grafos - Pontificia Universidad Javeriana

FORMATO 2 (Anexo No.3)
FORMULARIO DE LA DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE
GRADO
TÍTULO COMPLETO DE LA TESIS DOCTORAL O TRABAJO DE GRADO:
APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS EN LA INFORMÁTICA
AUTOR O AUTORES
Apellidos Completos
PIEDRA HERNANDEZ
PATERNOSTRO MOVILLA
Nombres Completos
VIVIANA SOFIA
CARLOS ANDRES
DIRECTOR (ES) TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO
Apellidos Completos
Nombres Completos
NIETO CLAVIJO
GUSTAVO ADOLFO
TRABAJO PARA OPTAR AL TÍTULO DE:
TESIS DE GRADO
FACULTAD: CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA: Carrera _X_ Licenciatura ___ Especialización ____ Maestría ____ Doctorado ____
NOMBRE DEL PROGRAMA: INFORMATICA MATEMATICA
NOMBRES Y APELLIDOS DEL DIRECTOR DEL PROGRAMA:
PATRICIA ARACELY HERNANDEZ ROMERO
CIUDAD: BOGOTA AÑO DE PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DE GRADO: 2009
NÚMERO DE PÁGINAS 86
TIPO DE ILUSTRACIONES:
-
Tablas y gráficos
SOFTWARE requerido y/o especializado para la lectura del documento__NINGUNO________
DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN ESPAÑOL E INGLÉS: Son los términos que
definen los temas que identifican el contenido.
ESPAÑOL
Arista no dirigida
Arista dirigida
Aristas múltiples
Bucle
Grafo no dirigido
Grafo simple
Grafo dirigido
Multigrafo dirigido
Adyacente
Incidente
Grafo bipartito
Hoja
Grafo regular
Subgrafo
INGLÉS
Edge not addressed
Directed edge
Multiple edges
Loop
Graph not addressed
Simple graph
Directed graph
Multigraph directed
Adjacent
Incident
Bipartite graph
Sheet
Regular graph
Subgraph
RESUMEN DEL CONTENIDO EN ESPAÑOL E INGLÉS:
ESPAÑOL
El principal objetivo es conformar un proyecto que muestre algunas de las aplicaciones de la
teoría de grafos en las redes de comunicaciones, manejo de información y secuencia de
programas. También mostrar ejemplos y aplicaciones de la teoría de grafos en el diseño y
estructura de redes de comunicaciones, establecer situaciones donde se muestra la importancia
de los grafos dirigíos en la ejecución de programas y diseñar estructuras de bases de datos
mostrando la utilidad de los grafos a través de ejemplos ilustrados.
La finalidad de nuestro trabajo es proveer de un texto en donde se encuentren algunas de las
mas grandes e importantes aplicaciones informáticas, teoría y terminología básica de la teoría
de grafos, a los estudiantes de informática matemática e ingeniería de Sistemas de los primeros
semestres, los cuales empiezan a estudiar la teoría de grafos y a comprender que ésta puede ser
de gran ayuda para la ciencia de la computación, por ende así para sus carreras respectivas.
INGLES
The main objective is to build a project that shows some of the applications of graph theory in
communication networks, information management and sequencing programs. We also show
examples and applications of graph theory in the design and structure of communication
networks, establish situations, showing the importance of the graph directed in program
implementation and design of database structures showing the usefulness of a graph illustrated
through examples.
The purpose of our work is to provide a text where some of the biggest and important
applications, theory and basic terminology of graph theory, students of mathematics and
computer engineering of the first semester, the are beginning to study the theory of graphs and
understand that it can be very helpful for computer science, and hence for their respective
careers.
APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS EN LA
INFORMÁTICA
VIVIANA SOFIA PIEDRA HERNANDEZ
CARLOS ANDRES PATERNOSTRO MOVILLA
1
TRABAJO DE GRADO
INFORMATICA MATEMATICA
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE CIENCIAS
CARRERA DE INFORMATICA MATEMATICA
Bogotá, D. C.
10 de julio de 2009
2
DEDICATORIA
Este trabajo esta dedicado a quienes nos apoyaron económica,
física, emocional y mentalmente a lograr dar cada paso en
nuestro camino profesional. A nuestros padres, familias y
maestros.
3
RESUMEN
El principal objetivo es conformar un proyecto que muestre algunas de las aplicaciones de la
teoría de grafos en las redes de comunicaciones, manejo de información y secuencia de
programas. También mostrar ejemplos y aplicaciones de la teoría de grafos en el diseño y
estructura de redes de comunicaciones, establecer situaciones donde se muestra la
importancia de los grafos dirigíos en la ejecución de programas y diseñar estructuras de
bases de datos mostrando la utilidad de loa grafos a través de ejemplos ilustrados.
La finalidad de nuestro trabajo es proveer de un texto en donde se encuentren algunas de
las mas grandes e importantes aplicaciones informáticas, teoría y terminología básica de la
teoría de grafos, a los estudiantes de informática matemática e ingeniería de Sistemas de
los primeros semestres, los cuales empiezan a estudiar la teoría de grafos y a comprender
que ésta puede ser de gran ayuda para la ciencia de la computación, por ende así para sus
carreras respectivas.
4
AGRADECIMIENTOS
Gracias a José Luis Piedra, Reinaldo Paternostro, Carmen
Hernández y Vilma Movilla, nuestros padres y principales
colaboradores en nuestra educación. A Gustavo Nieto quien con
su inteligencia y paciencia nos ayudo a crear este trabajo. A
Alejandro Forero.
10 de julio de 2009
5
INDICE
1
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 7
2
MARCO TEÓRICO Y REVISIÓN DE LITERATURA ......................................................... 8
3
FORMULACION DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACION .................................................. 9
4
OBJETIVOS ........................................................................................................................... 10
5
HISTORIA DE LA TEORIA DE GRAFOS .......................................................................... 11
7
TÉRMINOS CLAVE .............................................................................................................. 19
8
DEFINICIONES ..................................................................................................................... 20
9
MODELOS CON GRAFOS ................................................................................................... 29
10
APLICACIONES INFORMÁTICAS USANDO LA TEORÍA DE GRAFOS ..................... 33
11
GRAFOS BIPARTITOS ......................................................................................................... 36
12
GRAFOS ISOMORFOS ......................................................................................................... 37
13
CONEXIÓN ............................................................................................................................ 39
13.1
13.2
13.3
13.4
CAMINOS ....................................................................................................................... 39
CONEXIÓN EN GRAFOS NO DIRIGIDOS .................................................................... 41
CONEXIÓN EN GRAFOS DIRIGIDOS ........................................................................... 43
APLICACIONES INFORMATICAS PARA LA CONEXIÓN ENTRE GRAFOS ............ 45
14
CAMINOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS .............................................................. 47
15
ALGORITMO DE DIJKSTRA .............................................................................................. 51
16
ÁRBOLES ............................................................................................................................... 52
17
INTRODUCCION A LOS ÁRBOLES................................................................................... 54
18
ARBOL BINARIO .................................................................................................................. 56
19
ALGORITMOS DE RECORRIDOS ..................................................................................... 57
19.1
19.2
19.3
20
IN-ORDEN ...................................................................................................................... 57
PREORDEN ..................................................................................................................... 58
POSTORDEN .................................................................................................................. 58
ÁRBOLES DE DECISIÓN ..................................................................................................... 61
20.2
20.3
20.4
APLICACIONES DE ÁRBOLES BINARIOS .................................................................. 64
APLICACIONES INFORMATICAS DE ÁRBOLES DE DECISION ............................... 70
ÁRBOLES DE JUEGOS .................................................................................................. 72
21
ARBOL RECUBRIDOR ........................................................................................................ 78
22
ALGORITMO DE KRUSKAL .............................................................................................. 79
23
ALGORITMO DE PRIM ....................................................................................................... 83
24
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................... 91
6
1
INTRODUCCIÓN
La teoría de grafos también llamada teoría de las gráficas, es una disciplina que es
importante tanto para las matemáticas como para la teoría de la computación. En esta
última disciplina todo es manejado a través de los grafos que son estructuras discretas
que constan de puntos y de líneas que se conectan entre sí. Es importante saber que
existen diferentes tipos de grafos, que se distinguen entre si por el tipo y el número de
líneas que pueden conectarse a través de pares de puntos.
Para este caso serán representados algunos de los diferentes problemas informáticos
que pueden ser resueltos a través de la teoría de grafos, dichos problemas pueden ser
como calcular el número de combinaciones diferentes de vuelo entre dos ciudades de
una red aérea, el problema del viajante, que trata de resolver cual es la manera en que
una persona debería viajar para conocer diferentes ciudades sin volver a pasar por la
misma ciudad, como utilizar grafos predecibles para la creación de sistemas
operativos, diseño de bases de datos entre otras aplicaciones.
Es importante también saber de los diferentes algoritmos ya existentes y que son de
gran importancia para poder resolver las diferentes aplicaciones informáticas, dichos
algoritmos son el de Dijkstra, Prim, Kruskal, y Kuratwoski etc.
El propósito principal de la investigacion es mostrar algunas de las aplicaciones que
contienen la teoría de grafos y cómo se pueden resolver, con la ayuda de las
matemáticas muchos manejos computacionales. Algunos de los temas relacionados
con dichas aplicaciones son: Las estructuras de datos, el diseño de circuitos planos y
la solución de variados problemas en campos tan particulares como la teoría de
juegos, en las redes telefónicas, eléctricas, Bases de datos y de comunicaciones en
general.
7
2
MARCO TEÓRICO Y REVISIÓN DE LITERATURA
Actualmente la teoría de grafos es esencial para el manejo de circuitos y la creación
del diseño de programas, en el sigo XVIII Leonhard Euler introdujo las primeras
ideas de esta disciplina.
El problema de los puentes de Konigsberg, resuelto por Leonhard Euler, en 1736, fue
el comienzo de la teoría de grafos, ya que es considerado el primer resultado de esta
disciplina.
Existieron otros pensadores que influyeron en su desarrollo, como Gustav Kirchhoff
con las leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos
eléctricos. Son éstos ejemplos esenciales para el desarrollo de la teoría de grafos.
Podemos encontrar bibliografía variada y rica en conocimiento como J. Gross, J.
Yellen: "Graph Theory and its Applications" . CRC Press, 1999 y también
encontramos K. H. Rosen: "Exploring Discrete Mathematics with Maple". McGrawHill, 1997, que nos presentan conceptos y aplicaciones matemáticas importantes.
Después de estudiar la bibliografía nos dimos cuenta que hacía falta en la bibliografía
un texto donde se encontraran en un sólo lugar algunas de las aplicaciones más
importantes en la informática en el tema de la teoría de grafos. De ahí es de donde
surge nuestro objetivo final de este proyecto.
8
3
3.1
FORMULACION DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACION
Formulación del problema
El problema básicamente se centra en la falta de información sobre algunas
aplicaciones informáticas desde un tema tan amplio como es la teoría de grafos. Lo
que se pretende solucionar es contar rápidamente con un manual, en el cual se puedan
encontrar algunas de las más importantes aplicaciones informáticas en el ámbito de
dicha disciplina.
3.2
Justificación de la investigación
La finalidad de nuestro trabajo es proveer de un texto en donde se encuentren algunas
de las más grandes e importantes aplicaciones informáticas, teoría y terminología
básica de la teoría de grafos, a los estudiantes de informática matemática e ingeniería
de Sistemas, los cuales apenas empiezan a estudiar la teoría de grafos y a comprender
que ésta puede ser de gran ayuda para la ciencia de la computación ya que a través de
ella se logran muchas de las aplicación mostradas alrededor de toda su carrera.
9
4
OBJETIVOS
4.1
Objetivo General:
Conformar un proyecto que muestre algunas de las aplicaciones de la teoría de grafos
en las redes de comunicaciones, manejo de información y secuencia de programas.
4.2
Objetivos Específicos:
-
Mostrar ejemplos y aplicaciones de la teoría de grafos en el diseño y
estructura de redes de comunicaciones.
-
Establecer situaciones donde se muestra la importancia de los grafos dirigidos
en la ejecución de programas
-
Diseñar estructuras de bases de datos mostrando la utilidad de los grafos a
través de ejemplos ilustrados.
10
5
HISTORIA DE LA TEORIA DE GRAFOS
La teoría de grafos es una disciplina que hoy en día presenta un desarrollo vertiginoso
debido a su importancia en el diseño de programas, circuitos etc. Sus ideas básicas las
introdujo el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII.
Los grafos desde sus inicios se han empleado para resolver problemas de diversas
áreas. Dicha disciplina se puede utilizar, por ejemplo, para determinar si se puede o
no implementar un circuito sobre una placa de una sola capa; también a través de ella
se pueden diferenciar dos compuestos químicos que tengan la misma fórmula
molecular, pero distinta estructura. Como es también de gran importancia para
nuestra área, Informática, ya que a través de los grafos se pueden estudiar las
estructuras de redes en Internet, redes neuronales, análisis de los diferentes algoritmos
ya existentes, manejo de las estructuras de datos, la creación de los diferentes
sistemas operativos manejados hoy en día, entre otras aplicaciones.
Esta disciplina fue creada por el respetado matemático Leonhard Euler nacido el 15
de abril de 1707 en Brasilea, Suiza, y fallecido el 18 de septiembre de 1783 en San
Petersburgo. Quien es considerado como el principal matemático del siglo XVIII y
como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Euler Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó múltiples aportes
a la matemática, siendo uno de los más importantes la teoría de grafos, en 1736 con el
trabajo de los puentes de Konigsberg que fue considerado el primer resultado de
dicha disciplina.
Dicho problema consistía en que existen dos islas en el Rio Pregel en tierras de
Konigsberg, y que existen 7 puentes que se cruzan entre dichas islas, por lo cual
Euler se pregunto ¿Es posible dar un paseo empezando por cualquiera de las cuatro
11
partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de
partida?
=
FIGURA 1. PUENTE DE KONIGSBERG Y SU REPRESENTACIÓN EN
GRAFOS
Euler enfocó dicho problema representando cada parte de tierra por un punto y cada
puente, por una línea. Al final de esto se llega a la misma pregunta ¿Se podrá recorrer
todas las líneas del dibujo terminando en el mismo punto de partida sin repetir las
líneas?
Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada
punto no es par, (condición necesaria para entrar y salir de un mismo punto). Así
nació la teoría de grafos.
También existieron otros trabajos que influyeron en su desarrollo, como el de Gustav
Kirchhoff, quien publicó sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la
corriente en los circuitos eléctricos; en éste se estudiaron los grafos conexos de
medida mínima, es decir, sin ciclos (árboles) con el objetivo de desarrollar un método
efectivo para el análisis de redes eléctricas entendido dicho análisis como el cálculo
de la intensidad y la diferencia de potencial de cada elemento de la red (resistencia,
bobina, condensador, fuente de tensión, etc.). En realidad conocidas las características
físicas de un elemento (resistencia, inductancia o capacidad, según corresponda) las
12
dos variables Jk(t) y Vk(t) están relacionadas por una ley física (Ohm, etc.). Además,
por el hecho de estar interconectados deben cumplir los postulados conocidos como
leyes de Kirchhoff :
La suma algebraica de las intensidades (corrientes) asociadas a los arcos incidentes a
un vértice dado ha de ser 0 (CP). (No se acumula intensidad en ningún nodo).
La suma algebraica de los voltajes asociados a los arcos de cualquier ciclo ha de ser
0 (VP). (La diferencia de potencial ha de ser 0).
El término “suma algebraica" tiene el significado siguiente:
(CP): se suma [resta] si corresponde a un arco adyacente desde [hacia] el vértice en
cuestión;
(VP): se asigna una orientación arbitraria al ciclo y, según esta, se suma [resta] un
voltaje si la orientación del arco asociado coincide [difiere] con la del ciclo.
Modelización: Imponiendo dichos postulados a cada uno de los nodos y ciclos del
