T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
El valor de vector gradiente ∇T (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
El vector de la dirección no es unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
La formula e6 ∇T (A) · ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
BO
RR
La formula ∇T (A) · ~u (sin e6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
BO
RR
AD
OR
Prob. 2 cont.. . .
Pág. 6 de 15
Código:
Pág. 7 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
(a) (4 points) (a) Demostrar que la ecuación x + 2z + 3y = sin(x2 − z) define una función
z = f (x, y) en una vecindad del punto (1, −1) tal que f (1, −1) = 1.
∂f
(1, −1)
∂x
y
AD
OR
(b) (4 points) (b) Hallar los valores de las derivadas parciales
la función f (x, y) es definida en la parte a).
∂f
(1, −1),
∂y
donde
(c) (2 points) (c) Hallar la recta normal al gráfico de la función z = f (x, y) definida en la
parte a) en el punto (1, −1, 1).
Respuesta: (b)
(c)
Solution: a) Tomemos F (x, y, z) = x + 2z + 3y − sin(x2 − z). F (1, −1, 1) = 0, luego
Fz (x, y, z) = 2 + cos(x2 − z) implica Fz (1, −1, 1) = 3 6= 0. Entonces el teorema de
función implı́cita implica la afirmación.
b) Encontraremos las derivadas fx (1, −1) y fy (1, −1). Derivamos la identidad x +
2f (x, y) + 3y − sin(x2 − f (x, y)) = 0 con respecto a x y después ponemos x = 1,
y = −1, f (1, −1) = 1:
RR
∂
: 1 + 2fx (x, y) − cos(x2 − f (x, y))(2x − fx (x, y)) = 0
∂x
⇒ 1 + 2fx (1, −1) − (2 − fx (1, −1)) = 0 ⇒ fx (1, −1) = 1/3.
∂
: 2fy (x, y) + 3 − cos(x2 − f (x, y))(−fy (x, y)) = 0
∂y
⇒ 2fy (1, −1) + 3 + fy (1, −1)) = 0 ⇒ fy (1, −1) = −1.
c) x = 1 + t/3, y = −1 − t, z = 1 − t.
BO
3.
Tema B
Respuesta: (b)
(c)
fx (1, −1) = 1/3, fy (1, −1) = −1
x = 1 + t/3, y = −1 − t, z = 1 − t
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 3 cont.. . .
Código:
Tema B
Pág. 8 de 15
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
AD
OR
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales: En a):
La función F (x, y, z) y verificación que F (x0 , y0, z0 ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Verificación que
∂
F (x0 , y0 , z0 )
∂z
6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Referencia al teorema de la función implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
En c):
BO
RR
El vector normal a la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
BO
RR
AD
OR
Prob. 3 cont.. . .
Pág. 9 de 15
Código:
Pág. 10 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Sea Γ la curva en el plano dada por la ecuación paramétrica ~r(t) = (1 + sin(2t), t2 − sin(t) − 1),
t ∈ (−π/2, π/2).
AD
OR
(a) (5 points) Hallar la recta normal a la curva Γ en el punto (1, −1).
(b) (5 points) Hallar la curvatura de la curva Γ en el punto (1, −1).
Respuesta: a)
b)
Solution: a) Si (1 + sin(2t), t2 − sin(t) − 1) = (1, −1), entonces bajo la condición que
t ∈ (−π/2, π/2) tenemos que t = 0.
Tenemos que ~r ′ (t) = (2 cos(2t), 2t − cos(t)), entonces ~r ′ (0) = (2, −1). Por lo tanto la
recta normal es dada por la ecuación 2(x − 1) − (y + 1) = 0 o 2x − y − 3 = 0.
RR
b) Como ~r ′′ (t) = (−4 sin(2t), 2 + sin(t)), ~r ′′ (0) = (0, 2), entonces la curvatura de la
curva en este punto es
2
−1
det
′
′′
0
2 4
k~r (0) × ~r (0)k
√
.
=
=
k(0) =
p
3
k~r ′ (0)k3
5 5
22 + (−1)2
Respuesta: a)
b)
BO
4.
Tema B
2x − y − 3 = 0
4
√
5 5
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Tema B
Pág. 11 de 15
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
AD
OR
En a):
El punto t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
El vector tangente en t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
La ecuación de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
BO
RR
En b): La formula para la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
BO
RR
AD
OR
Prob. 4 cont.. . .
Pág. 12 de 15
Código:
Pág. 13 de 15
No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas.
Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso.
(a) (2 points) En el plano la recta l1 dada por la ecuación x − y − 1 = 0 y la recta l2 dada
por la ecuación: x = 2 + t y y = t son paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂2f
∂x2
−
∂2f
∂y 2
AD
OR
(b) (2 points) La función f (x, y) = ex cos y es una solución de la ecuación diferencial
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) (2 points) La longitud de la curva parametrizada ~r(t) = (cos t, 2 sin t, 2t), 0 ≤ t ≤ 1,
es major que 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) (2 points) Si ~r(t), t ∈ (a, b), es una función vectorial diferenciable tal que para cada
t ∈ (a, b) tenemos k~r(t)k = 9, entonces los vectores ~r(t) y ~r ′ (t) son perpendiculares
para cada t ∈ (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(e) (2 points) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la función f (x, y) = 2x2 − y 2
RR
correspondientes a los valores 0, 2, 4, · · · , 40 de f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figure 1. Las curvas de nivel de la función f (x, y)
Solution:
(a) En el plano la recta l1 dada por la ecuación x − y − 1 = 0 y la recta l2 dada por
la ecuación: x = 2 + t y y = t son paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
BO
5.
Tema B
(b) La función f (x, y) = ex cos y es una solución de la ecuación diferencial
∂2f
∂x2
2
− ∂∂yf2 =
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
(c) La longitud de la curva parametrizada ~r(t) = (cos t, 2 sin t, 2t), 0 ≤ t ≤ 1, es major
que 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 5 cont.. . .
Código:
Tema B
Pág. 14 de 15
(d) Si ~r(t), t ∈ (a, b), es una función vectorial diferenciable tal que para cada t ∈ (a, b)
tenemos k~r(t)k = 9, entonces los vectores ~r(t) y ~r ′ (t) son perpendiculares para
cada t ∈ (a, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
AD
OR
(e) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la función f (x, y) = 2x2 − y 2 corres-
BO
RR
pondientes a los valores 0, 2, 4, · · · , 40 de f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema B
BO
RR
AD
OR
Prob. 5 cont.. . .
Pág. 15 de 15