UN Encuentro de Matemáticas 2011. - Postgrado de Matemática -UDO

Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
UN Encuentro de Matemáticas
ESTIMANDO LA NORMA DE
TRANSFORMACIONES CONFORME EN LOS
ESPACIOS DE KORENBLUM-ORLICZ
Julio C. Ramos Fernández
Departamento de Matemáticas
Universidad de Oriente
- Venezuela -
Bogotá, 2011
[email protected]
Norma de Transformaciones conformes en Korenblum-Orlicz
Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Resumen
En esta charla, usaremos funciones de Young para definir los
espacios de Korenblum-Orlicz. Mostraremos que la norma de las
transformaciones conformes en los espacios de Korenblum-Orlicz
puede ser dominada por una cierta expresión que involucra el
supremo sobre las imágenes inversas de ciertos sectores.
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Norma de Transformaciones conformes en Korenblum-Orlicz
Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Esquema de la presentación
Esta ponencia consta de 3 secciones distribuidas de la siguiente
manera:
Introducción y notaciones,
[email protected]
Norma de Transformaciones conformes en Korenblum-Orlicz
Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Esquema de la presentación
Esta ponencia consta de 3 secciones distribuidas de la siguiente
manera:
Introducción y notaciones,
Espacios de Korenblum-Orlicz,
[email protected]
Norma de Transformaciones conformes en Korenblum-Orlicz
Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Esquema de la presentación
Esta ponencia consta de 3 secciones distribuidas de la siguiente
manera:
Introducción y notaciones,
Espacios de Korenblum-Orlicz,
Resultados.
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Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Se consideran subespacios normados de H(D), el espacio de las funciones
analı́ticas sobre el disco unitario abierto D del plano complejo D, cuya
norma involucre una integral o un supremo sobre D.
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Bergman. Para α > −1 y p > 0, se dice que f ∈ Apα
si f ∈ H(D) y
Z
α
p
p
kf kα,p =
|f (z)| 1 − |z|2 dA(z) < ∞.
D
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Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Bergman. Para α > −1 y p > 0, se dice que f ∈ Apα
si f ∈ H(D) y
Z
α
p
p
kf kα,p =
|f (z)| 1 − |z|2 dA(z) < ∞.
D
Espacios de Besov. Para
p > 1, se dice que f ∈ Bp si f ∈ H(D) y
Z
p−2
p
p
0
kf kBp =
|f (z)| 1 − |z|2
dA(z) < ∞.
D
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Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Bergman. Para α > −1 y p > 0, se dice que f ∈ Apα
si f ∈ H(D) y
Z
α
p
p
kf kα,p =
|f (z)| 1 − |z|2 dA(z) < ∞.
D
Espacios de Besov. Para
p > 1, se dice que f ∈ Bp si f ∈ H(D) y
Z
p−2
p
p
0
kf kBp =
|f (z)| 1 − |z|2
dA(z) < ∞.
D
Espacios de Bergman-Orlicz. Si ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) es una
ϕ
N -función, se
Z dice que f ∈ A si f ∈ H(D) y
ϕ (λ |f (z)|) dA(z) < ∞
D
para alguna constante λ, que puede depender de la función f .
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Korenblum. Para α > 0, se dice que f ∈ H(D)
pertenece a A−α si
α
kf kα := sup 1 − |z|2 |f (z)| < ∞.
z∈D
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Korenblum. Para α > 0, se dice que f ∈ H(D)
pertenece a A−α si
α
kf kα := sup 1 − |z|2 |f (z)| < ∞.
z∈D
Espacios de Korenblum generalizados. Sea µ una función peso
definida sobre D, se dice que f ∈ Aµ , si f ∈ H(D) y
kf kµ := sup µ (z) |f (z)| < ∞.
z∈D
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Introducción y notaciones
Ejemplos...
