parcial 1_TJ20081_solucion

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE ECONOMIA
TEORIA DE JUEGOS
Profesora: Marcela Eslava
Parcial 1
28 de febrero de 2008
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Tiene 80 minutos para responder este examen
No puede usar calculadora ni celular.
No responderemos preguntas durante el examen.
Todas las preguntas se deben responder en el espacio asignado en este
cuestionario y EN ESFERO, excepto cuando se indica lo contrario.
Para argumentar sus respuestas puede usar resultados generales demostrados en
clase (proposiciones, teoremas), pero debe enunciarlos correctamente y mostrar que
esos efectivamente se pueden aplicar en el caso específico.
Durante el reciente episodio de la fallida licitación para construir el túnel de la Línea,
varios potenciales participantes compraron los pliegos que les habrían permitido
participar en la licitación. Sin embargo, todos decidieron finalmente no presentarse.
Vamos a analizar un juego que modela una situación similar, en un escenario estático y
con información completa.
Suponga que Sigma y el Grupo Nule, dos de las firmas que compraron pliegos en la
mencionada licitación, se enfrentan en un juego con las siguientes características. Cada
firma ofrece un monto para pagar al Ministerio de Transporte por el derecho a construir
la obra. Las propuestas se hacen de manera simultánea y los pagos de ambas firmas
(detallados más abajo) son a su vez conocidos por ambas firmas.
Los ingresos que la obra reportará al ganador del contrato son de 615 mil millones de
pesos. La firma que ofrece el monto más alto al Ministerio de Transporte se queda con
la obra, siempre y cuando ese monto supere los 611 mil millones mínimos solicitados
por el gobierno. Si las dos firmas presentan la misma oferta de pago al Ministerio, el
contrato se reparte en partes iguales, y asumimos que en ese caso cada firma obtiene la
mitad de los beneficios. Cada firma puede hacer una oferta alta de 616 mil millones, una
baja de 612 mil millones, o decidir no presentarse a la licitación. En caso de que la
licitación se declare desierta (ninguna firma se presenta), las firmas saben que se abrirá
una nueva licitación en la que cada una se quedará con la mitad del contrato y el precio
a pagar al Ministerio será 609 mil millones. Todo lo anterior implica la siguiente matriz
de pagos (cifras en miles de millones de pesos):
Sigma
Grupo Nule
Oferta = 616
Oferta = 612
No participar
Oferta = 616
(-0.5 , -0.5)
(0 , -1)
(0 , -1)
Oferta = 612
(-1 , 0)
(1.5 , 1.5)
(0 , 3)
No participar
(-1 , 0)
(3 , 0)
(3 , 3)
1. (0.5 puntos) Suponga que sólo se puede jugar estrategias puras. Desarrolle un proceso
de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. Escriba cada una de las
rondas del proceso en el espacio asignado abajo; proveemos espacio para cuatro rondas
de eliminación (el máximo posible), pero si su resultado muestra menos rondas
simplemente deje los espacios adicionales en blanco. En el espacio vacío debajo escriba
la matriz reducida que queda al final de su proceso.
Ronda 1: Para el jugador SIGMA la estrategia Oferta=616 se elimina por ser
estrictamente dominada por la estrategia Oferta=612 (también por No participar)_.
Ronda 2: En la matriz resultante, para el jugador NULE la estrategia Oferta=616 se
elimina por ser estrictamente dominada por la estrategia Oferta=612 (también por No
participar).
EL ORDEN DE ESTAS DOS RONDAS ES INDIFERENTE. NO HAY MÁS
ESTRATEGIAS ESTRICTAMENTE DOMINADAS
Escriba en este espacio la matriz reducida que queda luego de este proceso de
eliminación:
Sigma
Grupo Nule
Oferta = 612
No participar
Oferta = 612
(1.5 , 1.5)
(0 , 3)
No participar
(3 , 0)
(3 , 3)
2. (0.5 puntos) Suponga que sólo se puede jugar estrategias puras. A partir de la matriz
reducida que queda luego del proceso de eliminación iterativa de estrategias
estrictamente dominadas, desarrolle un proceso de eliminación iterativa de estrategias
débilmente dominadas. Escriba cada una de las rondas del proceso en el espacio
asignado abajo; proveemos espacio para cuatro rondas de eliminación (el máximo
posible), pero si su resultado muestra menos rondas simplemente deje los espacios
adicionales en blanco. En el espacio vacío debajo escriba la matriz reducida que queda
al final de su proceso.
