Univer sidad de Costa Rica Escuela de Matemática MA­1210 Cálculo I Pr áctica #4: Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Valores extremos de una función cont. En un intervalo cerrado. 1. dy en cada caso: dx 2. x 2 y + xy 2 = xy II. Determine 4. y = Determine I. x + y - x = y 3. x 2 + y 2 = 3 x - 2 y d 2 y en cada caso: dx 2 x 2
x + 3 y = x x + 2 - x 2 5. 6. xy - y 2 = x III. En la figura se muestra la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 10 y las rectas tangentes en los puntos (3 , 1 ) y (- 1, 3 ) 7. Verifique que esas rectas son perpendiculares. y 4 3
8. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es horizontal? 2
1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
9. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es vertical? -2
-3
-4
-5
IV. En la siguiente figura se presenta la curva de ecuación x 2 - y 2 = 3 y las rectas tangentes a ella en los puntos (- 2, 1 ) y (2 , 1 ) .
10. Determine la ecuación de cada una de las rectas y verifique que se intersecan en el punto (0, - 3 ) . y 5 4
3
11. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es vertical? 2
1
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12. ¿En qué puntos de esta curva la recta tangente es paralela a y = 2x?
x La siguiente gráfica corresponde a la curva y = V. . Indique, si existen, los valores x - 4 extremos absolutos que alcanza la función en los siguientes intervalos:
13. ]- ¥,-3 ] 2
y 9 8
7
6
14.
[- 1, 1 ] 15.
]- 1, 1 [ 16.
[- 1, 1 [ 17.
]2 , 3 ] 5
4
3
2
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
VI. Determine los números críticos de las siguientes funciones: f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 18.
f ( x ) = 3 x 2 - 1
19.
20.
f ( x ) = 2 x x + 1 2
VII. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos dados: x 21. y = 3 x 4 - 4 x 3 en [- 2, 2 ] 22. y = 2
en [0 , 3 ] x + 1 Respuestas 1 y - 2 xy - y 2
5
9
3 x + 5 3 17 3 y 13 10 , 0 2 Min - Min 1, 5 2 5 5 (x + 2 ) x - x + 2 xy - 10 , 0 (
(
2 ­1 6
( y - 1 )æçç 2 è
( x 3 3 x 2 + y 2 - x 18( x + 3 ) -3 2 2 y ) 7 Son perpendiculares ya 11
que las pendientes son 2 x 2 + y 2 + y 4
2 - 2 y ö
÷
x - 2 y ÷ø
10 1 3 0 , 10 ­3 y 8
( ) (0, - 10 ) y
12
) ) y = -2 x - 3 y = 2 x - 3 14 ( 3 , 0 ) (- 3 , 0 ) 15 (2, ±1 ) (- 2, ±1 ) y
1
3 1 Max 3 18 ­2 No existen 19
Min - ­1, 0 y 1 20 ­1 y 1 16 Max 1 3 21 ­1 y 80 22 3 0 y 10 Pr áctica sugerida 1. Del material del Pr of. Mar co Alfaro: Pág 26 y 27 . Ejercicios de la pág 37 : del 16 al 27, 35 a 38 . 2. Del material “Ser ie Cabécar” Tema #2 Tema #4 I Parte. L. Izaguirre. 3(m), 5, 6 I Parte G. Asch 1,2,3,7,
II Parte. L. Salazar 4(a,b,d), 7(a) V Parte C. Azofeifa 5, 6
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