Espacios de Korenblum. Para α > 0, se dice que f ∈ H(D)
pertenece a A−α si
α
kf kα := sup 1 − |z|2 |f (z)| < ∞.
z∈D
Espacios de Korenblum generalizados. Sea µ una función peso
definida sobre D, se dice que f ∈ Aµ , si f ∈ H(D) y
kf kµ := sup µ (z) |f (z)| < ∞.
z∈D
Espacios α-Bloch. Para α > 0, se dice que f ∈ H(D) pertenece a
B α si
α
kf kBα := sup 1 − |z|2 |f 0 (z)| < ∞.
z∈D
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
Teorema. [Luecking (1981)] Sea p > 0 y G un subconjunto de D.
Existe una constante C > 0Ztal que
p
kf kp0,p ≤ C
|f (z)| dA(z),
para toda función f ∈ Ap0 ,
G
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
Teorema. [Luecking (1981)] Sea p > 0 y G un subconjunto de D.
Existe una constante C > 0Ztal que
p
kf kp0,p ≤ C
|f (z)| dA(z),
G
para toda función f ∈ Ap0 , si y sólo si G satisface la condición de
Carleson inversa, es decir, si existen δ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que
A (G ∩ ∆(a, η)) ≥ δA (∆(a, η))
para todo a ∈ D.
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
Teorema. [Luecking (1981)] Sea p > 0 y G un subconjunto de D.
Existe una constante C > 0Ztal que
p
kf kp0,p ≤ C
|f (z)| dA(z),
G
para toda función f ∈ Ap0 , si y sólo si G satisface la condición de
Carleson inversa, es decir, si existen δ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que
A (G ∩ ∆(a, η)) ≥ δA (∆(a, η))
para todo a ∈ D.
Aquı́ ∆(a, η) denota el disco pseudo-hiperbólico de centro a ∈ D y
radio η ∈ (0, 1).
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Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
Teorema. [Luecking (1981)] Sea p > 0 y G un subconjunto de D.
Existe una constante C > 0Ztal que
p
kf kp0,p ≤ C
|f (z)| dA(z),
G
para toda función f ∈ Ap0 , si y sólo si G satisface la condición de
Carleson inversa, es decir, si existen δ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que
A (G ∩ ∆(a, η)) ≥ δA (∆(a, η))
para todo a ∈ D.
El resultado de Luecking fue extendidos a los espacios de Bergman
con peso Apα por Pérez-González y Ramos-Fernández en el
(2001).
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Un subconjunto G de D se dice dominante o de muestreo, para
uno de los espacios antes mencionado, si la cantidad que se obtiene al
restringir la integral o el supremo al conjunto G es comparable con la
norma definida en ese espacio.
Teorema. [Luecking (1981)] Sea p > 0 y G un subconjunto de D.
Existe una constante C > 0Ztal que
p
kf kp0,p ≤ C
|f (z)| dA(z),
G
para toda función f ∈ Ap0 , si y sólo si G satisface la condición de
Carleson inversa, es decir, si existen δ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que
A (G ∩ ∆(a, η)) ≥ δA (∆(a, η))
para todo a ∈ D.
Por Arzolay y Ramos-Fernández a los espacios de Besov en el
(2004).
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
Los conjuntos de muestreo para estos espacios básicamente son
ciertas η-redes en la métrica hiperbólica.
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
Los conjuntos de muestreo para estos espacios básicamente son
ciertas η-redes en la métrica hiperbólica. Todo conjunto que
satisface la condición de Carleson-inversa es de muestreo para estos
espacios.
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
Los conjuntos de muestreo para estos espacios básicamente son
ciertas η-redes en la métrica hiperbólica. Todo conjunto que
satisface la condición de Carleson-inversa es de muestreo para estos
espacios.
El trabajo de Seip fue extendido a los espacios de Korenblum
generalizados por Domański y Lindstrom (2002).
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
Los conjuntos de muestreo para estos espacios básicamente son
ciertas η-redes en la métrica hiperbólica. Todo conjunto que
satisface la condición de Carleson-inversa es de muestreo para estos
espacios.