grafo que modela la red eléctrica se obtiene un sistema de ecuaciones lineales a
solucionar. El trabajo de Kirchhoff consistió en determinar un sistema equivalente y
reducido de dichas ecuaciones. Tal reducción se obtiene considerando únicamente las
ecuaciones asociadas a un sistema fundamental de ciclos y cortes asociados a un árbol
generador del grafo subyacente que, en total, da lugar a un sistema de tantas
ecuaciones lineales como elementos eléctricos. Dado un árbol generador T de un
grafo G de orden n, un ciclo fundamental asociado a T se obtiene añadiendo a T una
arista de G no perteneciente a T. De este modo pueden obtenerse m - (n - 1) ciclos
distintos, donde m es la medida de G. Por otro lado, un corte fundamental está
formado por el conjunto de arcos que unen pares de vértices situados en las dos
componentes conexas que resultan de suprimir en el árbol generador una de sus
aristas. Así, en total, hay n - 1 conjuntos de corte fundamentales.
13
EL PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES
En 1852 Francis Guthrie escribió una carta a su hermano Frederick, discípulo de
Augustus de Morgan, preguntándole si sería posible demostrar matemáticamente que
son suficientes cuatro tintas para colorear cualquier mapa de forma que países con
frontera común tengan asignados colores distintos. Al hablar de “países vecinos",
Guthrie debió pensar en países adyacentes a lo largo de una línea fronteriza común ya
que si se permitiesen fronteras reducidas a un punto, como ocurre con los distintos
trozos en los que se divide un pastel, serían necesarios tantos colores como países.
Por otro lado, por “país" debieron entender una “región conexa" ya que si no fuera así
habría mapas pentacromáticos.
Augustus de Morgan probó que no es posible que cinco países estén situados de
modo que cada país tenga frontera común con cada uno de los otros cuatro. Ahora
bien, en general, del hecho que en un determinado mapa se observe que no puede
haber k países adyacentes dos a dos no puede deducirse que pueda pintarse con k
colores.
En 1878 Arthur Cayley, incapaz de probar o refutar la conjetura de los cuatro colores,
presentó el problema a la London Mathematical Society. Antes de transcurrir un año,
Alfred Kempe (abogado y miembro de la sociedad) publicó un artículo en el que
hablaba de haber demostrado la conjetura de los cuatro colores.
Aunque la demostración de Kempe resultó ser incompleta ésta contenía la mayor
parte de las ideas fundamentales que posteriormente serían utilizadas por Appel y
Haken.
Noción de mapa normal: es aquélla donde ningún país engloba otros países y donde,
además, nunca hay más de tres países que tengan un punto común.
14
Kempe demostró que era suficiente probar la conjetura de los cuatro colores para los
mapas normales ya que si hubiera un mapa que precisara de cinco colores, entonces
también habría un mapa pentacromático normal. También se percató que era
suficiente trabajar con mapas normales minimales, en el sentido que contienen el
mínimo número de países. Así, pues, el esquema de la demostración de Kempe
consistía en suponer la existencia de un mapa pentacromático normal y minimal y
concluir de ella una contradicción.
Kempe demostró primero que todo mapa normal debe tener un país con cinco, o
menor número, de países vecinos (en términos de grafos, a cada mapa normal se le
puede asociar un grafo plano (grafo dual) cuyas caras serán triángulos y, como grafo
plano, debe tener al menos un vértice de grado menor o igual que cinco). De aquí
dedujo que el conjunto de configuraciones (un país tiene dos vecinos, tres vecinos,
cuatro vecinos o cinco vecinos) es “inevitable" en cuanto todo mapa normal debe
contener alguna de ellas. Entonces su objetivo era probar que cada una de estas
configuraciones era también “reducible" en el sentido que si un mapa pentacromático
minimal contenía una de ellas, entonces habría un mapa pentacromático con menor
número de países, lo cual es absurdo. Su demostración es incompleta ya que la prueba
que presenta para el caso de la configuración de un país con cinco vecinos es
incorrecta. (De alguna manera puede decirse que la demostración de Appel y Hakel
corrige esta deficiencia analizando, mediante un programa informático, unas 1500
configuraciones).
En 1890, once años después de publicarse la demostración de Kempe, John
Heawood señaló que el razonamiento dado por Kempe para justificar la
imposibilidad de mapas pentacromáticos minimales en los cuales hubiese un país con
cinco vecinos era insuficiente y, además, su arreglo parecía harto difícil. Heawood se
planteó el problema de la coloración de un mapa en otras superficies (además del
plano y la esfera) y obtuvo cotas superiores para el número mínimo de colores
necesarios. Sin embargo sus razonamientos no podían aplicarse en el caso del plano.
Heinrich Heesch (1936) parece haber sido el primer matemático que con
15
posterioridad a Kempe haya afirmado públicamente que la conjetura de los cuatro
colores podría demostrarse encontrando un conjunto de configuraciones inevitables y
reducibles. Heesch utilizó un método muy conveniente para la representación de
configuraciones. Esta representación se conoce hoy como el grafo dual del mapa
original. Dicho grafo (plano) se obtiene considerando como vértices las capitales de
los distintos países y como aristas las trazas que unen las capitales correspondientes a
países vecinos y que cortan la frontera común. Así, asociado a un mapa normal
tenemos un grafo plano cuyas caras son triángulos. Por otro lado, con el objetivo de
hallar configuraciones inevitables, Heesch introdujo un método que puede asimilarse
al desplazamiento de cargas eléctricas de una malla.
Kenneth Appel y Wolfgang Haken, de la universidad de Illinois, en enero de
1976 comenzaron la construcción de un conjunto inevitable de configuraciones
reducibles utilizando un nuevo proceso de descarga. En junio de 1976, después de
1200 horas de funcionamiento de tres ordenadores distintos, terminaron la
construcción. Los revisores de su trabajo, presentado en el Illinois Journal of
Mathematics, “comprobaron" los cómputos de irreductibilidad mediante un
programa independiente. Según, Appel y Haken, su demostración sugiere que existe
un límite por que se puede conseguir con métodos puramente teóricos, incluso en el
campo de las matemáticas y pone de relieve que en el pasado se había subestimado el
uso de métodos computacionales en las demostraciones matemáticas.
FIGURA 2. EJEMPLO GRAFICO DEL PROBLEMA DE LOS CUATRO
COLORES
16
Estos trabajos desarrollados por dichos matemáticos fueron de gran importancia ya
que dieron inicio a lo que miraremos en todo el transcurso del trabajo que lo
llamaremos teoría de grafos y aplicaciones informáticas.
6
REPRESENTACIÓN DE GRAFOS EN PROGRAMAS.
Hay tres maneras de representar un grafo en un programa: mediante matrices,
mediante listas y mediante matrices dispersas.
Representación mediante matrices: La forma más fácil de guardar la información de
los nodos es mediante la utilización de un vector que indexe los nodos, de manera que
los arcos entre los nodos se pueden ver como relaciones entre los índices. Esta
relación entre índices se puede guardar en una matriz, que llamaremos de adyacencia.
Ejemplo de matriz de adyacencia:
A
C
B
FIGURA 3. Representación de un grafo dirigido.
Para la representación de la matriz se utilizara la siguiente condición:
0 el vértice i está conectado con el vértice j.
aij=
-1 el vértice i no está conectado con el vértice j.
17
A
B
C
A
-1
0
0
B
-1
-1
0
C
-1
-1
-1
TABLA 1. Representación de la FIGURA 3 a través de una matriz de adyacencia.
Representación mediante listas: En las listas de adyacencia lo que haremos será
guardar por cada nodo, además de la información que pueda contener el propio nodo,
una lista dinámica con los nodos a los que se puede acceder desde él. La información
de los nodos se puede guardar en un vector, al igual que antes, o en otra lista
dinámica.
A
B
C
FIGURA 4. Representación de la FIGURA 3 mediante listas.
Representación mediante matrices dispersas: Una matriz dispersa es una matriz de
grandes dimensiones (la cual puede aceptar muchos elementos), dichas matrices son
de gran importancia en la teoría de grafos, ya que si tenemos que representar un área
de red amplia, existirán muchos elementos, la cual utilizando una lista de adyacencia
o una matriz normal pueda que no se guarden todos sus elementos por esto se crearon
dichas matrices para no tener estos problemas en cuanto al manejo de información.
18
7
TÉRMINOS CLAVE
Arista no dirigida: una arista asociada al conjunto {u, v}, donde u y v son vértices.
Arista dirigida: una arista asociada al par ordenado (u, v), donde u y v son vértices.
Aristas múltiples: aristas distintas conectando a los mismos vértices.
Bucle: una arista que conecta a un vértice consigo mismo.
Grafo no dirigido: un conjunto de vértices junto con un conjunto de aristas no
dirigidas que conectan a estos vértices entre si.
Grafo simple: un grafo no dirigido sin bucles ni aristas múltiples.
Grafo dirigido: un conjunto de vértices junto con un conjunto de aristas dirigidas que
conectan a estos vértices entre si.
Multigrafo dirigido: un grafo con aristas dirigidas que puede tener aristas dirigidas
múltiples.
Adyacente: dos vértices son adyacentes si hay una arista entre ellos.
Incidente: una arista es incidente con un vértice, si el vértice es un extremo de la
arista.
δ(v) (grado del vértice v de un grafo no dirigido): el número de aristas incidentes con
v.
δ+(v) (grado de salida del vértice v de un grafo dirigido): el número de aristas que
tienen a v como vértice inicial.
δ-(v) (grado de entrada del vértice v de un grafo dirigido): el número de aristas que
tienen a v como vértice final.
Grafo bipartito: un grafo cuyo conjunto de vértices esta dividido en dos subconjuntos
V1 y V2 tales que cada arista del grafo conecta un vértice de V1 con un vértice de V2.
Vértice aislado: un vértice de grado cero.
Hoja: un vértice de grado uno.
Grafo regular: un grafo en el que todos los vértices tienen el mismo grado.
19
Subgrafo de un grafo G = {V, E}: un grafo (W, F) tal que W es subconjunto de V y F
es subconjunto de E.
8
DEFINICIONES
DEFINICIÓN1: Vértice
Un vértice es la unidad fundamental de la que están formados los grafos. Los vértices
son tratados como un objeto indivisible y sin propiedades, aunque puedan tener una
estructura adicional dependiendo de la aplicación por la cual se usa el grafo; por
ejemplo, una red semántica es un grafo en donde los vértices representan conceptos o
clases de objetos.
tiene
EMPRESA
Tiene
EMPLEADOS
pertenecen
DEPARTAMENTOS
FIGURA 5. Representación de una red semántica.
DEFINICIÓN 2: Grafo
Un grafo simple G= {V, E} consta de V, un conjunto no vacío de vértices, y de E, un
conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de V. A estos pares se les
llama arista. A continuación podemos dar una representación de lo que es un grafo:
20
V1
arista
V2
V3
V4
FIGURA 6.Representación de un grafo no dirigido de 2 vértices y una arista
DEFINICIÓN 3: Subgrafo
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son
subconjuntos de los de G. Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si algún
subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la
situación)
El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas las aristas
adyacentes al subconjunto de vértices de G.
DEFINICIÓN 4: Aristas dirigidas y no dirigidas
Las aristas son las uniones entre vértices.
En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se
quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. El
conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados
de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los grafos que contienen aristas dirigidas se
denominan grafos orientados, como el siguiente:
A
contiene a
B
FIGURA 7. Grafo dirigido.
A
B
FIGURA 8. Grafo no dirigido.
21
Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos
(equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un
sentido).
a
d
c
b
e
FIGURA 9. Representación de grafo dirigido.
En la FIGURA 9 V = {a, b, c, d, e} y A = {(a, c), (d, a), (d, e), (a, e), (b, e), (d, b)}.
Se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice v (y se
indica como (v)), como la cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el caso de
grafos no orientados, el grado de un vértice es simplemente la cantidad de aristas
incidentes a este vértice. Por ejemplo, el grado positivo (salidas) de d es 3, mientras
que el grado negativo (llegadas) de d es 0.
DEFINICIÓN 5: Multigrafo
Un multigrafo G= {V, E} consta de un conjunto V de vértices, un conjunto de E
aristas y una función f de E en {{u, v} |u, v € V, u≠v}. Se dice que las aristas e₁ y e₂
son aristas múltiples o paralelas su f(e₁)= f (e₂).
22
V4
V3
V1
V2
FIGURA 10. Representación de un multigrafo no dirigido de 4 vértices y 5 aristas
Como podemos ver en el anterior grafo V1,V2, V3, Y V4 tienen más de una arista
que conectan un mismo vértice a eso se le denomina un multigrafo.
Cuando hay mucho tráfico de información en diferentes servidores, es importante
tener varias líneas telefónicas simples esto se hace para que el flujo de información
que se este mandando quepa en varias líneas telefónicas (modelo multigrafo), ya que
si se esta mandando mucha información en los diferentes servidores y se toma una
sola línea telefónica (grafo simple), pueda que esa línea no tenga la capacidad
suficiente para mandar toda la información necesaria en consecuencia traerá perdida
de información y por lo cual hay una inestabilidad en las redes ya que no esta
mandando toda la información necesaria.
Como podemos ver en el anterior grafo si tomamos que los servidores son los vértices
y las líneas telefónicas son las aristas y se esta enviando un flujo de información
grande en V1 a V2, como podemos ver, V1 y V2 están utilizando dos aristas o sea
dos líneas telefónicas por lo que se esta enviado un flujo de información grande, pero
si podemos ver en V2 a V4 o V2 a V3 se esta enviando un flujo de información
pequeño por lo que nada más es necesario utilizar una sola arista en el cual representa
una sola línea telefónica.
Por lo tanto una forma de manejar redes entre servidores para el manejo de mucha
información es utilizando un modelo de multigrafos.
23
DEFINICION 7: Pseudografo
Un pseudografo G= {V, E} consta de un conjunto V de vértices, un conjunto E de
aristas y una función f de E en {{u, v}| u, v € V}. Una arista e es un bucle, o lazo, si
f(e) = {u, u} = {u} para algún u € V.
V1
V2
V4
V3
FIGURA 11.Representación de un pseudografo de 4 vértices, 5 aristas y 3 bucles
Como podemos ver en la FIGURA11, V1, V3 Y V4 tienen aristas conectadas
consigo mismo. Ese tipo de conexiones se llama bucles, por lo tanto aquellos grafos
que tengan bucles en sus vértices son denominados pseudografos.
Una aplicación que puede ser manejada con este tipo de grafo puede ser también las
redes entre servidores. Ya que pudimos arreglar el problema cuando uno quiere
enviar un flujo de información grande poniendo más líneas telefónicas y en la cual es
representado con un multigrafo, pero que pasaría con la información que no pudo ser
enviada o que se perdió en el momento del envio; para eso tocaría volver a reenviar
la información y utilizar un modelo de multigrafo no será la mejor forma, ¿ pues
cómo vamos a saber nosotros que un servidor va a volver a reenviar dicha
información?; la mejor forma de estar seguro de que dicha información va ser
enviada es utilizando bucles en cada servidor para que cuando se pierda una
información lo que haga dicho bucle es reenviar dicha información que se perdió y
así podemos controlar el manejo de información sin pérdida y eso lo vamos a poder
hacer a través del pseudografo.
24
Vemos que en la FIGURA 11, V1, V3, V4 tienen bucles; dichos bucles están
puestos en los vértices para saber que si hay una pérdida de información, a ellos les
toque volver a retransmitir dicha información.
DEFINICIÓN 8: Grafo Dirigido
Un grafo dirigido (V, E) consta de un conjunto V de vértices y de un conjunto E de
aristas, que son pares ordenados de elementos de V.
V2
V1
Arista con dirección
FIGURA 12. Representación de un grafo dirigido compuesto de 2 vértices y una
arista
Utilizando la misma aplicación de comunicación entre servidores, usando un diseño
de grafo dirigido podemos ver que el servidor 1 (V1), puede enviarle un flujo de
información al servidor 2 (v2), pero el servidor 2 no puede enviarle un flujo de
información al servidor 1, porque como podemos ilustrar la arista es dirigida por lo
que la línea telefónica es manejada unidireccionalmente (SIMPLEX).
Las aplicaciones que se pueden manejar utilizando grafos dirigidos pueden servir de
mucha ayuda para la comunicación entre servidores, esto se da porque en las
comunicaciones es fundamental utilizar la transmisión de medio SIMPLEX y HALFDUPLEX que es intentar comunicar servidores de manera unidireccional y la mejor
forma de hacerlo es utilizando un diseño de grafos dirigidos.
25
DEFINICIÓN 9: Multigrafo Dirigido
Un multigrafo dirigido G= (V, E) consta de un conjunto V de vértices, un conjunto E
de aristas y una función f de En E= {(u, v) | u, v€ V}. Se dice que la aristas e₁ y e₂ son
aristas múltiples si f (e₁)= f (e₂).
V2
V1
e3
e5
e4
e6
e1
e2
V5
V4
e7
e8
V3
FIGURA13. Representación de un multígrafo dirigido
El anterior diseño de multigrafo puede ser aplicativo también en redes entre
servidores cuando se quiere enviar un flujo de información grande de manera
unidireccional, como ilustramos anteriormente V1, V2, y V5 necesitan enviar gran
cantidad de flujo de información de manera unidireccional hacia los servidores V3,
V2, y V1 para eso la mejor forma de hacer dicho diseño es utilizando un multigrafo
dirigido.
DEFINICIÓN 10: Pseudografo dirigido