Ronda 1: En la matriz resultante del punto 1., para el jugador SIGMA la estrategia No
participar se elimina por ser débilmente dominada por la estrategia Oferta=612.
Ronda 2: En la matriz resultante, para el jugador NULE la estrategia No participar se
elimina por ser débilmente dominada por la estrategia Oferta=612.
EL ORDEN DE ESTAS DOS RONDAS ES INDIFERENTE. NO HAY MÁS
RONDAS DE ELIMINACIÓN PORQUE LUEGO DE ESTAS DOS SE LLEGA A
UNA ÚNICA COMBINACIÓN SOBREVIVIENTE (ÚNICA SOLUCIÓN DEL
PROCESO)
Escriba en este espacio la matriz reducida que queda luego de este proceso de
eliminación:
Sigma
Grupo Nule
Oferta = 612
Oferta = 612
(1.5 , 1.5)
3. Suponga que sólo se puede jugar estrategias puras. Para cada una de las siguientes
afirmaciones diga si es cierta, falsa, o si no se puede aseverar que sea en general cierta o
falsa, y argumente su respuesta en el espacio asignado.
a.
(0.5 puntos) (Oferta Nule=616, Oferta Sigma=616) es un Equilibrio de Nash que
resulta borrado por el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas. ¿Cierto, falso, incierto? Falso Porque:
Si bien la combinación efectivamente resulta borrada por el proceso, sabemos que no es
un Equilibrio de Nash. Hay varias formas de argumentar lo último (cada estudiante
necesita usar sólo una):
1. Un resultado general mostrado en clase es que el proceso de eliminación iterativa de
estrategias estrictamente dominadas no borra ningún Equilibrio de Nash.
2. Se puede también tomar la combinación propuesta de estrategias y mostrar que para
algún jugador hay una desviación unilateral de provecho (es suficiente mostrarlo
para un jugador). Por ejemplo, se puede decir que si Nule ofrece 616, para Sigma
ofrecer también 616 no es mejor respuesta, pues le resulta mejor desviarse a ofrecer
612 o a no participar.
3. Una manera, menos adecuada por larga, de mostrar que esta combinación no es EN
es encontrar todos los EN, ninguno de los cuales es esta combinación.
b.
(0.5 puntos) (Oferta Nule=612, Oferta Sigma=612) no puede ser un Equilibrio
de Nash porque resultó borrado por el proceso de eliminación iterativa de estrategias
débilmente dominadas. ¿Cierto, falso, incierto? Falso. Porque:
Por un lado, la combinación no resultó borrada en el proceso. De otro, en clase
mostramos que la eliminación de estrategias débilmente dominadas sí puede borrar
equilibrios de Nash.
OJO: mostrar que esta combinación sí es un Equilibrio de Nash, como en efecto lo es,
no contradice la afirmación. Esto porque lo que hay que contradecir es que sea el hecho
de haber desaparecido en la eliminación lo que implica que no es Equilibrio de Nash.
c.
(0.5 puntos) (Oferta Nule=616, Oferta Sigma=612) es un Equilibrio de Nash.
¿Cierto, falso, incierto? Falso. Porque:
Para contradecir la afirmación, se debe mostrar que al menos algún jugador tiene
una desviación unilateral de provecho (es suficiente mostrarlo para una de las
firmas). En este caso, si Sigma está ofreciendo 612, Nule querría desviarse de
ofrecer 616 (con pago -1) a ofrecer 612 o a no participar, pues ambas opciones
le dan estrictamente mayor pago dada la jugada de Sigma. La existencia de esta
desviación unilateral de provecho descarta que la combinación sea EN. (Cada
estudiante sólo necesita responder la parte resaltada). De nuevo, un camino largo (y
retorcido) para mostrar que la combinación no es EN es encontrar todos los EN,
ninguno
de
los
cuales
es
esta
combinación.
d.