El trabajo de Seip fue extendido a los espacios de Korenblum
generalizados por Domański y Lindstrom (2002).
Nicolau (2004) caracteriza los conjuntos de muestreos para los
espacios de Bloch.
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Resultados
Conjuntos dominantes o de muestreos
Los conjuntos de muestreos para los espacios de Korenblum A−α
fueron caracterizados por Seip en (1994).
Los conjuntos de muestreo para estos espacios básicamente son
ciertas η-redes en la métrica hiperbólica. Todo conjunto que
satisface la condición de Carleson-inversa es de muestreo para estos
espacios.
El trabajo de Seip fue extendido a los espacios de Korenblum
generalizados por Domański y Lindstrom (2002).
Nicolau (2004) caracteriza los conjuntos de muestreos para los
espacios de Bloch. Según el trabajo de Nicolau, pareciese que los
conjuntos de muestreos dependen de la norma con que se trabaje en
esos espacios.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
Es un problema abierto mostrar este resultado quitando la condición de
que f es conforme. Para p > 1 el resultado NO es cierto para todo ε > 0.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
El resultado de Marshall y Smith fue extendidos a los espacios de
Bergman con peso Apα por Pérez-González y Ramos-Fernández
en el (2004).
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
Aquı́ se pide que α > 2p − 1, también se prueba que el resultado
NO es cierto para α < 2p − 2.
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Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
Por Castillo y Ramos-Fernández a los espacios de Besov en el
(2007).
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Distribución angular de masas
Para ε > 0 fijo, se define el sector
Σε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.
Teorema. [Marshall y Smith (1999)] Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
Z
Z
|f (z)| dA(z) ≥ δ |f (z)| dA(z)
f −1 (Σε )
D
para toda función conforme f ∈ A10 tal que f (0) = 0.
Por Ramos-Fernández a los espacios de α-Bloch y espacios tipo
Dirichlet en el (2007) y (2008). Por Perez-González y
Ramos-Fernández a espacios tipo Bloch-Orlicz en el (2009).
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Objetivo
Definir un nuevo espacio de Banach de funciones analı́ticas y
extender el resultado de Marshall y Smith a este espacio.
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función estrictamente creciente y
convexa tal que ϕ(0) = 0 y limt→∞ t/ϕ(t) = limt→0+ ϕ(t)/t = 0.
Una función f ∈ A−α
ϕ si
α
sup 1 − |z|2 ϕ (λ |f (z)|) < ∞
z∈D
para algún λ > 0 que depende de f .
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función estrictamente creciente y
convexa tal que ϕ(0) = 0 y limt→∞ t/ϕ(t) = limt→0+ ϕ(t)/t = 0.
Una función f ∈ A−α
ϕ si
α
sup 1 − |z|2 ϕ (λ |f (z)|) < ∞
z∈D
para algún λ > 0 que depende de f .
Espacio de este tipo ha sido recientemente introducido por J. C.
Ramos Fernández en Applied Mathematics and Computation
(2010), donde además se estudian las propiedades del operador de
composición actuando en estos espacios.
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función estrictamente creciente y
convexa tal que ϕ(0) = 0 y limt→∞ t/ϕ(t) = limt→0+ ϕ(t)/t = 0.
Una función f ∈ A−α
ϕ si
α
sup 1 − |z|2 ϕ (λ |f (z)|) < ∞
z∈D
para algún λ > 0 que depende de f .
Se puede suponer que ϕ−1 es continuamente diferenciable,
pues en caso contrario, usamos
Z t
ϕ(x)
ψ(t) =
dx (t ≥ 0)
x
0
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función estrictamente creciente y
convexa tal que ϕ(0) = 0 y limt→∞ t/ϕ(t) = limt→0+ ϕ(t)/t = 0.