Un pseudografo dirigido es un grafo G= {V, E} donde V≠Ѳ y E es subconjunto VxV
es un conjunto de pares ordenados y etiquetados de elementos de V.
Es decir, un pseudografo dirigido es un grafo dirigido que acepte bucles en E.
26
V1
V3
V2
FIGURA 14. Representacion de un pseudografo dirigido
NOTA: Es importante que para hacer un buen diseño en teoría de grafos para
aplicaciones informáticas se necesita que las terminologías explicadas anteriormente
estén bien entendidas para eso se mostrara una tabla resumida con las terminologías
ya explicadas, con el fin de tener un mejor entendimiento en la hora de querer hacer
diseños para manejos aplicativos a través de los grafos.
TERMINOLOGIA EN TEORIA DE GRAFOS
Tipos
Aristas
¿Se admite
aristas
múltiples?
¿Se admiten
bucles?
Grafo simple
No dirigido
No
No
Multigrafo
No dirigido
Si
No
Pseudografo
No dirigido
Si
Si
Grafo dirigido
Dirigido
No
Si
Multigrafo
dirigido
Dirigido
Si
No
Dirigido
Si
Si
Pseudografo
dirigido
TABLA 2. TERMINOLOGIA EN TEORIA DE GRAFOS
27
DEFINICIÓN 11: Se dice que dos vértices u y v de un grafo no dirigido G son
adyacentes (o vecinos) en G si {u, v} es una arista de G. Si e = {u, v}, se dice que la
arista e es incidente con los vértices u y v. también se dice que la arista e conecta a u
y v. se dice que los vértices u y v son extremos de la arista e.
DEFINICIÓN 12: El grado de un vértice de un grafo no dirigido es el número de
aristas incidentes con él, exceptuando los bucles, cada uno de los cuales contribuye
con dos unidades al grado del vértice. El grado de un vértice se denota por δ(v).
DEFINICIÓN 13: Si (u, v) es una arista del grafo dirigido G, se dice que u es
adyacente a v y que v es adyacente desde u. Al vértice u se le llama vértice inicial de
(u, v) y a v se le llama vértice final o Terminal de (u, v). Los vértices iníciales y
Terminales de un bucle coinciden.
DEFINICIÓN 14: En un grafo dirigido, el grado de entrada de un vértice v, denotado
por δ‾(v), es el numero de aristas que tiene a como vértice final. El grado de salida de
un vértice v, denotado por δ+(v), es el numero de aristas que tiene a como vértice
inicial.
DEFINICIÓN 15: La unión de dos grafos simple G1 = (V1, E1 ) y G2= (V2, E2 ) es el
grafo simple cuyo conjunto de vértices es V1 U V2 y cuyo conjunto de aristas es E1 U
E2 . La unión de G1 y G2 se denota por G1 U G2. Ejemplo en el grafo de la FIGURA
14. δ‾(V1)=2 δ+(V1) =2
28
9
MODELOS CON GRAFOS
Los grafos se emplean en una gran variedad de modelos en diferentes áreas, en
nuestro caso mostraremos algunos modelos empleados en el área computacional:
Grafos de llamadas
Los grafos se pueden utilizar para representar las llamadas telefónicas hechas en una
red, por ejemplo en una red telefónica de larga distancia. En particular, puede usarse
un multigrafo dirigido para representar llamadas: cada vértice representa un número
de teléfono y cada arista representa una llamada. La arista que representa una llamada
sale del número del teléfono desde el que se hace la llamada y llega al número de que
lo recibe.
En la siguiente FIGURA que ilustraremos, se muestra un pequeño grafo de llamadas
telefónicas que representa siete números de teléfono. Este grafo muestra, por ejemplo,
que se han hecho cinco llamadas telefónicas desde el 732-555-1234 al 732-555-4444
a ninguno de los otros seis números, salvo al 732-555-0011. Cuando solo nos importa
si ha habido o no alguna llamada entre dos números, empleamos un grafo no dirigido
tal que una arista conecta dos números de teléfono si se ha hecho alguna llamada en
dichos números. Esta versión del grafo de llamadas la mostraremos a continuación.
29
732-555-4444
732-555-1001
732-555-1234
732-555-0069
732-555-0011
732-555-9876
732-555-6666
FIGURA 15. Representación grafo de llamadas
Grafo de la Red
La red de Internet se puede representar mediante un grafo dirigido en el que cada
pagina Web esta representada por un vértice y en el que una arista comienza en la
pagina a y termina en la pagina b si hay un enlace en la pagina a que conduce a la
pagina b. Como cada segundo se crean paginas Web nuevas y otras desaparecen, hay
más de mil millones de vértices y decenas de miles de millones de aristas. Hay
muchas personas estudiando las propiedades del grafo de la red para entender mejor
la naturaleza de la red de Internet.
Grafos de precedencia y procesamiento concurrente
Los programas informáticos, más que todo para los Sistemas Operativos, pueden
ejecutarse más rápidamente si ciertas sentencias se ejecutan simultáneamente. Es
30
importante no ejecutar sentencias que requieran el resultado de sentencias no
ejecutadas. La dependencia de sentencias con respecto a sentencias previas se puede
representar por medio de un grafo dirigido. Cada sentencia se representa por un
vértice, y hay una arista de un vértice a un segundo si la sentencia representada por el
segundo vértice no puede ejecutarse hasta la sentencia representada por el primero se
ha ejecutado. A este tipo de grafo se le llama grafo de precedencia. Por ejemplo, el
grafo nos dice que la sentencia S₅ no se puede ejecutar hasta que se ejecute S₁, S₂, y
S₄.
S6
S5
S3
S4
S1
S2
FIGURA16. Representación de un Grafo de procedencia
S1 a:= 0
S2 b:= 1
S3 c:= a+1 (necesita que s1 se ejecute para que s3 se ejecute)
S4 d:= b+a (necesita que s1 y s2 se ejecute para que s4 se ejecute)
S5 e:= d+1 (necesita que s4 se ejecute para que s5 se ejecute)
S6 f:= d+c (necesita que s4 y s3 se ejecuten para que s6 se ejecute)
Como pudimos ver anteriormente estos grafos son de gran ayuda para aplicaciones
que tengan que ver con el manejo de los sistemas operativos en las computadoras ya
31
que pueden servir de mucho para el diseño de ejecución de programas para dicho
sistema.
Diseño de bases de datos
Los grafos también pueden ser de gran ayuda para el diseño de bases de datos en las
empresas; por ejemplo, una organización necesita saber información acerca de sus
empleados, de sus departamentos, y de los trabajos que hace cada empleado en los
departamentos. Para estos seria bueno hacer un diseño de una base de datos para que
así la empresa tenga una facilitación en saber acerca de todo lo que necesita, pero
para eso es necesario hacer el diseño de las bases de datos y una forma de poder
representarlos es a través de un grafo.
Para hacer un breve diseño en grafos de una base de datos conocer que información
acerca de sus empleados, departamentos y de los trabajos que hace cada empleado en
su departamento, sería conveniente representar los vértices como la información que
hay para los empleados, departamentos, y trabajos, y las aristas como la relación que
hay para cada una de ellas a continuación ilustraremos el diseño a través de un
multigrafo no dirigido.
32
Empleados
Trabajos
Empresa
Departamentos
FIGURA 17. Representación de un multigrafo no dirigido para una organización.
Anteriormente ilustramos que a través de los grafos se pueden representar el diseño
de una base de datos para una empresa, como podemos ver existen vértices que los
llamamos empleados, trabajos, departamentos, y Empresa, los enlaces muestran la
comunicación que es impredecible para que la empresa tenga la capacidad de conocer
la información que más le interese.
10 APLICACIONES INFORMÁTICAS USANDO LA TEORÍA DE GRAFOS
Un sistema de adquisición de datos supervisa continuamente un cierto proceso físico,
para registrar su comportamiento, informar cambios significativos y enviar comandos
a un controlador de proceso.
Desde la perspectiva del programador, el sistema debe:
Recoger un paquete de datos desde los sensores y colocarlo en una memoria del
computador
33
Una vez se tienen los datos, archivarlos en disco y efectuar un cálculo para identificar
el estado de funcionamiento.
Una vez calculado el estado, informar si se han detectado cambios significativos y
enviar comandos al controlador
Para aprovechar el paralelismo, el sistema se divide en cinco procesos, los cuales
efectúan las siguientes actividades:
R (recoger), G (guardar), C (calcular), I (imprimir) y E (enviar).
Si se necesitara recoger dos veces un paquete de datos desde un mismo sensor,
construir un grafo de precedencia, y mostrar el orden en que los procesos tienen que
ser ejecutados.
R1
R2
G2
G1
I1
I2
C2
C1
E1
E2
FIGURA 18. Representación de un grafo de precedencia.
R1 a:= 0* (Inician recogiendo un paquete de datos desde los sensores)
34
G1 b:= a+1 (Guardan los datos que fueron recogidos)
C1 c:= a+1 (Calculan los datos que fueron recogidos)
I1 d:= a+c (Después de calcular el paquete de datos. Imprime lo que lleva hasta el
momento)
E1 e:= a+c (Enviar lo que se calculo del primer paquete de datos recogido, ya que
toca volver a recoger otro paquete de datos desde el sensor y no se puede perder lo
que se lleva hasta el momento)
R2 a1:= b+c (después de que haya calculado y guardado el paquete de datos anterior,
se puede volver a recoger el siguiente paquete de datos)
G2 b1:= a1+1 (vuelve otra vez a guardar lo que recoge de los sensores de datos)
C2 c1:= a1+1 (vuelve otra vez a calcular de lo que recogió hasta el principio)
I2 d1:= a1+c1 (ahora se imprime el total de lo que recogió)
E2 e1:= a1+c1 (vuelve a enviar el total que calculo, esto lo hace si le toca volver a
recoger en el sensor de datos).
(*) esta es la forma en que se representa un grafo de precedencia.
Las anteriores secuencias son manejadas en los sistemas operativos cuando se quieren
hacer varias impresiones en WORD simultáneamente.
35
11 GRAFOS BIPARTITOS
DEFINICIÓN: Se dice que un grafo simple G es bipartito si su conjunto de vértices V
se puede dividir en dos conjuntos distintos V1 y V2 tales que cada arista del grafo
conecta un vértice de V1 con un vértice de V2 (de manera que no haya ninguna arista
que conecte entre si dos vértices de V1 ni tampoco dos vértices de V2).
11.1 APLICACIONES INFORMÁTICAS
Podemos encontrar aplicaciones informáticas con grafos bipartitos en la comparación
de archivos de computador, utilizando el problema de la Longest Common
Subsequence (LCS), en español Subsecuencia Común Más Larga , en el cual dadas
dos palabras X e Y sobre un alfabeto finito cualquiera, lo que pretende es encontrar
cuál es el largo máximo que puede tener una palabra que sea subsecuencia de X e Y
simultáneamente.
Por ejemplo, si consideramos X=matemáticas e Y=astronomía, una LCS (y en este
caso la única) es atmia. El largo de una LCS se usa comúnmente como criterio de
comparación de palabras, pues está relacionada con la cantidad de "pasos" necesarios
para ir de una palabra a la otra mediante operaciones de inserción, eliminación y
reemplazo de caracteres.
Vamos a visualizar un poco más el ejemplo. Todo par de palabras puede
representarse convenientemente como un grafo bipartito donde los arcos unen a los
caracteres coincidentes de ambas palabras.
X=matemáticas e Y=astronomía, el grafo que los representa sería:
36
FIGURA 19. Representación de grafo bipartito.
Un matching en un grafo arbitrario (no necesariamente bipartito) es cualquier
conjunto de arcos que no comparten extremos; un PM es un matching en donde los
arcos no se cruzan ni comparten extremos. Así, calcular la LCS entre dos palabras no
es más que calcular el matching planar de costo máximo del grafo bipartito asociado
a dichas palabras, donde todos los arcos tienen costo igual a 1. Más aún,
aprovechando la generalidad que otorga ver el problema LCS como uno de matching,
se nos ocurren ideas nuevas que dan mayor alcance al concepto de comparación de
palabras: podemos, por ejemplo, agregar más arcos al grafo asociado a dos palabras
cuando los caracteres tengan cierta similitud o cuando compartan algún atributo, y
asociarle un costo menor al que tienen los arcos que unen caracteres iguales.
12 GRAFOS ISOMORFOS
DEFINICION
Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina isomorfismo de G a G´ a la aplicación
biyectiva f tal que para a, b ε V, {a,b}ε E se cumple {f(a),f(b)} ε E´. Es decir, la
aplicación que relaciona biyectivamente pares de vértices de E con pares de vértices
de E´, de modo que los vértices conectados por aristas siguen estándolo.
37
INTRODUCCIÓN
Hay muchas maneras en las que los caminos y circuitos pueden ayudarnos a
determinar si dos grafos son o no isomorfos. Por ejemplo, la existencia de un circuito
simple de una longitud concreta es un invariante útil que se puede emplear a la hora
de mostrar que dos grafos no son isomorfos.
Además, podemos hacer uso de los caminos a la hora de construir posibles
isomorfismos.
Como ya hemos dicho, un invariante bajo isomorfismo es útil para grafos simples es
la existencia de un circuito simple de longitud k, siendo k un entero positivo mayor
que 2.
En este ejemplo, G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales,
solo varia la apariencia, o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos
y ciclos.
a
c
1
2
b
3
d
G
4
FIGURA 20. Ejemplo de grafos isomorfos.
38
G‟
13 CONEXIÓN
INTRODUCCION
Hay muchos problemas que se pueden representar por medio de caminos que se
forman al ir recorriendo las aristas de un grafo. Por ejemplo, el problema de
determinar si se puede enviar o no un mensaje entre dos ordenadores usando enlaces
intermedios puede estudiarse utilizando un modelo de grafos. Los problemas de
planificar de forma eficiente las rutas de distribución de correo, de recogida de
basuras, los diagnósticos en redes de ordenadores y muchos otros pueden resolverse
utilizando modelos que involucran caminos definidos sobre grafos.
13.1 CAMINOS
De manera informal, un camino es una secuencia de aristas que comienza en un
vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de
vértices adyacentes. En la definición 1 se da una definición formal de los caminos, así
como cierta terminología relacionada con ellos.
DEFINICION 1
Sea n un entero no negativo y sea G un grafo no dirigido. Un camino de longitud n de
u a v en G es una secuencia de n aristas a₁ a₂,…, an de G tal que f(a₁)= {x₀, x₁}, f(a₂)=
{x₁, x₂},…, f(an){xn-1, xn}, donde x0 = u y xn = v. (Ya que el enumerar estos vértices
determina el camino de forma única).
El camino es un circuito si comienza y termina en el mismo vértice, esto es, si
u=x0=xn=v, y tiene longitud mayor a cero. Se dice que el camino circuito pasa por los
39
vértices x0, x₁ x₂,…, xn o también que recorre las aristas a₁ a₂,…, an. Un camino o
circuito es simple si no contiene la misma arista más de una vez.
Cuando no es necesario distinguir entre aristas múltiples, denotaremos el camino a₁
a₂,…, an, donde f(a₁) = {xi-1, xi} para i= 1, 2, …, n. Por su secuencia de vértices x₀, x₁,
xn. Esta notación identifica un camino mediante los vértices por los que pasa, puede
haber más de un camino que pase por esa secuencia de vértices. Nótese que un
camino de longitud cero consiste en un único vértice.
EJEMPLO
En el grafo simple que mostraremos en la siguiente FIGURA a, d, c, f, e es un camino
simple de longitud 4, ya que {a, d}, {d, c}, {c, f} y {f, e} son aristas. Sin embargo, d,
e, c, a no es un camino, ya que {e, c}, no es una arista. Nótese que b, c, f, e, b es un
circuito de longitud 4, ya que {b, c}, {c, f}, {f, e} y {e, b} son aristas, y este camino
comienza y termina en b. El camino a, b, e, d, a, b, que tiene longitud, no es simple,
ya que contiene dos veces la arista {a, b}.
a
b
c
d
e
f
FIGURA 21. Representación de un grafo simple
40
DEFINICION 2
Sean n un entero no negativo y G un multigrafo dirigido. Un camino de longitud n de
u a v en G es una secuencia de aristas a₁, a₂,…, an de G talque f (a₁)= (x₀, x₁), f
(a₂)=(x₁, x₂),…, f(an)= (xn-1, xn), donde x₀= u y xn= v. Si no hay aristas múltiples en
el grafo dirigido, denotamos este camino por su secuencia de vértices x₀, x₁,…, xn. Un
camino de longitud mayor que cero que comienza y termina en el mismo vértice es un
circuito. Se dice que un camino o circuito es simple sino contiene la misma arista más
de una vez.
Nótese que el vértice final de una arista de un camino es el vértice inicial de la
siguiente arista del camino. Cuando no es necesario distinguir entre aristas múltiples,
denotaremos el camino a₁, a₂,…, an, donde f(ai)= (xi-1, xi) para i= 1, 2, …, n por su
secuencia de vértices x₀, x₁, …, xn. Esta notación identifica un camino mediante los
vértices por los que pasa. Puede haber más de un camino que pase por esa secuencia
de vértices.
Los caminos representan información útil en muchos modelos de grafos.
13.2 CONEXIÓN EN GRAFOS NO DIRIGIDOS
¿Cuándo tiene una red informática la propiedad de que dos ordenadores cualesquiera
pueden compartir información si pueden enviarse mensajes a través de uno o más
ordenadores intermedios? Si se utiliza un grafo para representar esta red informática,
con los vértices representando ordenadores y las aristas representando enlaces de
comunicación, la pregunta se convierte en la siguiente: ¿Bajo que condiciones existe
siempre un camino entre dos vértices cualesquiera del grafo?
41
DEFINICION 3
Se dice que un grafo no dirigido es conexo si hay un camino entre cada par de
vértices distintos del grafo.
Se quiere diseñar una red informática, en la cual existen cinco servidores que quieren
enviar información para todos ellos, pero se busca que no pueda existir perdida de
información para ningún servidor que este enviando datos.
FIGURA 22. Representación de un grafo conexo
FIGURA 23. Representación de un grafo no conexo
En las FIGURAS ilustradas anteriormente, se quiere mostrar que si existen 5
servidores que quieren enviarse un flujo de información para una red informática, si
es tomada la primera FIGURA en la cual se representa un grafo conexo, todos los
servidores pueden enviar dicha información a los otros servidores, pero si se toma la
segunda FIGURA en donde se representa un grafo no conexo, no es posible
representar una red informática para enviar información entre servidores, ya que para
los servidores 4 y 5 seria imposible enviar información hacia los servidores 1, 2 y 3
