Univer sidad de Costa Rica Escuela de Matemática MA­1210 Cálculo I Pr áctica #4: Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Valores extremos de una función cont. En un intervalo cerrado. 1. dy en cada caso: dx 2. x 2 y + xy 2 = xy II. Determine 4. y = Determine I. x + y - x = y 3. x 2 + y 2 = 3 x - 2 y d 2 y en cada caso: dx 2 x 2 x + 3 y = x x + 2 - x 2 5. 6. xy - y 2 = x III. En la figura se muestra la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 10 y las rectas tangentes en los puntos (3 , 1 ) y (- 1, 3 ) 7. Verifique que esas rectas son perpendiculares. y 4 3 8. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es horizontal? 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 9. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es vertical? -2 -3 -4 -5 IV. En la siguiente figura se presenta la curva de ecuación x 2 - y 2 = 3 y las rectas tangentes a ella en los puntos (- 2, 1 ) y (2 , 1 ) . 10. Determine la ecuación de cada una de las rectas y verifique que se intersecan en el punto (0, - 3 ) . y 5 4 3 11. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es vertical? 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es paralela a y = 2x? x La siguiente gráfica corresponde a la curva y = V. . Indique, si existen, los valores x - 4 extremos absolutos que alcanza la función en los siguientes intervalos: 13. ]- ¥,-3 ] 2 y 9 8 7 6 14. [- 1, 1 ] 15. ]- 1, 1 [ 16. [- 1, 1 [ 17. ]2 , 3 ] 5 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 VI. Determine los números críticos de las siguientes funciones: f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 18. f ( x ) = 3 x 2 - 1 19. 20. f ( x ) = 2 x x + 1 2 VII. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos dados: x 21. y = 3 x 4 - 4 x 3 en [- 2, 2 ] 22. y = 2 en [0 , 3 ] x + 1 Respuestas 1 y - 2 xy - y 2 5 9 3 x + 5 3 17 3 y 13 10 , 0 2 Min - Min 1, 5 2 5 5 (x + 2 ) x - x + 2 xy - 10 , 0 ( ( 2 ­1 6 ( y - 1 )æçç 2 è ( x 3 3 x 2 + y 2 - x 18( x + 3 ) -3 2 2 y ) 7 Son perpendiculares ya 11 que las pendientes son 2 x 2 + y 2 + y 4 2 - 2 y ö ÷ x - 2 y ÷ø 10 1 3 0 , 10 ­3 y 8 ( ) (0, - 10 ) y 12 ) ) y = -2 x - 3 y = 2 x - 3 14 ( 3 , 0 ) (- 3 , 0 ) 15 (2, ±1 ) (- 2, ±1 ) y 1 3 1 Max 3 18 ­2 No existen 19 Min - ­1, 0 y 1 20 ­1 y 1 16 Max 1 3 21 ­1 y 80 22 3 0 y 10 Pr áctica sugerida 1. Del material del Pr of. Mar co Alfaro: Pág 26 y 27 . Ejercicios de la pág 37 : del 16 al 27, 35 a 38 . 2. Del material “Ser ie Cabécar” Tema #2 Tema #4 I Parte. L. Izaguirre. 3(m), 5, 6 I Parte G. Asch 1,2,3,7, II Parte. L. Salazar 4(a,b,d), 7(a) V Parte C. Azofeifa 5, 6