Una función f ∈ A−α
ϕ si
α
sup 1 − |z|2 ϕ (λ |f (z)|) < ∞
z∈D
para algún λ > 0 que depende de f .
El funcional de Minkowski
f
kf kα,ϕ = inf k > 0 : Sα,ϕ
≤1 ,
k
define una norma para A−α
ϕ , donde
Sα,ϕ (f ) := sup 1 − |z|2
α
ϕ (|f (z)|) .
z∈D
[email protected]
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función estrictamente creciente y
convexa tal que ϕ(0) = 0 y limt→∞ t/ϕ(t) = limt→0+ ϕ(t)/t = 0.
Una función f ∈ A−α
ϕ si
α
sup 1 − |z|2 ϕ (λ |f (z)|) < ∞
z∈D
para algún λ > 0 que depende de f .
El funcional de Minkowski
f
kf kα,ϕ = inf k > 0 : Sα,ϕ
≤1 ,
k
define una norma para A−α
ϕ , donde
Sα,ϕ (f ) := sup 1 − |z|2
α
ϕ (|f (z)|) .
z∈D
−α es un espacio de Banach con la norma kf k
Aϕ
α,ϕ .
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Lema
Si f ∈ A−α
ϕ \ {0}, entonces
Sα,ϕ
f
kf kϕ
[email protected]
≤ 1.
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Lema
Si f ∈ A−α
ϕ \ {0}, entonces
Sα,ϕ
f
kf kϕ
≤ 1.
Para toda f ∈ A−α
ϕ y z ∈D
|f (z)| ≤ ϕ
−1
[email protected]
1
(1 − |z|2 )α
kf kα,ϕ .
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Lema
Si f ∈ A−α
ϕ \ {0}, entonces
Sα,ϕ
f
kf kϕ
≤ 1.
Para toda f ∈ A−α
ϕ y z ∈D
|f (z)| ≤ ϕ
−1
1
(1 − |z|2 )α
kf kα,ϕ .
El funcional evaluación, Tz (f ) := f (z), donde z ∈ D es fijo,
es continuo sobre A−α
ϕ .
[email protected]
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Resultados
Espacios de Korenblum-Orlicz
Lema
Si f ∈ A−α
ϕ \ {0}, entonces
Sα,ϕ
f
kf kϕ
≤ 1.
Para toda f ∈ A−α
ϕ y z ∈D
|f (z)| ≤ ϕ
−1
1
(1 − |z|2 )α
kf kα,ϕ .
El funcional evaluación, Tz (f ) := f (z), donde z ∈ D es fijo,
es continuo sobre A−α
ϕ .
−α .
Además, H ∞ (D) ⊂ A−α
ϕ ⊂A
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Resultados
Espacios de Bloch-Orlicz
Teorema
El espacio de Korenblum-Orlicz es isométricamente igual al
espacio µ-Korenblum, donde
1
µ(z) =
ϕ−1
1
(1−|z|2 )α
,
con z ∈ D.
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
[email protected]
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
Ejemplos. ϕ1 (t) = tp y ϕ2 (t) = tp log (1 + t) con p ≥ 1 y t ≥ 0
satisfacen ∆2 .
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Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
Ejemplos. ϕ1 (t) = tp y ϕ2 (t) = tp log (1 + t) con p ≥ 1 y t ≥ 0
satisfacen ∆2 .
Si ϕ ∈ ∆2 , entonces f ∈ A−α
ϕ si y sólo si
sup 1 − |z|2
α
ϕ (|f (z)|) < ∞.
z∈D
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Introducción y notaciones
Espacios de Korenblum-Orlicz
Resultados
La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
Ejemplos. ϕ1 (t) = tp y ϕ2 (t) = tp log (1 + t) con p ≥ 1 y t ≥ 0
satisfacen ∆2 .
ϕ ∈ ∆2 si y sólo si para cada r > 0 existe una constante Kr > 0,
que depende sólo de r y ϕ, tal que
ϕ(rt) ≤ Kr ϕ(t)
for all t ≥ 0.