por lo que no hay aristas o conexiones que conecten a los servidores 4 y 5, en tal
42
caso no es posible representar dicho grafo como una red informática ya que la gracia
es que haya siempre conexión para todos los servidores.
Por lo tanto para manejos de redes informáticas para hacer diseños en grafos seria
bueno representarlo a través de los grafos conexos.
Un modelo que puede ser utilizado para grafos conexos puede ser:
COMPONENTES CONEXAS DEL GRAFO DE LLAMADAS: Dos vértices están
en la misma componente conexa de un grafo de llamadas telefónicas si hay una
secuencia de llamadas telefónicas que comience en x y termine en y. En cierta
ocasión se analizó el grafo de llamadas de las llamadas telefónicas realizadas a lo
largo de un día concreto en la red de AT&T en estados unidos con el siguiente
resultado: El grafo tenia 53.767.087 vértices, más de 170 millones de aristas y más
de 3.7 millones de componentes conexas. La mayor parte de estas componentes eran
pequeñas: aproximadamente tres cuartas partes de ellas representaban pares de
números de teléfono que solo se habían llamado entre sí. El grafo tenía una
componente conexa gigantesca con 44.989.297 vértices, que comprendía más de 80%
del total. Además, cada vértice de esta componente podía conectarse con cualquier
otro vértice por medio de un camino de no más de 20 llamadas.
13.3 CONEXIÓN EN GRAFOS DIRIGIDOS
Hay dos nociones en grafos dirigidos, dependiendo de si se considera o no la
dirección de las aristas
43
DEFINICION 4
Se dice que un grafo dirigido es fuertemente conexo si hay un camino de a a b y un
camino de b a a para cualesquiera dos vértices a y b del grafo.
DEFINICION 5
Se dice que un grafo es dirigido es débilmente conexo si hay un camino entre cada
dos vértices del grafo no dirigido subyacente.
LAS COMPONENTES FUERTEMENTE CONEXAS DEL GRAFO DE RED: El
grafo de red que introdujimos anteriormente en donde se estaba representado la
pagina Web por medio de vértices y los enlaces por medio de aristas dirigidas. Una
instantánea de la red produjo en 1999 un grafo con más de 200 millones de vértices y
más de 1500 millones de aristas. El grafo no dirigido subyacente a este grafo no es
conexo y tiene una componente no conexa que incluye aproximadamente al 90% de
los vértices del grafo. El subgrafo del grafo dirigido original que corresponde a esta
componente conexa del grafo no dirigido subyacente (esto es, el subgrafo con los
mismos vértices y con todas las aristas dirigidas que conectan entre sí a los vértices)
tiene una sola componente fuertemente conexa muy grande y muchas otras pequeñas.
A la primera se le llama componente fuertemente conexa gigantesca (también
conocida GSCC, gigant strongly connected component) del grafo dirigido. Puede
llegarse a una página Web de esta componente siguiendo enlaces que comiencen en
cualquier otra página de la misma componente. La GSCC del grafo de la red que se
encontró en este estudio tenía más de 53 millones de vértices. Los restantes vértices
de la componente conexa grande del grafo no dirigido corresponden a tres tipos
distintos de página Web: páginas a las que se llega desde una página de la GSCC,
pero desde las que no se puede regresar a dicha página; se llega desde una página de
la GSCC siguiendo una serie de enlaces, pero a las que no se puede llegar siguiendo
enlaces a partir de ninguna página de la GSCC ni tampoco se puede llegar a ninguna
página de la GSCC partiendo de ellas. En el estudio se estimo que cada uno de estos
44
tres conjuntos tenía aproximadamente 44 millones de vértices (es bastante
sorprendente que estos tres conjuntos sean de tamaños tan parecidos).
13.4 APLICACIONES INFORMATICAS PARA LA CONEXIÓN ENTRE
GRAFOS
El manejo de caminos entre grafos puede ser fundamental para muchas aplicaciones
informáticas, una de ellas puede ser la seguridad para las bases de datos de una
empresa, por ejemplo, si una empresa quiere darle funciones a diferentes
departamentos para el manejo de inserción, eliminación y actualización de los
diferentes empleados que trabajan para cada departamento, una forma de hacerlo es
haciendo un diseño utilizando grafos, a continuación se ilustrara un grafo que
funcione para lo que se pide.
E= Empresa
DS= Departamento de sistemas
DC= Departamento de contaduría
DG= Departamento para la gerencia
ES= Empleados para el departamento de sistemas
EC= Empleados para el departamento de contabilidad
EG= Empleados que hacen parte con la gerencia de la empresa
DS
ES
E
DC
EC
EG
DG
45
FIGURA 24. Representación de las funciones y departamentos de una empresa en un
grafo.
En el anterior grafo lo que se quiere ilustrar, es que es fundamental manejar bien los
caminos entre grafos, porque como podemos ver existe una empresa que puede
actualizar, insertar, eliminar sus departamentos, dichos departamentos solo pueden
insertar, actualizar, eliminar aquellos empleados que trabajen para este, por eso es que
en el diseño de este grafo se especifican los caminos que pueden existir, existen
caminos dirigidos entre E-DS, E-DC, y E-DG, con esto estamos especificando que la
empresa puede hacer con sus departamentos ya sea eliminar, actualizar o insertar
otro departamento. Para cada departamento que tiene dicha empresa existen caminos
entre DS-DE, DC-EC, y DG-EG, con esto cada departamento puede eliminar,
insertar o actualizar aquellos empleados que trabajen para dicho departamento, esto
es importante ya que cada departamento tiene un poder solo sobre los empleados que
le corresponden.
REDES DE COMUNICACIONES MOVILES
Podemos encontrar muchos tipos de aplicaciones de la teoría de grafos en el ámbito
de las redes de comunicaciones móviles, como por ejemplo bases de datos
electrónicas, desde las vías telefónicas hasta registros de e-mails. Un ejemplo
específico son los patrones de comunicación de millones de usuarios de teléfonos
móviles, los grafos permiten estudiar simultáneamente la estructura local y la global
de una sociedad en toda la red de comunicación, en las cuales se observan
acoplamientos entre la interacción fuertes y una red de la estructura local. La
FIGURA 24 intenta ilustrar la estructura de las redes de comunicaciones móviles en
torno a un individuo elegido al azar. Cada enlace representa la comunicación mutua
entre los usuarios de la red de comunicación, y todos los nodos que se muestran son
la distancia inferior a seis desde usuario seleccionado, marcado por un círculo en el
centro.
46
FIGURA 25. Representación de la estructura de las redes de comunicaciones móviles
en torno a un individuo elegido al azar.
14 CAMINOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS
INTRODUCCION
Al principio nos habíamos preguntado ¿Si era posible movernos por las aristas de un
grafo comenzando de un vértice y volviendo a él después de haber pasado por cada
arista del grafo exactamente una vez?, Análogamente ahora nos preguntamos ¿Será
qué podemos desplazarnos por las aristas de un grafo comenzando en un vértice y
volviendo a él después de haber visitado cada vértice del grafo exactamente una vez?
Aunque estas preguntas parecen similares, la primera de ellas, que pregunta si el
grafo contiene lo que se llama un circuito euleriano , puede resolverse fácilmente
para cualquier grafo, mientras que la segunda cuestión, la de si el grafo contiene o no
lo que se llama un circuito hamiltoneano, es bastante difícil de resolver. En esta
sección analizaremos ambas preguntas y estudiaremos las dificultades que se
presentan a la hora de resolverlas.
47
La FIGURA 26 muestra un diagrama del problema del Camino Hamiltoniano. El
objetivo es encontrar un camino que vaya del inicio hasta el final pasando por todos
los demás puntos una sola vez. Este problema es difícil para computadoras
convencionales (lógica serial) porque deben de intentar cada camino posible uno por
uno.
Es como tener una pila de llaves y tratar de ver cuál es la que entra en una cerradura.
Las computadoras convencionales son muy buenas para las matemáticas, pero malas
para problemas de tipo "llave en la cerradura".
Para esto se requiere de otro tipo de computadoras; esta fue la primera
implementación de una computadora basada en ADN, y el título quiere decir que un
problema que requiere buscar varias posibles soluciones (un problema combinatorio)
fue resuelto con moléculas (ADN).
Aún con su respectiva complejidad, las operaciones biológicas y matemáticas tienen
algunas similitudes:
La muy compleja estructura de un ser viviente es el resultado de aplicar operaciones
simples a la información inicial codificada en una secuencia de ADN (genes).
Todos los problemas matemáticos complejos se pueden reducir a operaciones
simples como la suma y la resta.
Por las mismas razones por las que el ADN fue supuestamente seleccionado para los
organismos vivientes como material genético, el ser estable y predecible en
reacciones, las cadenas de ADN también pueden ser usadas para codificar
información para sistemas matemáticos.
Las computadoras basadas en ADN pueden tratar todas las llaves al mismo tiempo
(masivamente paralelo) y por lo tanto son muy buenas para problemas de llave-enla-cerradura, pero mucho más lentas para problemas matemáticos simples como la
multiplicación. El problema del Camino Hamiltoniano fue escogido porque todos los
48
problemas llave-en-la-cerradura pueden ser resueltos como problemas de Camino
Hamiltoniano.
FIGURA 26. Representación de un camino de Hamilton.
El siguiente algoritmo resuelve el problema del Camino Hamiltoniano, sin importar
el tipo de computadora usada:
Generar caminos aleatorios a través del grafo.
Quedarse solo con los caminos que empiezan en la ciudad inicio (a) y terminan en la
ciudad fin (G).
Como el grafo tiene 7 ciudades, quedarse solo con los caminos que tengan 7
ciudades.
Quedarse solo con los caminos que entran a todas las ciudades por lo menos una vez.
Cualquier camino que quede es una solución.
En síntesis, programar con ADN implica respetar algunos pasos:
Crear una secuencia de ADN única para cada ciudad (de A hasta G). Para cada
camino, por ejemplo, de A a B,
Crear una pieza de ADN que concuerde con la última mitad de A y la primera mitad
de B: Aquí el bloque rojo representa a la ciudad A, mientras que el bloque naranja
49
representa a la ciudad B. El bloque mitad rojo mitad naranja que conecta a los otros
dos bloques, representa el camino de A a B.
En un tubo de ensayo, todas las diferentes piezas de ADN se conectarán unas con
otras al azar, formando caminos a través del grafo. Por peso, las secuencias de ADN
que tuvieran 7 "ciudades" de largo fueron separadas del resto. Una malla fue usada,
la cual permite que pasen rápidamente pedazos pequeños de ADN, mientras que los
segmentos más largos son frenados. El procedimiento usado en realidad permite
aislar las piezas que son precisamente de 7 ciudades de largo. La clave para resolver
el problema fue usar ADN para llevar a cabo los cinco pasos del algoritmo. Estos
bloques interconectados, pueden ser usados para modelar el ADN. Para asegurar que
las secuencias que quedan pasan por todas las ciudades, fueron usadas piezas
"pegajosas" de ADN unidas a magnetos para separar el ADN. Los magnetos fueron
usados para asegurar que el ADN deseado permanezca en el tubo de ensayo,
mientras que el ADN no requerido es removido. Primero, los magnetos se quedaban
con todo el ADN que pasa por la ciudad A en el tubo de ensayo, luego por B, luego
C, y D, y así sucesivamente. Al final, el ADN que permanece en el tubo fue aquél
que pasa por todas las ciudades. Todo lo que falta es secuenciar el ADN, revelando
el camino de A a B a C a D a E a F a G.
Al ADN tiende naturalmente a formar largas hélices dobles: Las dos hélices son
unidas por "bases", que serán representadas por bloques de colores. Cada base se une
solamente a otra base específica. En el ejemplo, cada bloque de color únicamente se
unirá con el mismo color. Por ejemplo, si solo se tuvieran bloques rojos, pudieran
formar una cadena larga como esta. Cualquier otro color no se unirá con el rojo.
50
15 ALGORITMO DE DIJKSTRA
El algoritmo de dijkstra también conocido como ruta más corta; a partir de un vértice
determinado se obtienen todas las rutas más cortas hacia todos los demás vértices.
Los pasos a seguir para el algoritmo son:
1) Conocer el vértice de origen y el vértice de destino.
2) Marcar el vértice de origen y conocer a sus vecinos
3) Mirar los costos de las rutas hacia sus vecinos
4) Marcar el vecino de la ruta más corta
5) El vecino marcado se convierte en el nuevo vértice de origen
6) Hace paso 2 y 3
7) Comparar todas las rutas que hay de sus vecinos y no vecinos no marcados
que ya tengan costo asociado.
8) Obtener el vértice de costo mínimo asociado y marcarlo
9) Volver a el paso 2
EJEMPLO
Los resultados son obtenidos a partir del software ALGORITMOS VORACES.
51
FIGURA 27. Ejemplo de solución del Algoritmo de Dijkstra
Vértice
1
2
3
4
5
6
7
Ruta
-
1,2
1,3
1,4
1,3,5
1,3,6
1,3,5,7
Costo
0
9
7
8
10
12
18
TABLA 3. Tabla solución con rutas de Dijkstra, ejemplo de FIGURA 26.
PSEUDOCODIGO
DIJKSTRA (Grafo G, nodo_fuente s)
// inicializamos todos los nodos del grafo. La distancia de
cada nodo es infinita
// y los padres son NULL
for u ∈ V[G] do
distancia[u] = INFINITO
padre[u] = NULL
distancia[s] = 0
//encolamos el nodo_fuente s
Encolar (cola, grafo)
mientras cola no es vacía do
// OJO: Se extrae el nodo que tiene distancia mínima y se
conserva la condición
// de Cola de prioridad
u = extraer_minimo(cola)
for v ∈ adyacencia[u] do
if distancia[v] > distancia[u] + peso (u, v) do
distancia[v] = distancia[u] + peso (u, v)
padre[v] = u
16 ÁRBOLES
Intuitivamente, podemos visualizar árboles como una forma de organizar información
de forma jerárquica, con un único punto de entrada y una serie de caminos que van
abriéndose en cada punto hacia sus sucesores.
52
Los árboles comenzaron a emplearse en 1857, cuando el matemático ingles Arthur
Cayley los utilizo para contar cierto tipo de componentes químicos. Desde ese
momento, los árboles se han empleado para resolver problemas de gran variedad en
diferentes disciplinas como lo son en la informática, biología, medicina etc.
FIGURA 28: Arthur Cayley
Estas estructuras de datos son particularmente importantes en la informática, Ya que
son usados para la creación de muchos algoritmosLos árboles se usan para crear algoritmos eficientes que localizan elementos en una
lista, también se pueden utilizar en algoritmos como el código de huffman, que
construyen códigos compresores eficientes, ahorrando costes en la transmisión de
datos y en su posterior almacenamiento (mas adelante se explicara con mas detalle el
código de huffman), también dichos árboles son de gran ayuda para la creación de
juegos como son el ajedrez, triqui entre otros que en si puede ayudar para crear
buenas estrategias ganadoras.
53
En sí los árboles son estructuras de datos que están teniendo gran importancia en la
actualidad como en futuras generaciones, ya que gracias a dichas estructuras se
pueden construir algoritmos que tienen gran capacidad computacional.
17 INTRODUCCION A LOS ÁRBOLES
Desde un punto de vista formal (teoría de conjuntos), un árbol con raíz se puede
considerar como una estructura constituida por un conjunto, N, cuyos elementos se
denominan vértices, y una relación de orden parcial transitiva, —, definida sobre N, y
caracterizada por la existencia de un elemento mínimo (anterior a todos los demás)
único, la raíz y también un predecesor único para cada vértice p distinto de la raíz, es
decir, un vértice, q. También existen los arboles sin raíz, en cuales la raíz no esta
definida, en éste caso la raíz puede ser cualquiera de los nodos.
Y desde el punto de vista informal, un árbol es un grafo sin circuitos.
Los ascendientes de un vértice se definen como el conjunto formado por su
predecesor único y los ascendientes de éste, cuando estos existan.
Los descendientes de un vértice se definen como el conjunto formado por todos
aquellos nodos que lo tienen en su conjunto de ascendientes.
Esta estructura se puede considerar una estructura recursiva teniendo en cuenta que
cada vértice del árbol, junto con todos sus descendientes, y manteniendo la
ordenación original, constituye también un árbol o subárbol del árbol principal,
característica esta que permite definiciones simples de árbol, más apropiadas desde el
punto de vista de la teoría de tipos abstractos de datos, y, ajustadas, cada una de ellas,
al uso que se vaya a hacer de la noción de árbol.
54
Un árbol impone una estructura jerárquica sobre una colección de objetos. Es claro
decir que la utilización de árboles se presentan tanto dentro como fuera del área de
computación (índices de libros, árboles genealógicos, etc.); en Informática
constituyen una de las estructuras más utilizadas, con aplicaciones que van desde los
árboles sintácticos utilizados para la representación y/o interpretación de términos de
un lenguaje o expresiones aritméticas, pasando por los árboles de activación de
procedimientos recursivos, hasta la representación de datos que se desea mantener
ordenados con un tiempo de acceso relativamente bajo. En general, se usarán árboles
siempre que se quiera representar información jerarquizada, cuando esta converja en
un solo punto.
Raíz
FIGURA 29: Representación de un árbol.
55
18 ARBOL BINARIO
Un árbol binario es el que cumple que el subárbol izquierdo de cualquier nodo (si no
está vacío) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subárbol
derecho (si no está vacío) contiene valores mayores.
Usos comunes de los árboles binarios son los árboles binarios de búsqueda, los
montículos binarios y codificación de huffman.
También seria importante definir que los Árboles Binarios según la teoría de grafos
vienen siendo grafos conexos, a cíclicos y no dirigidos tal que el grado de cada
vértice no es mayor a 3. De esta forma solo existe un camino entre un par de vértices.
