1ª fase_soluciones segundo ciclo_soluciones

SOLUCIONES PRIMERA FASE
2º ciclo
* Problema 1: ¡QUÉ LÍO CON LOS HIJOS!
Os presentamos a cinco familias. Según las premisas inferiores, completa el cuadro adjunto
sabiendo que cada característica es exclusiva para cada pareja:
MARIDO
MUJER
AÑO
HIJOS
(a) Paco se casó en el 86, pero no lo hizo con María
(b) Eugenio y Ana tienen 5 hijos
(c) Elena ha tenido 2 hijos más que Teresa
(d) Pepe se casó 12 años antes que Ramón
(e) Tomás se casó en el 2005 y fue el último en hacerlo
(f) La pareja casada en el año 1981 tiene 4 hijos
(g) Marta, que se casó en el 93, no es la mujer que ha tenido 2 hijos
(h) El matrimonio casado en 1990 no tiene ni 1 ni 3 hijos
(i) Pepe y su pareja tienen 4 hijos
(j) Marta tiene más hijos que Tomás
Solución:
El cuadro queda de la siguiente forma:
MARIDO
MUJER
PACO
TERESA
TOMÁS
MARÍA
EUGENIO
ANA
RAMÓN
MARTA
PEPE
ELENA
AÑO
1986
2005
1990
1993
1981
HIJOS
2
1
5
3
4
* Problema 2: EL ÁREA MISTERIOSA
Calcula el área del triángulo APM teniendo en cuenta las medidas y relaciones indicadas:
Solución:
Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero de lado 3, puede usarse el teorema de Pitágoras
para averiguar que su altura mide (3√3)/2. Y sabiendo que el segmento MN es paralelo a AC
y que une los puntos medios de los lados AB y CB, tenemos que el segmento MN corta a la
altura en su punto medio, siendo por tanto la altura del triángulo AMP (3√3)/4. Como además
se sabe que AP = AB/3, se tiene que AP = 1, y se deduce que el área del triángulo AMP será
Área=((3√3)/4 * 1) /2 = (3√3)/8.
* Problema 3: LA OPERACIÓN MÁS LARGA JAMÁS PLANTEADA
Sin utilizar la calculadora, halla el valor de A.
A = 83 875 683 470² - (83 875 683 469 x 83 875 683 471)
Solución:
Llamando a=83 875 683 470 nos queda:
A = a² - (a-1)(a+1) = a² - (a² - 1) = 1.
* Problema 4: EL PROBLEMA DEL FERRI
Dos ferris se ponen simultáneamente en marcha
en márgenes opuestas del río Hudson.
Uno de ellos va de New York a Jersey City,
y el otro de Jersey City a New York.
Uno es más rápido que el otro, de modo que se encuentran a 720 yardas de la costa más
próxima. Tras llegar a destino, ambas embarcaciones permanecen diez minutos en el muelle
para cambiar el pasaje, y luego emprenden el viaje de regreso. Vuelven a encontrarse esta
vez a 400 yardas de la otra costa. ¿Cuál es la anchura exacta del río?
Solución:
Cuando los ferris se cruzan en el punto X (ver el diagrama adjunto) están a 720 yardas de una
de las costas. La distancia que han recorrido entre ambos es igual a la anchura del río. Cuando
llegan a la costa opuesta, la distancia sumada es igual al doble de la anchura del río. En el
viaje de regreso se encuentran en el punto Z después de haber recorrido entre ambos una
distancia igual a tres veces la anchura del río, de modo que cada embarcación ha recorrido tres
veces la distancia que cada una de ellas había andado cuando se encontraron por primera vez.
En el primer encuentro, uno de los botes había recorrido 720 yardas, de modo al llegar a Z
debe haber recorrido tres veces esa distancia, es decir 2.160 yardas. Como muestra el
diagrama, esta distancia es 400 yardas mayor que la anchura del río, de modo que todo el
trabajo matemático que debemos hacer es deducir 400 de 2.160 para obtener la anchura del
río. El resultado es 1.760 yardas, exactamente una milla.
El tiempo que pierde cada uno de los barcos en el amarradero no afecta el problema.
Como es obvio, hay más formas de solucionarse. Otra posibilidad es utilizar la fórmula v=e/t
y plantear un sistema de ecuaciones.
Llamamos:
• L a la longitud del río
• t1 al tiempo que transcurre desde la salida al primer encuentro (marcado con una X
en el gráfico)
• t2 al tiempo que transcurre desde la salida al segundo encuentro (marcado con una
Z en el gráfico)
• vNJ a la velocidad que lleva el ferry que va de New York a Jersey City
• vJN a la velocidad que lleva el ferry que va de Jersey City a New York
Suponemos que vNJ< vJN (si suponemos lo contrario, también sale lo mismo). Planteamos el
siguiente sistema:
⎧
⎪v
⎪
⎪
⎪v
⎪
⎨
⎪v
⎪
⎪
⎪v
⎪⎩
NJ
=
720
t1
JN
=
L − 720
t1
NJ
=
L + 400
t2
JN
=
2 L − 400
t2
720 L − 720
⎧
⎪t1 = v = v
⎪
NJ
JN
→ ⎨
⎪t = L + 400 = 2 L − 400
⎪⎩ 2
v NJ
v JN
Despejamos v JN de la segunda ecuación y sustituimos su expresión en la primera ecuación:
(L + 400)·v JN
720·v JN = (L − 720 )·
2 L − 400
→
720·v JN ·(2 L − 400) = (L − 720)(
· L + 400)·v JN
1440L − 720·400 = L2 + 400L − 720L − 720·400 → L2 − 1760L = 0
→
→
L = 1760 yardas