3 – 03 1) Paco quiere hacer una gran fiesta e invita

I.E.S. Gonzalo Nazareno
Matemáticas II
EXAMEN GLOBAL DE ÁLGEBRA
19 – 3 – 03
1) Paco quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va a la
tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado
el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos
botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda de que no tiene patatas. Vuelve a la
tienda para comprar una bolsa de patatas y decide llevar también otra docena de huevos.
En la primera ocasión gastó 6 €, en la segunda 6,5 € y en la última 3´5 €. Calcula, si es
posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
(1´75 puntos)
2) Calcula el rango de la matriz
a
b
1

A=0
a

−2
−3
3a − 2 

0  en función del parámetro a.
2a − 1 
(1,75 puntos)
a
2
−1 a− 2
c
3) Sabiendo que d e f = 2 y utilizando propiedades de los determinantes, calcula los
g h i
siguientes determinantes y enuncia las propiedades que utilices:
3a 3b 15c
a) d
g
e
h
5f
5i
4) Se consideran las matrices
1
A = 
1
a + 2b
c
b
b) d + 2e
g + 2h
f
i
e
h
2 m

− 1 − 1
y
B
1

=m
0

(1´5 puntos)
3

0  , donde m es cualquier
2 
número real.
a) Encuentra los valores de m para los que B· A tiene inversa.
b) Encuentra los valores para los que A· B tiene inversa.
c) Para m = - 1 halla la matriz inversa de A· B.
d) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema
determinado? Explícalo.
5) Se considera el sistema de ecuaciones
a) Discútelo según los valores de a.
b) Resuélvelo para a = -2.


A


x
  a
y  =   compatible
b
z   
(2,5 puntos)
 ax + y + z = a + 2

 x + ay + z = a + 2
 x + y + az = a + 2

(2,5 puntos)
I.E.S. Gonzalo Nazareno
Matemáticas II
SOLUCIONES
x = precio de una docena de huevos
y = precio de una bolsa de patatas
z = precio de una botella de aceite
6  1 1 1
x+ y + z = 6
1 1 1



 x + 2 z = 6,5 → A´=  1 0 2 6,5  ; 1 0 2 = 1 ≠ 0 → rg ( A) = rg ( A´) = nº incógnitas = 3
1)
x+

 1 1 0 3,5  1 1 0
y = 3,5


Sistema compatible determinado.
6 
1 1 1


f 3 − f1 →  1 0 2
6,5  → z = 2,5 ; y = 2 ; x = 1,5
0

0 − 1 − 2,5 
2)
1

A=0
a

−2
−3
a
2
−1
a− 2
a) Si a = 1
b) Si a = ½
1

A=0
1


1

A=0

1

2
c) Si a ≠ 1 y a ≠
3a − 2 

0 ;
1 −2
0 a
2a − 1 
−2
a−2
1

2 0  f 3 = f 1 + f 2 → rg(A) = 2
− 1 1 
−1
−3
2
1
2
−1
4a 2 − 6a + 2 ; 4a 2 − 6 a + 2 = 0 → a = 1, a =
=
2
−3
1
−
−1
a
−3
2
−
3
2
−
1

2 1
0 ; 0
 1

0  2

−3
2
3
−
2
1
2
0 ≠ 0 → rg(A) = 3
−
0
1
rg(A)=3
2
3a 3b 15c
a
3)a) d e 5 f = 3 d
g h 5i
g
b 5c
a
e 5 f = 3·5 d
h 5i
g
b
e
h
c
f = 3·5·2 = 30
i
a + 2b c b
a c b
a b c
d f e
b) d + 2e f e =
=
− d e f = −2
g + 2h i h c1 − 2c3 g i h c 2 ↔ c3 g h i
Propiedades usadas:
A) Si a una fila o columna de una matriz se la multiplica por un número, el determinante
de la nueva matriz es este número por el determinante de la matriz inicial.
B) Si a una fila o columna de una matriz se le suma una combinación lineal de las
restantes filas o columnas de la matriz, el determinante no varía.
C) Si en una matriz se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de
signo.
1
2
I.E.S. Gonzalo Nazareno
Matemáticas II
4)
3
 4 − 1 m − 3 4 − 1 m − 3
 1 2

m 
0  
 =  m 2m
m 2  ; m 2m m2 = 0 →
a)
1 − 1 − 1 
2  
− 2  2 − 2
−2
2 −2
La matriz B· A no tiene inversa sea cual sea el valor de m.
 1 3
  1 + 2m 3 + 2 m 
m
1 + 2m 3 + 2m
1 2
2
A·B = 
· m 0  = 
 →
= 2m + 3m − 2;
1 
1− m
1
b)
 1 − 1 − 1 
  1− m
 0 2
1

B· A =  m
0

2 m2 + 3m − 2 = 0 → m = − 2, m = 1 / 2.
Si m ≠ − 2 y m ≠
1
2
−1
B= 
 2
c) Si m= -1 A·
A· B tiene inversa
1
;
1
−1
2

1
−
1
1
−1
t
= − 3 ; ( A· B) =
( Adjuntos( AB )) =  3
1
AB
 2

 3
1

3
1

3
 x
   a
 x + 2 y + mz = a
d) A y  =   → 
x− y− z = b
 z   b
 
Para que el sistema sea compatible determinado debe ocurrir que:
rg(A) = rg(A´) = nº incógnitas = 3, cosa que es imposible porque sólo hay dos
ecuaciones y como máximo rg(A) = rg(A´) = 2.
5)
 ax + y + z = a + 2

 x + ay + z = a + 2 →
 x + y + az = a + 2

a

A´=  1
1

1 1
a 1
1 a
a+
a+
a+
2 a 1

2 ; 1 a
2  1 1
1
1 = a 3 − 3a + 2; a 3 − 3a + 2 = 0 →
a
a = 1, a = − 2
a) Si a ≠ 1 y a ≠ − 2 rg(a) = rg(A´) = nº incógnitas = 3 Sistema compatible
determinado (Solución única).
1 1 1 3


b) Si a = 1 →  1 1 1 3  hay tres ecuaciones iguales, rg(A) = rg(A´) = 1,
1 1 1 3


nº incógnitas = 3
Sistema compatible indeterminado(Infinitas soluciones).
1
1 0
−2

 −2
1
c) a = -2 A´=  1 − 2 1 0  ;
= 3≠ 0
rg(A) = rg(A´) = 2,
1
−
2
 1
1 − 2 0 

nº incógnitas = 3 Sistema compatible indeterminado (Infinitas soluciones).
 − 2x + y = − z
→ x = z , y = z Solución: (z, z, z )∀ z ∈ R

 x − 2y = − z