FIGURA 30: Representación de un árbol binario
Es bueno tener las siguientes condiciones para tener bien definido un árbol binario en
la teoría de grafos. Estas serían:
-
Un árbol binario es un árbol con raíz en el que cada vértice tiene como
máximo dos hojas.
-
Un árbol binario lleno es un árbol en el que cada vértice tiene cero como
mínimo o dos hijos como máximo.
-
Un árbol binario perfecto es un árbol binario lleno en el que todas las hojas
están a la misma profundidad.
-
Un árbol binario perfecto es denominado árbol binario completo.
56
En conclusión lo que podemos decir acerca de los Árboles Binarios es que son
árboles en los que ninguno de sus vértices puede tener más de dos sub-árboles. En un
árbol binario cada vértice puede tener cero, uno o dos hijos. Se conoce el vértice
izquierdo como hijo izquierdo y el vértice derecho como hijo derecho.
19 ALGORITMOS DE RECORRIDOS
Los procesamientos para el recorrido sistemático de los vértices de un árbol ordenado
con raíz se llaman algoritmos de recorrido de un árbol. Describiremos tres de estos
algoritmos, los que se utilizan con mayor frecuencia, llamados recorridos en preorden, recorrido en in-orden y recorrido en post-orden que serán explicados mas
adelante. Cada uno de estos algoritmos se puede definir de manera recursiva.
19.1 IN-ORDEN
DEFINICION
Sea T un árbol ordenado con raíz r. Si T consta de solo r, entonces r es el
recorrido en in-orden de T. En otro caso, supongamos que T1, T2, …., Tn son
los sub-arboles de r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en inorden comienza recorriendo T1 en in-orden y continua visitando r, a
continuación recorre T2 en in-orden, después T3 en in-orden y asi
sucesivamente hasta recorrer Tn en in-orden.
Pasos para recorrer en un árbol de profundidad en in-orden:
o
Recorrer el sub-árbol izquierdo en in-orden.
o
Examinar la raíz.
57
o
Recorrer el sub-árbol derecho en in-orden.
En el caso de árboles generales o de orden N, se visita primero el árbol más a la
izquierda, a continuación la raíz, y por último el resto de sub-árboles en secuencia.
19.2 PREORDEN
DEFINICION
Sea T un árbol ordenado con raíz r. Si T consta solo de r, entonces r es el
recorrido pre-orden de T. En otro caso, supongamos T1, T2,….., Tn son los
sub-árboles de r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en preorden comienza visitando r, continua recorriendo T1 en pre-orden, luego T2
en pre-orden y así sucesivamente hacia recorrer hasta recorrer Tn en preorden.
Pasos para recorrer en un árbol de profundidad en pre-orden:
o
Examinar la raíz.
o
Recorrer el sub-árbol izquierdo en pre-orden.
o
recorrer el sub-árbol derecho en pre-orden.
19.3 POSTORDEN
DEFINICION
Sea T un árbol ordenado en raíz r. Si T consta solo de r, entonces r es el
recorrido en post-orden de T. En otro caso, supongamos que T1, T2, …, Tn
son los sub-arboles de r listados de izquierda a derecha en T. El recorrido en
post-orden y así sucesivamente hasta recorrer Tn en post-orden y finaliza
visitando r.
Pasos para recorrer en un árbol de profundidad en pre-orden:
58
o
Recorrer el sub-árbol izquierdo en post-orden.
o
Recorrer el sub-árbol derecho en post-orden.
o
Examinar la raíz.
A continuación se muestra un ejemplo de los diferentes recorridos en
profundidad de un Árbol Binario.
A
B
D
C
F
E
J
G
H
I
FIGURA 31: Representación de un Árbol Binario.
In-orden: GDBHEIACJKF
Pre-orden: ABDGEHICFJK
Post-orden: GDHIEBKJFCA
59
K
J
*
/
+
1
/
3
-
4
7
*
*
23
5
8
3
5
FIGURA 32: Representación de una expresión aritmética como un Árbol.
Los árboles binarios se emplean a menudo para la representación de expresiones
aritméticas, dado que una operación con dos operandos la podemos representar como
un árbol cuya raíz sea el operador, y sus sub-árboles sean los operandos.
Por ejemplo, la operación: (3-(4*5- 3)*8+7/5)*1/23-j, equivaldría, rellenando
paréntesis, a:
{[(3-{[(4*5)- 3]*8}) + (7/5)]*(1/23)}-j, y su árbol sería el de la FIGURA 25.
60
Están además la notación polaca en la que los operadores siempre preceden a los
operandos sobre los que actúan, y que tiene la ventaja de no necesitar paréntesis y la
polaca inversa en la que los operadores van después de los operandos sobre los que
actúan, la ventaja mas grande es que los cálculos se realizan secuencialmente según
se van introduciendo operadores, en vez de tener que esperar a escribir la expresión al
completo. Debido a esto, se cometen menos errores al procesar cálculos complejos:
Polaca: -/*+ /-*-* 4 5 3 8 3 7 5 1 23 j
Polaca inversa: {[(3 {[(4 5*) 3-] 8*}-) (7 5/)+] (1 23/)*} j-
20 ÁRBOLES DE DECISIÓN
Un árbol de decisión es un modelo de predicción utilizado en el ámbito de la
inteligencia artificial. Dada una base de datos se construyen estos diagramas de
construcciones lógicas, muy similares a los sistemas de predicción basados en reglas,
que sirven para representar y categorizar una serie de condiciones que suceden de
forma sucesiva, para la resolución de un problema.
Un árbol de decisión tiene unas entradas las cuales pueden ser un objeto o una
situación descrita por medio de un conjunto de atributos y a partir de esto devuelve
una respuesta la cual en últimas es una decisión que es tomada a partir de las
entradas.
Los valores que pueden tomar las entradas y las salidas pueden ser valores discretos o
continuos. Se utilizan más los valores discretos por simplicidad, cuando se utilizan
valores discretos en las funciones de una aplicación se denomina clasificación y
cuando se utilizan los continuos se denomina regresión.
61
Un árbol de decisión lleva a cabo un test a medida que este se recorre hacia las hojas
para alcanzar así una decisión. El árbol de decisión suele contener vértices internos,
vértices de probabilidad, vértices hojas y aristas. Un vértice interno contiene un test
sobre algún valor de una de las propiedades. Un vértice de probabilidad indica que
debe ocurrir un evento aleatorio de acuerdo a la naturaleza del problema, este tipo de
vértices es redondo, los demás son cuadrados. Un vértice hoja representa el valor que
devolverá el árbol de decisión. Y finalmente las ramas brindan los posibles caminos
que se tienen de acuerdo a la decisión tomada.
El árbol de decisión es un diagrama que representa en forma secuencial condiciones y
acciones; muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y
así sucesivamente. Este método permite mostrar la relación que existe entre cada
condición y el grupo de acciones permisibles asociado con ella.
Se recomienda el uso del árbol de decisión cuando el número de acciones es pequeño
y no son posibles todas las combinaciones.
Los árboles de decisión se utilizan en cualquier proceso que implique toma de
decisiones, ejemplos de estos procesos son:
Búsqueda Binaria
Sistemas Expertos
Árboles de juegos
Los árboles de decisión generalmente son binarios, es decir que cuentan con dos
opciones, aunque esto no significa que no puedan existir árboles de 3 o más opciones.
62
EJEMPLO:
BUSQUEDA BINARIA
Método se basa en partir el árbol en dos partes, a continuación tenemos el siguiente
árbol:
20
7
3
25
23
10
30
40
FIGURA 33: Representación de un árbol de decisión.
Con el árbol anterior realizaremos una búsqueda binaria a través de un árbol de
decisión.
Supongamos que deseas buscar un numero X en el árbol
-
Comparamos si el numero que estamos buscando es igual a la raíz, si es igual
devuelve la raíz y se termina la búsqueda.
-
Si no es igual se compara nuevamente el número para saber si es mayor o
menor que la raíz con lo que se ahorraría la totalidad del árbol, y así volver
más eficiente la búsqueda.
-
Si es menor recorremos la búsqueda hacia el lado izquierdo hasta encontrar el
siguiente elemento del árbol, el cual volvemos a comparar como lo hicimos
con la raíz.
-
Si es mayor se realiza la búsqueda hacia el lado derecho del árbol, el cual
tomamos como si fuera una raíz y comparamos de la misma forma que la
primera raíz.
63
El procedimiento anterior se realiza hasta encontrar el número buscado o hasta
llegar a NULL, pueda que el número no se encuentre en la FIGURA 31.
20.1 VENTAJAS
Facilita la interpretación de la decisión adoptada.
Proporciona un alto grado de compresión del conocimiento utilizado en la
toma de decisiones.
Reduce el número de variables independientes.
Es una magnifica herramienta para el control de la gestión empresarial.
20.2 APLICACIONES DE ÁRBOLES BINARIOS
CODIFICACION DE HUFFMAN
Los árboles binarios han sido usados para muchas aplicaciones informáticas, como
uno de estos casos es el algoritmo de Huffman.
FIGURA 34: David Huffman
Este algoritmo fue usado para compresión de datos. El termino se refiere al uso de
una tabla de códigos de longitud variable para codificar un determinado símbolo
(como puede ser un caracter en un archivo), donde la tabla ha sido rellenada de una
manera específica basándose en la probabilidad estimada de aparición de cada posible
64
valor de dicho símbolo. Dicho algoritmo fue desarrollado por David A. Huffman
mientras era estudiante de doctorado en el MIT.
La codificación Huffman usa un método específico para elegir la representación de
cada símbolo, que da lugar a un código prefijo (es decir, la cadena de bits que
representa a un símbolo en particular nunca es prefijo de la cadena de bits de un
símbolo distinto) que representa los caracteres más comunes usando las cadenas de
bits más cortas, y viceversa. Huffman fue capaz de diseñar el método de compresión
más eficiente de este tipo: ninguna representación alternativa de un conjunto de
símbolos de entrada produce una salida media más pequeña cuando las frecuencias de
los símbolos coinciden con las usadas para crear el código. Posteriormente se
encontró un método para llevar esto a cabo en un tiempo lineal si las probabilidades
de los símbolos de entrada (también conocidas como "pesos") están ordenadas. A
continuación se hará un ejemplo para tener un mejor entendimiento en que se basa la
codificación de Huffman.
Por lo tanto codificaremos la palabra:
-
Palabra a codificar: "Esto es un ejemplo de árbol de Huffman".
Haremos una tabla para representar cada carácter es importante saber su
numero de frecuencia, y su código, es bueno organizar cada carácter de
mayor a menor, esto significa que aquel carácter que tenga el numero de
frecuencia mayor será el primero y así sucesivamente (frecuencia asumirlo
como numero de repeticiones que presenta un carácter).
CARACTER
Espacio
E
O
N
U
S
M
FRECUENCIA
7
6
3
2
2
2
2
65
CODIGO
00
100
1100
1110
0100
0101
1010
F
L
D
A
B
H
J
P
R
T
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1011
0110
0111
11010
110110
110111
111100
111101
111110
111111
TABLA 4: Tabla codificación de huffman
2. A continuación se realizara el árbol de huffman generado de la anterior tabla.
38
17
24
7„‟
9
10
14
6E
5
4
4
7
7
2D
3U
2A
2L
2M
2F
4
3N
30 4
2S
1B
66
2
1H
2
2
1J 1P 1R 1T
FIGURA 35: Árbol Binario que representa el código de huffman.
ARBOLES B+
Los arboles B+ son una alternativa a los archivos secuenciales indexados, este
mecanismo de indexación ayuda a acelerar el acceso a los datos deseados, un ejemplo
concreto para esto puede ser cuando queremos encontrar un capitulo especifico en un
índice alfabético en un libro estos mecanismos son importantes para que el usuario
tenga una respuesta rápida de lo que quiere encontrar.
GRAFOS
CONEXION
HISTORIA
ARBOLES
OBJETIVOS
FIGURA 36: Representación de un árbol B+ para consultas en bases de datos
La FIGURA 36 quiere mostrar una representación de cómo son manejados los
arboles B+ en una base de datos que contiene información del índice de un libro, en
este caso este documento+, la cual tienen la misma función de búsqueda que un árbol
binario con la diferencia de que este tipo de árbol puede aceptar más de dos hijos a
diferencia de un árbol binario que nada mas acepta dos hijos como máximo.
Aplicaciones de árboles: Arboles de Búsqueda
67
Un árbol binario es una estructura de datos útil cuando se trata de hacer modelos de
procesos en donde se requiere tomar decisiones en uno de dos sentidos en cada parte
del proceso. Supongamos que tenemos un arreglo en el cual tenemos que buscar un
dato duplicado, una manera de encontrar los elementos duplicados en un arreglo es
recorrerlo todo y comparar con cada uno de los elementos del arreglo. Si en esta
situación tuviéramos un arreglo de n posiciones se deben hacer n comparaciones,
siendo n un número pequeño, no habría ningún problema. Pero se va complicando
más a medida que n aumenta.
Si usamos un árbol binario, el número de comparaciones se reduce bastante.
Como por ejemplo:
El primer número del arreglo se coloca en la raíz del árbol (como en este ejemplo
siempre vamos a trabajar con árboles binarios, simplemente diremos árbol, para
referirnos a un árbol binario) con sus sub-árboles izquierdo y derecho vacíos. Luego,
cada elemento del arreglo se compara con la información del vértice raíz y se crean
los nuevos hijos con el siguiente criterio:
Si el elemento del arreglo es igual que la información del vértice raíz,
entonces notificar duplicidad.
Si el elemento del arreglo es menor que la información del vértice raíz,
entonces se crea un hijo izquierdo.
Si el elemento del arreglo es mayor que la información del vértice raíz,
entonces se crea un hijo derecho.
Una vez que ya está creado el árbol, se pueden buscar los elementos repetidos. Si x es
el elemento buscado, se debe recorrer el árbol del siguiente modo:
Sea k la información del nodo actual p. Si k>x entonces cambiar el vértice actual a
right(p)(Véase el algoritmo a continuación), en caso contrario, en caso de que x=k
68
informar una ocurrencia duplicada y en caso de que x≥k cambiar el vértice actual a
left(p)(Véase el algoritmo a continuación).
Algoritmo para la búsqueda de duplicados
leer numero buscado >> n
tree=makeTree(n)
while(hay numeros en el arreglo){
leeSiguienteNumero >> k
p=q=tree;
while(k!=info(p)&&q!=NULL){
p=q
if(k<info(p))
q=left(p)
else
q=right(p)
}
if(k==info(p))
despliega<<" el numero es duplicado";
else
if (k<info(p))
setLeft(p,k)
else
setRight(p,k)
}
El arreglo usado para crear el árbol binario de búsqueda fue
<14,15,4,9,7,18,3,5,16,4,20,17,9,14,5>
El árbol de ordenamiento es el que se muestra en la FIGURA.
69
FIGURA 37: Árbol binario para ordenar una secuencia de números
Para ordenar los elementos de este arreglo basta recorrer el árbol en forma de
in-orden.
20.3 APLICACIONES INFORMATICAS DE ÁRBOLES DE DECISION
ÁRBOLES DE DECISION EN UNA CRISIS EMPRESARIAL
El análisis de la crisis empresarial se configura como un aspecto clave en el análisis
de estados financieros al permitir a la empresa disponer de un sistema de diagnóstico
que abarque los aspectos de solvencia y de rentabilidad. La preocupación por el
cumplimiento del objetivo de solvencia ha originado la elaboración de distintos
modelos de predicción del fracaso empresarial obtenidos mediante el empleo de
diferentes técnicas estadísticas como el análisis univariante o el multivariante en los
que los radios contables funcionan como variables explicativas. Para esto se utilizan
los árboles de decisión.
Un árbol de decisión representa la relación existente entre la conclusión-decisión y
sus atributos. Es decir, se produce un proceso de generalización de forma que el árbol
70
de decisión generado clasifica correctamente los datos. Este árbol, además, se
caracteriza por ser el óptimo en el sentido que minimiza el número de atributos
requeridos para alcanzar la conclusión-decisión, siendo esta la explicación de por qué
ciertos atributos no aparecen en el árbol.
Por ejemplo, considerando el árbol de decisión que a continuación se presenta, puede
comprobarse que los atributos de los que depende el tomar una u otra decisión son:
Importe (menor de 100.000, entre 100.000 y 500.000, mayor de
500.000)
Solvencia (alta, media y baja)
La decisión a tomar variará entre contado y crédito.
El árbol representa la dependencia lógica entre la decisión a tomar y los atributos
considerados.
IMPORTE
X<100000 or X>500000
X<100000 and X>500000
CONTADO
SOLVENCIA
Alta media
CREDITO
FIGURA 38: Representación de un Árbol de Decisión
71
baja
CONTADO
Aunque ese árbol, que se lee de izquierda a derecha y desde arriba a abajo, es
equivalente a las cinco reglas siguientes:
Regla 1: SI importe = menor de 100.000, ENTONCES decisión = contado.
Regla 2: SI importe = mayor de 500.000, ENTONCES decisión = contado.
Regla 3: SI importe = entre 100.000 y 500.000 Y solvencia = alta,
ENTONCES decisión = crédito.
Regla 4: SI importe = entre 100.000 y 500.000 Y solvencia = media,
ENTONCES decisión = crédito.
Regla 5: SI importe = entre 100.000 y 500.000 Y solvencia = baja,
ENTONCES decisión = contado
La estructura del árbol representa la trayectoria óptima para alcanzar una decisión en
ese conjunto de reglas.
Al utilizar los árboles de decisión podemos tener como conclusiones lo siguiente:
Resume los ejemplos de partida, permitiendo la clasificación de
nuevos casos siempre y cuando no existan modificaciones sustanciales
en las condiciones bajo las cuales se generaron los ejemplos que
sirvieron para su construcción.
Facilita la interpretación de la decisión adoptada.
Proporciona un alto grado de comprensión del conocimiento utilizado
en la toma de decisiones.
Explica el comportamiento respecto a una determinada tarea de
decisión.
Reduce el número de variables independientes.
Es una magnifica herramienta para el control de la gestión empresarial.
20.4 ÁRBOLES DE JUEGOS
Los árboles de juegos son también una aplicación de los árboles de decisión.
Tomemos por ejemplo el conocido juego de Triqui y consideremos una función que
72
evalúa una posición del tablero y nos devuelve un valor numérico (entre mas grande
es este valor, mas buena es esta posición).Un ejemplo de la implantación de esta
función es considerando el numero de renglones, columnas y diagonales restantes
