TEORIA DE GRAFOS LUIS MANUEL SOTO GARCIA SIV – 6A 1.

TEORIA DE GRAFOS
1.- LA TEORÍA DE CONJUNTOS es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio
formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm
Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no
repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del
conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se
sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien
definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no
está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber
distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de
un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida
por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
NOTACIÓN:
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen
carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no
habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:
De esta manera, si
es un conjunto, y
Para definir a tal conjunto
llama notación por extensión.
Para representar que un elemento
pertenece a
pertenece a
" o bien "
").
todos sus elementos, es común escribir:
. Esta notación empleada para definir al conjunto
pertenece a un conjunto
es un elemento de
, escribimos
"). La negación de
(léase "
se escribe
en
se
", "
(léase "
no
EL CONJUNTO UNIVERSAL, que representaremos como (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas
sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces es el conjunto de los
números enteros; si hablamos de ciudades, es el conjunto de todas las ciudades. Todos los elementos
posibles están en este conjunto:
Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o puede darse por supuesto según el contexto
que estemos tratando.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos, al que se le llama conjunto vacío y que se denota
por , esto es:
. La característica importante de este conjunto es que todos los elementos posibles
no están contenidos en él:
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Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser
expresada como una proposición p(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se
puede definir:
Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que
cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto:
Puede definirse por:
Donde el símbolo
representa al conjunto de los números naturales.
2.- PRODUCTO CARTESIANO
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto
cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que
el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio
origen a este concepto.
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Ejemplo 1
El producto cartesiano del conjunto de trece rangos de la baraja inglesa
Con el de los cuatro palos:
Conjunto de las 52 cartas de la baraja:
La forma matemática de
expresarlo es:
Si los conjuntos involucrados son finitos, la cardinalidad (o número de elementos) del producto cartesiano es
el producto de las cardinalidades de los conjuntos involucrados:
En el ejemplo anterior, el número de elementos del producto era 52, provenientes
de la multiplicación de los 13 rangos con los 4 palos de la baraja inglesa.
Ejemplo 2
Partiendo de los conjuntos T de tubos de pintura y P de
pinceles:
,
,
,
,
,
,
,
El producto cartesiano de estos dos conjuntos será:
En el cuadro hemos representado el conjunto T en la fila
inferior y el P en la columna de la izquierda, en el cuadro
donde se cortan la columna de cada tubo y la fila de cada
pincel esta el par ordenado tubo pincel del color
correspondiente.
Aunque en la figura no se representa téngase en cuenta
que son pares ordenados y que el primer elemento
corresponde al tubo y el segundo al pincel:
La representación en Coordenadas cartesianas de dos y tres dimensiones es una forma usual de representar el
producto cartesiano de dos y tres conjuntos.
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GENERALIZACIÓN FINITA
El cuadrado cartesiano de un conjunto X se define como X2 = X × X. Un ejemplo de esto es el espacio euclídeo
de dos dimensiones R2 = R × R, donde R es el conjunto de los números reales; R2 es entonces el conjunto de
todos los puntos (x, y) donde x e y son ambos reales.
Esto se puede generalizar a un producto cartesiano n-ario sobre n conjuntos X1,..., Xn:
Este conjunto se puede identificar con (X1 ×... × Xn-1) × Xn; es un conjunto de n-tuplas.
Análogamente al cuadrado cartesiano, se pueden usar potencias mayores: R3 = R × R × R es el espacio euclídeo
tridimensional.
PRODUCTOS ARBITRARIOS
La definición anterior usualmente basta para las aplicaciones matemáticas comunes. En algunos casos, sin
embargo, puede ser necesario definir el producto cartesiano de una colección arbitraria (tal vez infinita) de
conjuntos, y un intento de generalizar la definición de arriba a unas "tuplas inmensas" no tendría suficiente
formalidad matemática.
Si I es cualquier conjunto, y si
Es una colección de conjuntos, se define
Esto es, la colección de todas las funciones definidas en el conjunto I cuyo valor en un índice cualquiera i es un
elemento de Xi.
Para todo j ∈ I, la función
Definida por
Se denomina proyección sobre la coordenada j.
Una n-tupla puede también verse como una función definida en {1, 2,..., n}, cuyo valor en i es el i-ésimo
elemento de la tupla. Con esto, si I = {1, 2,..., n}, la nueva definición coincide con la vieja.
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Un caso particular del producto infinito ocurre cuando el conjunto índice es N, el conjunto de los naturales; en
este caso, el producto es sencillamente el conjunto de secuencias infinitas cuyo i-ésimo término pertenece a
Xi. De nuevo se puede ver un ejemplo con R:
Es la colección de secuencias infinitas de números reales, y fácilmente se puede ver como un vector con
infinitas componentes.
También es de notar el caso en el que todos los conjuntos "factores" Xi son iguales (ilustrado también por el
ejemplo anterior). En este caso, la gran unión en la definición es sólo el único factor, y la segunda condición
siempre se cumple; por lo tanto, el producto es solamente el conjunto de todas las funciones con dominio I y
rango X, denotado XI por analogía con los "exponentes cartesianos".
En otros casos, el producto cartesiano infinito es menos intuitivo, aunque muy valioso por sus aplicaciones en
la matemática.
La afirmación de que el producto cartesiano de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos tampoco es
vacío es equivalente al axioma de elección.
3.- RELACIONES Y SUS PROPIEDADES:
Cuando la relación es entre elementos del mismo conjunto, o sea que el conjunto B es igual a A, entonces
decimos que es una relación en A.
Definición Una relación R en A puede ser
Reflexiva: Si todo
(∀ x ∈ A) (x,x) ∈ R
Irreflexiva: Si ningún
(∀ x ∈ A) (x,x) ∉ R
elemento
elemento
en
en
A
está
A
está
relacionado
relacionado
con
con
sigo
sigo
mismo,
con
símbolos:
mismo,
con
símbolos:
Simétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se
relaciona con el primero, con símbolos:(∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R)
Antisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se
relaciona con el primero, con símbolos:(∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ≠ R)
Transitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado
con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero:(∀ x)(∀ y)(∀ z)((x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R) ⇒ (x,z)
∈ R). Observamos que las relaciones en un conjunto tienen una matriz cuadrada asociada y esta juega un
papel muy importante para determinar las propiedades anteriores.
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