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La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
Ejemplos. ϕ1 (t) = tp y ϕ2 (t) = tp log (1 + t) con p ≥ 1 y t ≥ 0
satisfacen ∆2 .
ϕ ∈ ∆2 si y sólo si para cada r > 0 existe una constante Kr > 0,
que depende sólo de r y ϕ, tal que
ϕ(rt) ≤ Kr ϕ(t)
for all t ≥ 0.
Para r > 0 fijo, se define
K∆ (r) = inf {Kr > 0 : ϕ(rt) ≤ Kr ϕ(t), for all t ≥ 0} .
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La condición ∆2
Una N -función ϕ satisface la condición ∆2 (globalmente), denotado por
ϕ ∈ ∆2 , si existe una constante K > 1 tal que ϕ(2t) ≤ Kϕ(t), para
todo t ≥ 0. El menor valor K que satisface lo anterior se denota por K∆ .
Propiedades de K∆ (r)
Para r > 0 fijo y cualquier t ≥ 0, se tiene
ϕ(rt) ≤ K∆ (r)ϕ(t).
Para r ∈ (0, 1) se cumple que K∆ (r) ≤ r, K∆ (1) = 1; mientras que
para R > 1 se cumple K∆ (R) ≥ R.
También se cumple que
lim rK∆
r→1−
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1
= 1.
r
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Resultado Principal
Teorema (Castillo and Ramos-Fernández (2011))
Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una N -función que satisface la condición ∆2
globalmente. Supongamos que α > 2K∆ y sea ε > 0. Entonces existe
una constante δ > 0, que depende sólo de α y ϕ, tal que
α
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δεkf kα,ϕ
z∈f −1 (Σε )
para toda transformación conforme f ∈ A−α
ϕ tal que
f (0) = |f 0 (0)| − 1 = 0.
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Demostración del Resultado Principal (Esbozo)
Existe una constante Kα > 0 tal que
α
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ Kα Sα,ϕ (f )
sup
{ 12 <|z|<1}
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Demostración del Resultado Principal (Esbozo)
Existe una constante Kα > 0 tal que
α
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ Kα Sα,ϕ (f )
sup
{ 12 <|z|<1}
Si f (0) = |f 0 (0)| − 1 = 0 y kf kα,ϕ ≤ 1. Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
α
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δεkf kα,ϕ .
z∈f −1 (Σε )
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Existe una constante Kα > 0 tal que
α
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ Kα Sα,ϕ (f )
sup
{ 12 <|z|<1}
Si f (0) = |f 0 (0)| − 1 = 0 y kf kα,ϕ ≤ 1. Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
α
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δεkf kα,ϕ .
z∈f −1 (Σε )
Si f (0) = 0 and kf kα,ϕ > 1. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
2 α
|f 0 (0)|
|f 0 (0)|
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δε
.
ϕ
kf kα,ϕ
kf kα,ϕ
z∈f −1 (Σε )
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Existe una constante Kα > 0 tal que
α
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ Kα Sα,ϕ (f )
sup
{ 12 <|z|<1}
Si f (0) = |f 0 (0)| − 1 = 0 y kf kα,ϕ ≤ 1. Dado ε > 0, existe δ > 0
tal que
α
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δεkf kα,ϕ .
z∈f −1 (Σε )
Si f (0) = 0 and kf kα,ϕ > 1. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
2 α
|f 0 (0)|
|f 0 (0)|
sup
1 − |z|2 ϕ (|f (z)|) ≥ δε
.
ϕ
kf kα,ϕ
kf kα,ϕ
z∈f −1 (Σε )
Si kf kα,ϕ > 1. Existe una constante M > 0, que depende sólo de α
y ϕ tal que kf kα,ϕ ≤ M .
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GRACIAS POR SU ATENCIÓN!
Julio C. Ramos Fernández
Departamento de Matemáticas
Universidad de Oriente
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