abiertas para un jugador menos el numero de las mismas para su oponente, por
ejemplo la siguiente posición en un juego y sus posibles continuaciones:
FIGURA 39: Representación de un Árbol de Decisión en una posición del juego
Triqui.
Nota: La estructura que esta hecha para este determinado juego de triqui es que
muestran todas las posibilidades para que el signo (x) gane pero también se puede
hacer una estructura para que pueda también ganar el signo (o), probabilidad al azar
que para este caso seria organizar de mejor manera las diferentes jugadas que puede
hacer un determinado jugador. Este esquema lo que queremos mostrar es como
pueden ser muy aplicables los arboles de decisión en la programación, pero seria
interesante hacer de aplicación un juego triquis pensando en todas las distintas
jugadas que puede hacer un jugador teniendo como ganador el signo (x) o el signo
(o).
Dada un posición del tablero, el mejor movimiento siguiente esta determinado por la
consideración de todos los movimientos posibles y las posiciones resultantes.
Tal análisis no conduce sin embargo al mejor movimiento, como se ve en el ejemplo
anterior cuando las cuatro primeras posibilidades dan todos los mismos valores de
evaluación, sin embargo la cuarta posición es sin duda mejor, por lo que se debe
mejorar
esta
73
función.
Ahora se introduce la posibilidad de prever varios movimientos. Entonces la función
se mejorará en gran medida; se inicia con cualquier posición y se determinan todos
los posibles movimientos en un árbol hasta un determinado nivel de previsión. Este
árbol se conoce como árbol de juego cuya profundidad es igual a la profundidad de
dicho árbol.
Así es como funciona un árbol de juego que es una aplicación de un árbol de
decisión, ya que se genera el árbol de acuerdo al nivel de previsión y cada jugador va
decidiendo que jugada le conviene más de acuerdo a la evaluación de una
determinada posición.
ÁRBOLES DE DECISIÓN UTILIZADOS EN SISTEMAS EXPERTOS
Los árboles de decisión se usan en los sistemas expertos porque son más precisos que
el hombre para poder desarrollar un diagnóstico con respecto a algo, ya que el
hombre puede dejar pasar sin querer un detalle, en cambio la máquina mediante un
sistema experto con un árbol de decisión puede dar un resultado exacto.
Una deficiencia de éste es que puede llegar a ser mas lento pues analiza todas las
posibilidades pero esto a su vez es lo que lo vuelve mas preciso que al hombre. A
continuación se presenta un ejemplo de un sistema experto y de cómo puede llegar a
diagnosticar que se emplee un fármaco X en una persona con presión arterial.
74
FIGURA 40: Ejemplo de Árbol de Decisión en sistemas Expertos.
Se le administra un fármaco X al paciente si:
1.- Tiene presión alta, su azúcar en la sangre es alto, es alérgico a antibióticos y NO
tiene otras alergias.
2.- Tiene presión alta, su azúcar en la sangre es alto, y NO es alérgico a antibióticos.
3.- Tiene presión arterial alta y su azúcar en la sangre es bajo.
4.- Tiene presión arterial media y su índice de colesterol es bajo.
5.- Tiene presión arterial baja.
No le se le administra el fármaco X si:
1.- Tiene presión arterial alta, su azúcar en la sangre es bajo, es alérgico a los
antibióticos y SI tiene otras alergias.
75
2.- Tiene presión arterial media y su índice de colesterol es alto.
A continuación en la FIGURA 41, presentamos un árbol de decisión para un
problema medico real que se presenta a diario en todos los hospitales del mundo y
que se encuentra entre las primeras causas de muerte en los países desarrollados y que
constituye causa de invalidez e incapacidad física: el dolor precordial como síntoma
de las enfermedades del corazón.
El árbol nos permite tomar decisiones y llegar a una solución ante cada problema que
se nos presenta en un cuerpo de guardia con un paciente que acuda a nosotros con
dolor precordial.
.
76
FIGURA 41: Representación de un sistema Experto con Árboles de Decisión en una
situación real.
77
21 ARBOL RECUBRIDOR
Dado un grafo conexo, un árbol recubridor de ese grafo es un sub-grafo que es un
árbol y conecta todos los vértices. Se le puede asignar un peso a cada arista, que es un
número que representa qué tan adecuado es, y se usa para asignar un peso al árbol
recubridor mínimo computando la suma de todos los pesos de las aristas del árbol en
cuestión.
Un árbol recubridor o un árbol expandido es un árbol recubridor que pesa menos o
igual que otros árboles recubridores. Todo grafo tiene un bosque recubridor mínimo.
El árbol recubridor es usado frecuentemente para algoritmos informáticos, los
algoritmos más destacados se explicaran a continuación.
FIGURA 42: Ejemplo de un árbol recubridor mínimo.
78
22 ALGORITMO DE KRUSKAL
El algoritmo de Kruskal es un algoritmo de la teoría de grafos para encontrar un árbol
recubridor mínimo en un grafo conexo y ponderado. Es decir, busca un subconjunto
de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor total
de todas las aristas del árbol es el mínimo MST (Mínimum Spanning Tree) que sirve
para solucionar problemas relacionados con distribución de redes de energía, redes de
comunicaciones y demás problemas donde se pueda llevar este a un modelo de grafos
y aquí aplicar el algoritmo de Kruskal para hallar la solución al problema.
FIGURA 43: Joseph Kruskal
Las aplicaciones de los árboles abarcadores mínimos son múltiples: obtención de
redes eléctricas o de comunicaciones eficientes, creación de laberintos aleatorios.
Entre los problemas sobre grafos, uno de los de mayor interés por su enorme abanico
de aplicaciones es la obtención del Árbol de recubrimiento de peso mínimo. En lo que
sigue nos referiremos a éste árbol por las siglas de su nombre en inglés, MST. La
determinación del MST tiene innumerables aplicaciones en diversas ramas de la
ciencia y la tecnología. Por ejemplo, este tipo de árboles pueden usarse directamente
79
como base para optimizar el diseño de redes de transmisión de energía o de
información cuando la topología de las conexiones debe ser (o conviene que sea)
arborescente. En otras áreas, el MST puede usarse para determinar agrupamientos
naturales de datos. Si tenemos una colección de datos y alguna manera de medir la
disimilitud o “distancia” entre ellos, podemos ver esta colección como el conjunto de
vértices de un grafo y las disimilitudes entre objetos como aristas de un grafo
completamente interconectado.
El MST de un grafo de este tipo tiene la propiedad de que si se eliminan sus aristas de
mayor peso (disimilitud) se obtiene un “bosque” en el que cada sub-árbol agrupa
todos los datos similares o “próximos” entre sí.
Para ejecutar bien el algoritmo hay que seguir los siguientes pasos:
1. Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una, se elige cualquiera de
ellas.
2. De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de una,
se elige cualquiera de ellas.
3. Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya
marcadas.
4. El proceso termina cuando tenemos todos los vértices del grafo en alguna de
las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n el
número de vértices del grafo.
Ejemplo: Determinar el árbol de mínima expansión (MST) para el siguiente
grafo:
3
1
7
2
9
4
7
1
8
3
5
6
2
5
4
1
FIGURA 44: Representación de un grafo
80
6
Siguiendo el algoritmo de Kruskal, en nuestro software llamado
ALGORITMOS VORACES, tenemos los siguientes pasos:
o
Elegimos, por ejemplo, la arista (5, 6) = 1 (menor valor) y la
marcamos.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 3) = 1 y la marcamos.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (5, 7) = 2 y la marcamos,
ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas
anteriormente.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 2) = 3 y la marcamos,
ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas
anteriormente.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (6, 7) = 4 y la
desechamos, ya que forma ciclos con las aristas (5, 7) y (5, 6)
marcadas anteriormente.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (2, 5) = 5 y la marcamos,
ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas
anteriormente.
o
Elegimos la siguiente arista con menor valor (4, 5) = 6 y la marcamos,
ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas
anteriormente.
o
FIN. Finalizamos dado que los 7 vértices del grafo están en alguna de
las aristas, o también ya que tenemos marcadas 6 aristas (n-1).
o
Por tanto el árbol de mínima expansión resultante sería:
81
FIGURA 45: Representación de una Árbol de Expansión Mínima.
COMO DISEÑAR UNA RED CABLEADA DE DATOS O TELEFONIA EN
FORMA OPTIMA
FIGURA 46: Dos Ejemplos de Árboles.
Tenemos una área determinada donde existen una cantidad n de oficinas y en cada
oficina uno o mas puntos de red, el punto es hacer el diseño correcto del cableado
estructurado de esta red, de tal manera que utilicemos la menor cantidad posible de
cable de red en unir todas las oficinas y los puntos de red que hay en ella.
Utilizaremos, como se ve en la FIGURA 45, la topología de estrella.
82
La aplicación practica del Algoritmo Kruskal es la de encontrar un árbol generador
mínimo es decir buscar un árbol donde los vértices y donde el valor de total de todas
las
aristas
del
árbol
sea
el
mínimo
posible
Un árbol de peso mínimo es un árbol optimo.
En el algoritmo de kruskal se tiene como origen a un grafo no dirigido, conexo y sin
lazos.
23 ALGORITMO DE PRIM
Este algoritmo fue diseñado en 1930 por el matemático Vojtech Jarnik y luego de
manera independiente por el científico computacional Robert C. Prim en 1957 y
redescubierto por Dijkstra en 1959. Por esta razón, el algoritmo es también conocido
como algoritmo DJP o algoritmo de Jarnik.
FIGURA 47: Robert C Prim
El algoritmo de Prim es un algoritmo de la teoría de grafos para encontrar un árbol
recubridor mínimo (MST) en un grafo conexo (igual que el algoritmo de kruskal), no
83
dirigido y cuyas aristas están etiquetados. Por así decirlo, dicho algoritmo encuentra
un subconjunto de aristas que forman un árbol con todos los vértices, donde el peso
total de todas las aristas en el árbol es el mínimo posible. Si el grafo no es conexo,
entonces el algoritmo encontrara el árbol recubridor mínimo para uno de los
componentes conexos que forman dicho grafo no conexo.
A continuación se ilustrara el código en JAVA del algoritmo de prim, que puede
servir de mucho para aplicaciones para comunicaciones y redes, bases de datos y
otros temas de interés para la parte informática.
CODIGO EN JAVA
La idea básica consiste en añadir, en cada paso, una arista de peso mínimo a un árbol
previamente construido. Más explícitamente:
Paso 1. Se elige un vértice u de G y se considera el árbol S={u}
Paso 2. Se considera la arista e de mínimo peso que une un vértice de S y un
vértice que no es de S, y se hace S= S+e
Paso 3. Si el nº de aristas de T es n-1 el algoritmo termina. En caso contrario se
vuelve al paso 2
A continuación se muestra el código en java del algoritmo de prim:
public class Algorithms
84
{
public static Graph PrimsAlgorithm (Graph g, int s)
{
int n = g.getNumberOfVertices ();
Entry[] table = new Entry [n];
for (int v = 0; v < n; ++v)
table [v] = new Entry ();
table [s].distance = 0;
PriorityQueue queue =
new BinaryHeap (g.getNumberOfEdges());
queue.enqueue (
new Association (new Int (0), g.getVertex (s)));
while (!queue.isEmpty ())
{
Association assoc = (Association) queue.dequeueMin();
Vertex v0 = (Vertex) assoc.getValue ();
int n0 = v0.getNumber ();
if (!table [n0].known)
{
table [n0].known = true;
Enumeration p = v0.getEmanatingEdges ();
while (p.hasMoreElements ())
{
Edge edge = (Edge) p.nextElement ();
Vertex v1 = edge.getMate (v0);
int n1 = v1.getNumber ();
Int wt = (Int) edge.getWeight ();
int d = wt.intValue ();
if (!table[n1].known && table[n1].distance>d)
{ table [n1].distance = d;
table [n1].predecessor = n0;
queue.enqueue (
new Association (new Int (d), v1));
}
}
}
}
Graph result = new GraphAsLists (n);
for (int v = 0; v < n; ++v)
result.addVertex (v);
for (int v = 0; v < n; ++v)
85
if (v != s)
result.addEdge (v, table [v].predecessor);
return result;
}
}
NOTA: Es importante saber que para la implementación del algoritmo de prim, fue
necesario tomar como base la creación de una clase grafo, por lo que ya explicado en
la definición de dicho algoritmo es basado o derivado a través de la teoría de grafos,
por lo que es importante implementar un grafo, ya explicado en capítulos anteriores
podrá ser fácil de implementar.
DEMOSTRACION DEL ALGORITMO DE PRIM
Sea G un grafo conexo y ponderado.
En toda iteración del algoritmo de Prim, se debe encontrar una arista que conecte un
vértice del sub-grafo a otro vértice fuera del sub-grafo.
Ya que G es conexo, siempre habrá un camino para todo vértice.
La salida Y del algoritmo de prim es un árbol porque las aristas y los vértices
agregados a Y están conectados.
Sea Y el árbol recubridor mínimo de G.
Si Y1 = Y → Y es el árbol recubridor mínimo.
Si no, sea e la primera arista agregada durante la construcción de Y, que no esta en
Y1 y sea V el conjunto de vértices conectados por las aristas agregadas antes que e.
Entonces un extremo de e esta en V y el otro no. Ya que Y1 es el árbol recubridor
mínimo de G hay un camino en Y1 que une los dos extremos. Mientras que uno se
mueve por el camino, se debe encontrar una arista f uniendo un vértice en V a uno
que no esta en V. En la iteración que e se agrega a Y, f también se podría haber
agregado y se hubiese agregado en vez de e si su peso fuera menor que el de e. Ya
que f no se agrego se concluye:
86
P(f) ≥ P(e)
Sea Y2 el grafo obtenido al remover f y agregando e € Y1. Es fácil mostrar que Y2
conexo tiene la misma cantidad de aristas que Y1, y el peso total de sus aristas no es
mayor que el de Y1, entonces también es un árbol recubridor mínimo de G y
contiene a e y todas las aristas agregadas anteriormente durante la construcción de V.
Si se repiten los pasos esto demuestra que Y es el árbol recubridor mínimo de G.
EJEMPLO DE EJECUCION PARA EL ALGORITMO DE PRIM EN EL
SOFTWARE ALGORITMOS VORACES
Estas imágenes son obtenidas en base de los resultados obtenidos en el software
ALGORITMOS VORACES.
IMAGEN
DESCRIPCION
Este es el grafo que
será
puesto
de
partida. No es un
árbol ya que requiere
que no haya circuitos
y en este grafo los
hay. Los números
cerca de las aristas
indican el peso.
Ninguna
de
las
aristas esta marcada,
y el vértice D ha sido
elegido
arbitrariamente como
el punto de partida.
87
No
vistos
En el
grafo
C, G
A,B, E,
F
En el árbol
D
El segundo vértice es
el más cercano a D:
A esta a 5 de
distancia, B a 9, E a
15 y F a 6. De estos,
5 es el valor mas
pequeño, así que
marcamos la arista
DA.
El próximo vértice a
elegir es el mas
cercano a D o A. B
esta a 9 de distancia
de D y a 7 de A, E
esta a 15 y F esta a 6.
6 es el menor
C, G
B,E,F
A,D
C
B,E,G
A,D,F
C,E,G
A,D,F,B
El
algoritmo
continúa. El vértice B
que esta a una NULL
distancia de 7 de A,
es
el
siguiente
marcado. En este
punto la arista DB es
marcada porque sus
dos extremos ya
están en el árbol y
por lo tanto no podrá
ser utilizado.
88
Aquí hay que elegir
entre C, E Y G. C
esta a 8 de distancia NULL
de B, E esta a 7 de
distancia de B, y G
esta a 11 de distancia
de F. E esta mas
cerca,
entonces
marcamos el vértice
E y la arista EB.
Otras dos aristas
fueron
marcadas
porque
ambos
vértices que unen
fueron agregados al
árbol.
Solo
quedan NULL
disponibles C y G. C
esta a 5 de distancia
de E, y G a 9 de
distancia de E. Se
elige C, y se marca
con el arco EC. El
arco BC también se
marca.
G es el único vértice
pendiente, y esta mas NULL
cerca de E que de F,
asi que se agrega EG
al árbol. Todos los
vértices están ya
marcados, el árbol de
expansión minimo se
muestra. En este caso
con un peso de 39.
TABLA 5. TABLA DE COMPARACION PRIM Y KRUSKAL
89
C,G
A,D,F,B,E
G
A,D,F,B,E,
C
NULL
A,D,F,B,E,
C,G
Cada algoritmo tanto Kruskal como prim son de gran ayuda para implementaciones
informáticas, lo importante es que cada una tiene su propia función, por lo cual es
necesario que cuando se programe o se aplique cada una de ellas se haga con sus
respectivos pasos.
KRUSKAL
PRIM
Se marca la arista con menor
valor. Si hay más de una, se elige
cualquiera de ellas.
Se marca un vértice cualquiera,
será el vértice de partida.
De las aristas restantes, se marca
la que tenga menor valor, si hay
más de una, se elige cualquiera de
ellas.
Seleccionamos la arista de menor
valor incidente en el vértice
marcado
anteriormente,
y
marcamos el otro vértice en el que
incide.
Repetir el paso 2 siempre que la
arista elegida no forme un ciclo
con las ya marcadas.
El proceso termina cuando
tenemos todos los vértices del
grafo en alguna de las aristas
marcadas, es decir, cuando
tenemos marcados n-1 aristas,
siendo n el número de vértices del
grafo.
Repetir el paso 2 siempre que la
arista elegida enlace un vértice
marcado y otro que no lo este.
El proceso termina cuando
tenemos todos los vértices del
grafo marcados.
TABLA 6. Tabla comparativa para el manejo de los algoritmos de Kruskal y Prim.
90
24 BIBLIOGRAFIA
ROSEN, K. Matemática Discreta y sus Aplicaciones 5o Edición.
México: Mc Graww Hill. 2004
J. Gross, J. Yellen: "Graph Theory and its Applications" . CRC Press,
1999
GRIMALDI, R. Matemáticas Discretas y Combinatoria 3o Edición.
México: Pearson. 1998
GARCIA, F. Matemática Discreta. México: Thompson. 2001
Redes De Computadoras 3Ed - Tanenbaum, Andrew
STALLINGS W, SISTEMAS OPERATIVOS, 2ED PRENTICE HALL
Introducción al diseño y análisis de algoritmos, McGraw hill
Introducción a las bases de datos, prentice hall
Paternostro, Carlos y Piedra, Viviana Algoritmos Voraces 2009
91
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE CIENCIAS
CARRERA DE INFORMATICA MATEMATICA
APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS EN LA
INFORMÁTICA
Autores:
Carlos Paternostro
Viviana Piedra
Director:
Gustavo Nieto

CONTENIDO







Introducción
Proposito
Formulacion del problema y justificacion
Objetivos
Grafos
 Historia
 Definicion
 Tipos de grafos
 Modelos de los grafos
 Aplicaciones
Arboles
 Arbol Binario
 Arbol de decision y aplicaciones
Software algoritmos voraces
INTRODUCCIÓN
La teoría de grafos también llamada teoría de las
gráficas, es una disciplina que es importante tanto para
las matemáticas como para la teoría de la computación.
En esta última disciplina todo es manejado a través de
los grafos que son estructuras discretas que constan de
puntos y de líneas que se conectan entre sí. Es
importante saber que existen diferentes tipos de grafos,
que se distinguen entre si por el tipo y el número de
líneas que pueden conectar para cada par de puntos.
PROPOSITO



Se encuentran muchos problemas informáticos que pueden ser
resueltos a través de la teoría de grafos.
El propósito principal es mostrar algunas de las aplicaciones
que contienen la teoría de grafos y cómo se pueden resolver,
con la ayuda de las matemáticas.
Algunos de los temas relacionados con dichas aplicaciones son:
 Las estructuras de datos como los grafos.
 El diseño de circuitos planos.
 La solución de variados problemas en campos tan particulares
como la teoría de juegos, redes telefónicas, eléctricas, bases de
datos, sistemas operativos y de comunicaciones en general.
FORMULACION DEL PROBLEMA Y
JUSTIFICACION
Formulación del problema



El problema básicamente se centra en la falta de información sobre
algunas aplicaciones informáticas desde un tema tan amplio como es la
teoría de grafos.
Lo que pretendemos solucionar es contar rápidamente con un texto, en el
cual se puedan encontrar algunas de las más importantes aplicaciones
informáticas en el ámbito de la teoría de grafos.
Justificación de la investigación


La finalidad de nuestro trabajo es proveer de un texto en donde se
encuentren algunas de las más grandes e importantes aplicaciones
informáticas, teoría y terminología básica de la teoría de grafos, a los
estudiantes de informática matemática e ingeniería de Sistemas, los
cuales apenas empiezan a estudiar la teoría de grafos y a comprender que
ésta puede ser de gran ayuda para la ciencia de la computación ya que a
través de ella se logran muchas de las aplicación mostradas alrededor de
toda su carrera.
OBJETIVOS
Objetivo General:


Conformar un proyecto que muestre algunas de las
aplicaciones de la teoría de grafos en las redes de
comunicaciones, manejo de información y secuencia de
programas.
Objetivos Específicos:




Mostrar ejemplos y aplicaciones de la teoría de grafos en
el diseño y estructura de redes de comunicaciones.
Establecer situaciones donde se muestra la importancia
de los grafos dirigidos en la ejecución de programas
Diseñar estructuras de bases de datos mostrando la
utilidad de los grafos a través de ejemplos ilustrados.
HISTORIA DE LA TEORIA DE GRAFOS

Sus ideas básicas las introdujo el matemático suizo Leonhard Paul Euler en el
siglo XVIII.

En 1736 realizó el trabajo de los puentes de Konigsberg.

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden
en cada punto no es par, (condición necesaria para entrar y salir de un mismo
punto). Así nació la teoría de grafos.

Gustav Kirchhoff, quien publicó sus leyes de los circuitos para calcular el
voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, usando grafos conexos de
medida minima.

El Problema de los cuatro colores

En 1852 Francis Guthrie, se preguntó si sería posible demostrar matemáticamente que
son suficientes cuatro tintas para colorear cualquier mapa de forma que países con
frontera común tengan asignados colores distintos.
GRAFOS

Estructura que consta de un conjunto de
puntos y lineas.
REPRESENTACIÓN DE GRAFOS EN
PROGRAMAS
Representación mediante
matrices
Representación mediante listas
TIPOS DE GRAFOS
Grafo simple
Grafo dirigido
Multigrafo
Pseudografo
MODELOS CON GRAFOS

Grafos de llamadas



Grafo de la Red


La red de Internet se puede representar mediante un grafo dirigido en el que cada pagina Web esta
representada por un vértice y en el que una arista comienza en la pagina a y termina en la pagina b
si hay un enlace en la pagina a que conduce a la pagina b.
Grafos de precedencia y procesamiento concurrente



Puede usarse un multigrafo dirigido para representar llamadas: cada vértice representa un número
de teléfono y cada arista representa una llamada.
La arista que representa una llamada sale del número del teléfono desde el que se hace la llamada
y llega al número de que lo recibe.
Los Sistemas Operativos, pueden ejecutarse más rápidamente si ciertas sentencias se ejecutan
simultáneamente. Es importante no ejecutar sentencias que requieran el resultado de sentencias no
ejecutadas. La dependencia de sentencias con respecto a sentencias previas se puede representar
por medio de un grafo dirigido.
Cada sentencia se representa por un vértice, y hay una arista de un vértice a un segundo si la
sentencia representada por el segundo vértice no puede ejecutarse hasta la sentencia representada
por el primero se ha ejecutado.
Diseño de bases de datos

Empresa:


Vértices: Empleados, trabajos, departamentos y Empresa.
Enlaces: La comunicación.
APLICACIONES


Un sistema de adquisición
de datos supervisa
continuamente un cierto
proceso físico, para
registrar su
comportamiento,
información cambios
significativos y enviar
comandos a un
controlando de proceso.
R (recoger), G (guardar), C
(calcular), I (imprimir) y E
(enviar)
APLICACIONES INFORMÁTICAS
EN GRAFOS BIPARTITOS

Comparación de archivos de computador, utilizando el problema de la
Longest Common Subsequence (LCS), en español Subsecuencia Común
Más Larga.
 Dadas dos palabras X e Y sobre un alfabeto finito cualquiera, pretende
encontrar cuál es el largo máximo que puede tener una palabra que sea
subsecuencia de X e Y simultáneamente.
 El largo de una LCS se usa comúnmente como criterio de comparación
de palabras, pues está relacionada con la cantidad de "pasos" necesarios
para ir de una palabra a la otra mediante operaciones de inserción,
eliminación y reemplazo de caracteres.
 Todo par de palabras puede representarse convenientemente como un
grafo bipartito donde los arcos unen a los caracteres coincidentes de
ambas palabras.
 Un matching en un grafo arbitrario (no necesariamente bipartito) es
cualquier conjunto de arcos que no comparten extremos; un PM es un
matching en donde los arcos no se cruzan ni comparten extremos. Así,
calcular la LCS entre dos palabras no es más que calcular el matching
planar de costo máximo del grafo bipartito asociado a dichas palabras,
donde todos los arcos tienen costo igual a 1.
ATMIA
APLICACIONES INFORMATICAS PARA LA
CONEXIÓN ENTRE GRAFOS ( I )

Seguridad para las bases de datos de una empresa
 Funciones a diferentes departamentos para el manejo de
inserción, eliminación y actualización de los diferentes empleados
que trabajan para cada departamento.
 E= Empresa
 DS= Departamento de sistemas
 DC= Departamento de contaduría
 DG= Departamento para la gerencia
 ES= Empleados para el departamento de sistemas
 EC= Empleados para el departamento de contabilidad
 EG= Empleados que hacen parte con la gerencia de la
empresa
APLICACIONES INFORMATICAS
PARA LA CONEXIÓN ENTRE GRAFOS
( II )

Redes de comunicaciones móviles.
 Los patrones de comunicación de millones de
usuarios de teléfonos móviles, los grafos
permiten estudiar simultáneamente la estructura
local y la global de una sociedad en toda la red de
comunicación, en las cuales se observan
acoplamientos entre la interacción fuertes y una
red de la estructura local.
 Cada enlace representa la comunicación mutua
entre los usuarios de la red de comunicación, y
todos los nodos que se muestran son la distancia
inferior a seis desde usuario seleccionado,
marcado por un círculo en el centro.
ÁRBOLES
Un árbol es un grafo sin circuitos.
Se usarán árboles siempre que se quiera
representar información jerarquizada, cuando esta
converja en un solo punto.
ARBOL BINARIO





Un árbol binario es el que cumple que el subárbol
izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene
valores menores que el que contiene dicho nodo, y el
subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores
mayores.
Usos comunes de los árboles binarios son los árboles
binarios de búsqueda y codificación de huffman.
ÁRBOLES DE DECISIÓN



Un árbol de decisión es un modelo de predicción utilizado en el ámbito de la inteligencia
artificial.
Dada una base de datos se construyen estos diagramas de construcciones lógicas.
Puede Contener:





Un vértice interno contiene un test sobre algún valor de una de las propiedades.
Un vértice de probabilidad indica que debe ocurrir un evento aleatorio de acuerdo a la naturaleza
del problema, este tipo de vértices es redondo, los demás son cuadrados.
Un vértice hoja representa el valor que devolverá el árbol de decisión.
Las ramas brindan los posibles caminos que se tienen de acuerdo a la decisión tomada.
Los árboles de decisión se utilizan en cualquier proceso que implique toma de decisiones,
ejemplos de estos procesos son:



Búsqueda Binaria
Sistemas Expertos
Árboles de juegos
APLICACIONES INFORMATICAS
DE ÁRBOLES DE DECISION ( I )

CODIFICACION DE HUFFMAN
 Este algoritmo fue usado para compresión de datos.
 El termino se refiere al uso de una tabla de códigos de longitud
variable para codificar un determinado símbolo (como puede ser
un caracter en un archivo), donde la tabla ha sido rellenada de
una manera específica basándose en la probabilidad estimada
de aparición de cada posible valor de dicho símbolo.
 La codificación Huffman usa un método específico para elegir la
representación de cada símbolo, que da lugar a un código prefijo
(es decir, la cadena de bits que representa a un símbolo en
particular nunca es prefijo de la cadena de bits de un símbolo
distinto) que representa los caracteres más comunes usando las
cadenas de bits más cortas, y viceversa.
 EJEMPLO

FRASE a codificar: "Esto es un ejemplo de árbol de Huffman".
APLICACIONES INFORMATICAS
DE ÁRBOLES DE DECISION ( II )

Haremos una tabla para
representar cada carácter es
importante saber su numero
de frecuencia, y su código,
es bueno organizar cada
carácter de mayor a menor,
esto significa que aquel
carácter que tenga el numero
de frecuencia mayor será el
primero y así sucesivamente
(frecuencia asumirlo como
numero de repeticiones que
presenta un carácter).
CARÁCTER
FRECUENCIA
CODIGO
Espacio
7
00
E
6
100
O
3
1100
N
2
1110
U
2
0100
S
2
0101
M
2
1010
F
2
1011
L
2
0110
D
2
0111
A
2
11010
B
1
110110
H
1
110111
J
1
111100
P
1
111101
R
1
111110
T
1
111111
ARBOL REPRESENTACION CODIFICACION
DE HUFFMAN
APLICACIONES INFORMATICAS DE
ÁRBOLES DE DECISION ( III )

Árboles de decisión en una crisis empresarial.
 El análisis de la crisis empresarial se configura como
un aspecto clave en el análisis de estados financieros
al permitir a la empresa disponer de un sistema de
diagnóstico que abarque los aspectos de solvencia y
de rentabilidad.
 Un árbol de decisión representa la relación existente
entre la conclusión-decisión y sus atributos.
 Importe (menor de 100.000, entre 100.000 y
500.000, mayor de 500.000)
 Solvencia (alta, media y baja)
APLICACIONES INFORMATICAS
DE ÁRBOLES DE DECISION ( V )

Arboles de juego

Genera el árbol de acuerdo al nivel de previsión y cada
jugador va decidiendo que jugada le conviene más de
acuerdo a la evaluación de una determinada posición.
APLICACIONES INFORMATICAS
DE ÁRBOLES DE DECISION ( IV )

Árboles de decisión utilizados en sistemas expertos.

Puede llegar a ser lento pues analiza todas las posibilidades
pero esto a su vez es lo que lo vuelve mas preciso que al
hombre.
ARBOL RECUBRIDOR




Dado un grafo conexo, un árbol recubridor de ese grafo es un
sub-grafo que es un árbol y conecta todos los vértices.
Se le puede asignar un peso a cada arista, que es un número
que representa qué tan adecuado es, y se usa para asignar un
peso al árbol recubridor mínimo computando la suma de todos
los pesos de las aristas del árbol en cuestión.
Un árbol recubridor o un árbol expandido es un árbol recubridor
que pesa menos o igual que otros árboles recubridores. Todo
grafo tiene un bosque recubridor mínimo.
El árbol recubridor es usado frecuentemente para algoritmos
informáticos, los algoritmos más destacados se explicaran a
continuación.
SOFTWARE
ALGORITMOS VORACES
ALGORITMO DE KRUSKAL



Encuentra el árbol recubridor
mínimo en un grafo conexo y
ponderado.
Algoritmo:
1.
2.
3.
4.
Se marca la arista con menor
valor. Si hay más de una, se
elige cualquiera de ellas.
De las aristas restantes, se
marca la que tenga menor
valor, si hay más de una, se
elige cualquiera de ellas.
Repetir el paso 2 siempre que
la arista elegida no forme un
ciclo con las ya marcadas.
El proceso termina cuando
tenemos todos los vértices del
grafo en alguna de las aristas
marcadas, es decir, cuando
tenemos marcados n-1 arcos,
siendo n el número de vértices
del grafo.
Public Sub kruskal()
Dim ut As Integer = 0
Call traskruskal()
'se va escogiendo el menor de la matriz que no tenga los dos
destinos conectados
Dim i As Integer = 0, j As Integer = 0
Dim menorvalor As Integer = 15000
Dim nodotemp As New nodoPeso
indParejas = 0
Do While kruskalVisitoTodos() = False
For i = 0 To maxNodos
For j = 0 To maxNodos
If MatGrafokruskal(i, j) <> 0 And MatGrafokruskal(i, j)
< menorvalor And kruskal_conectados(i, j) = False Then
nodotemp.nodepeso = MatGrafokruskal(i, j)
nodotemp.inicio = i
nodotemp.fin = j
menorvalor = MatGrafokruskal(i, j)
End If
Next Next
vectorparejaK(indParejas).a = nodotemp.inicio
vectorparejaK(indParejas).b = nodotemp.fin
indParejas += 1
VectVisitaKruskal(indiceVisitasK) = nodotemp.inicio
indiceVisitasK += 1
VectVisitaKruskal(indiceVisitasK) = nodotemp.fin
indiceVisitasK += 1
MatGrafoKruskaldibuja(nodotemp.inicio, nodotemp.fin) =
nodotemp.nodepeso
menorvalor = 15000
Loop
Dim m As Integer, n As Integer, q As Integer, s As Integer
For i = 0 To maxNodos
ut = 0
For j = 0 To maxNodos
ut += MatGrafoKruskaldibuja(i, j)
Next
If ut = 0 Then
n = 15000
q = -1
For m = 0 To maxNodos
If Kruskal_conectados2(i, m) = False And
MatGrafokruskal(i, m) < n And MatGrafokruskal(i, m) <> 0
And DijkstraKruskal(i, m) = False Then
n = MatGrafokruskal(i, m)
q=m s=i
End If
Next
If q <> -1 Then
MatGrafoKruskaldibuja(s, q) = 1
End If
End If
Next
End Sub
Public Sub traskruskal()
Dim i As Integer, j As Integer
For i = 0 To maxNodos
For j = 0 To maxNodos
MatGrafokruskal(i, j) = MatGrafo(i, j)
Next
Next
End Sub
SOFTWARE ALGORITMOS VORACES
ALGORITMO DE DIJKSTRA

También conocido como ruta más corta;
a partir de un vértice determinado se
obtienen todas las rutas más cortas
hacia todos los demás vértices.
Los pasos a seguir para el algoritmo
son:


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Conocer el vértice de origen y el vértice
de destino.
Marcar el vértice de origen y conocer a
sus vecinos
Mirar los costos de las rutas hacia sus
vecinos
Marcar el vecino de la ruta más corta
El vecino marcado se convierte en el
nuevo vértice de origen
Hace paso 2 y 3
Comparar todas las rutas que hay de
sus vecinos y no vecinos no marcados
que ya tengan costo asociado.
Obtener el vértice de costo mínimo
asociado y marcarlo
Volver a el paso 2
Vértice
1
2
3
4
5
6
7
Ruta
-
1,2
1,3
1,4
1,3,5
1,3,6
1,3,5,7
Costo
0
9
7
8
10
12
18
Public Sub Dijkstra()
Dim nNodo As Integer = InputBox("Digite la id del vertice
inicio:", "", "1")
nNodo -= 1
Dim i As Integer = 0
TextBox1.Text = ""
For i = 0 To indiceNodos - 2
ap.Clear()
If i <> nNodo Then
ValorMinimo = 20000
indRecorridoDij = 0
ap.Add(nNodo)
digcal(nNodo, nNodo, nNodo, i, 0)
TextBox1.Text = TextBox1.Text & vbNewLine & "V[" &
CStr(nNodo + 1) & "]-[" & CStr(i + 1) & "] menor peso: " &
ValorMinimo & " Lista : " & ImpListaRec()
End If
Public Function digcal(ByVal porigen As Integer, ByVal
DondeVengo As Integer, ByVal dondeEstoy As Integer, ByVal
dondeVoy As Integer, ByVal suma As Integer) As Integer
Dim val1 As Integer = 0
Dim val2 As Boolean = False
Dim i As Integer
If dondeEstoy = dondeVoy Then
'se encontro
If suma < ValorMinimo Then
ValorMinimo = suma
indRecorridoDij = 0
For i = 0 To ap.Count - 1
recorridoDij(i).a = ap(i)
Next
indRecorridoDij = ap.Count
End If
Return suma
Else
Dim res As Integer
For i = 0 To maxNodos
val1 = MatGrafoDijkstra(dondeEstoy, i)
val2 = estaLista(i)
If val1 <> 0 And val2 = False And i <> dondeEstoy Then
ap.Add(i)
res = digcal(porigen, dondeEstoy, i, dondeVoy, suma +
MatGrafoDijkstra(dondeEstoy, i))
ap.Remove(i)
End If
Next
End If
End Function
SOFTWARE ALGORITMOS VORACES
ALGORITMO DE PRIM


El algoritmo de Prim es un algoritmo de la teoría
de grafos para encontrar un árbol recubridor
mínimo (MST) en un grafo conexo (igual que el
algoritmo de kruskal), no dirigido y cuyas aristas
están etiquetados. Si el grafo no es conexo,
entonces el algoritmo encontrara el árbol
recubridor mínimo para uno de los componentes
conexos que forman dicho grafo no conexo.
Dim inicio As Integer = 0
Dim i As Integer
Dim menorE As New nodoPeso
Dim menorEM As New nodoPeso
Dim menorvalor As Integer = 15000
Call trasprim()
Call limpiarVisitas()
vectVisitaNodo(indiceVisitas) = inicio
indiceVisitas += 1
Do While primVisitoTodos() = False
menorvalor = 15000
For i = 0 To indiceVisitas - 1
menorE = NodoMenor(vectVisitaNodo(i))
If menorE.nodepeso < menorvalor And
menorE.nodepeso <> 0 Then
'colocar en una varuable vectVisitaNodo(i) y el fin
que es nodoE
menorvalor = menorE.nodepeso
menorEM.inicio = vectVisitaNodo(i)
menorEM.nodoE = menorE.nodoE
menorEM.nodepeso = menorE.nodepeso
End If
If visitado(menorEM.nodoE) = False Then
' no ha sdo visitado
vectVisitaNodo(indiceVisitas) = menorEM.nodoE
indiceVisitas += 1
'dibuje el arco entre vectVisitaNodo(i) y menor e
MatGrafoPrimdibuja(menorEM.inicio,
menorEM.nodoE) = menorEM.nodepeso
End If
Loop
menorvalor = 15000
End Sub
Public Sub trasprim()
Dim i As Integer, j As Integer
For i = 0 To maxNodos
For j = 0 To maxNodos
MatGrafoPrim(i, j) = MatGrafo(i, j)
Next
Next
For i = 0 To maxNodos
For j = 0 To maxNodos
If MatGrafoPrim(j, i) <> 0 Then
MatGrafoPrim(i, j) = MatGrafoPrim(j, i)
End If
Next
Next
Next
End Sub
SOFTWARE ALGORITMOS VORACES
IMAGEN
DESCRIPCION
No vistos
En el grafo
En el árbol
Este es el grafo que será puesto de partida.
No es un árbol ya que requiere que no haya
circuitos y en este grafo los hay. Los
números cerca de las aristas indican el
peso. Ninguna de las aristas esta marcada, y
el vértice D ha sido elegido arbitrariamente
como el punto de partida.
C, G
A, B, E, F
D
El segundo vértice es el más cercano a D: A
esta a 5 de distancia, B a 9, E a 15 y F a 6.
De estos, 5 es el valor mas pequeño, así que
marcamos la arista DA.
C, G
B, E, F
A, D
El próximo vértice a elegir es el mas
cercano a D o A. B esta a 9 de distancia de
D y a 7 de A, E esta a 15 y F esta a 6. 6 es
el menor
C
B, E, G
A, D, F
SOFTWARE ALGORITMOS VORACES
El algoritmo continúa. El vértice B que esta a
una distancia de 7 de A, es el siguiente
marcado. En este punto la arista DB es
marcada porque sus dos extremos ya están en
el árbol y por lo tanto no podrá ser utilizado.
NULL
C,E,G
A,D,F,B
Aquí hay que elegir entre C, E Y G. C esta a 8
de distancia de B, E esta a 7 de distancia de B,
y G esta a 11 de distancia de F. E esta mas
cerca, entonces marcamos el vértice E y la
arista EB. Otras dos aristas fueron marcadas
porque ambos vértices que unen fueron
agregados al árbol.
NULL
C,G
A,D,F,B,E
Solo quedan disponibles C y G. C esta a 5 de
distancia de E, y G a 9 de distancia de E. Se
elige C, y se marca con el arco EC. El arco BC
también se marca.
NULL
G
A,D,F,B,E,
C
G es el único vértice pendiente, y esta mas
cerca de E que de F, asi que se agrega EG al
árbol. Todos los vértices están ya marcados, el
árbol de expansión minimo se muestra. En
este caso con un peso de 39.
NULL
NULL
A,D,F,B,E,
C,G
MUCHAS GRACIAS