(0.5 puntos) (No participar por Nule, No participar por Sigma) es un Equilibrio
de Nash porque es la única combinación de estrategias que sobrevive a un proceso de
eliminación de estrategias estrictamente dominadas, seguido por un proceso de
eliminación de estrategias débilmente dominadas. ¿Cierto, falso, incierto? Falso
Porque:
A pesar de que un resultado general es que si un proceso de eliminación iterativa de
estrategias dominadas (de forma débil o estricta) tiene una única solución, ésta es un
Equilibrio de Nash, la combinación mencionada no sobrevive al proceso de eliminación
mencionado.
OJO: mostrar que esta combinación sí es un Equilibrio de Nash, como en efecto lo es,
no demuestra que la afirmación es correcta, aún si su resultado es que es la única
combinación que sobrevive. Esto porque lo que habría que demostrar en ese caso es que
sea el hecho de haber sido la única sobreviviente a la eliminación lo que implica que sí
es Equilibrio de Nash.
4. Suponga ahora que se puede jugar tanto estrategias puras como estrategias mixtas.
Denote como q la probabilidad que el Grupo Nule asigna a hacer una oferta de 612 mil
millones, y como p la probabilidad que Sigma le asigna a hacer esa misma oferta.
Asuma que cada firma asigna una probabilidad de 0 a hacer una oferta de 616 mil
millones. Responda las siguientes preguntas. Utilice la hoja adicional que le dieron para
para los procedimientos correspondientes, que puede hacer en lápiz. OJO: debe escribir
su respuesta final en esfero en el espacio asignado bajo cada pregunta, y debe entregar
tanto este cuestionario como la hoja adicional.
a. (0.5 puntos) Encuentre la correspondencia de reacción de cada firma.
El proceso es el siguiente (N denota a Nule y S a Sigma):
EUN = 1.5pq + 3q(1-p) + 3(1-p)(1-q) = 1.5pq + 3 – 3p
∂EU N
= 1.5 p
∂q
Esta derivada es >0 si p>0 y es =0 si p=0. Es decir, la utilidad esperada de Nule es
creciente en su estrategia q si p>0 y constante en q si p=0.
EUS = 1.5pq + 3p(1-q) + 3(1-p)(1-q) = 1.5pq + 3 – 3q
∂EU S
= 1.5q
∂p
Esta derivada es >0 si q>0 y es =0 si q=0. Es decir, la utilidad esperada de Sigma es
creciente en su estrategia p si q>0 y constante en p si q=0.
Lo anterior implica las correspondencias de reacción:
Correspondencia de reacción Grupo Nule: q=1 si p>0 y qЄ[0,1] si p=0
Correspondencia de reacción Sigma: p=1 si q>0 y p Є[0,1] si q=0
b. (0.5 puntos) Encuentre todos los equilibrios de Nash, tanto en estrategias
puras como en estrategias mixtas.
La siguiente figura muestra las dos correspondencias de reacción (en rojo la de Nule, en
verde la de Sigma):
q
1
1
p
De la figura se observa que hay dos Equilirios de Nash: (p=1,q=1) y (p=0,q=0). En otras
palabras, los únicos dos EN son las combinaciones de estrategias puras en que ambos
jugadores ofrecen 612 y en que ambos jugadores deciden no participar.
Equilibrios de Nash: (p=1,q=1) y (p=0,q=0), o si se prefiere: (sN=ofrecer 612,
sS=ofrecer 612) y (sN=no participar, sS=no participar).
c. (0.5 puntos)¿Encontró algún equilibrio de Nash en que p o q difieran de 1 o
0? Discuta la intuición de este resultado
No hay equilibrios de Nash en estrategias mixtas “interiores”. La intuición es la
siguiente: en equilibrio Nule escoge una estrategia que mezcle No participar y ofrecer
612 sólo si es indiferente entre esas dos movidas dada la movida de sigma, lo que
sucede sólo si Sigma juega no participar (p=0). Sin embargo, para Sigma quedarse en
no participar sólo es óptimo si a su vez Nule juega no participar (q=0). Por tanto, el
único posible equilibrio con estrategias “mixtas” termina en realidad siendo el equilibrio
de estrategias puras p=0, q=0.
d. (0.5 puntos) La combinación en que ambos jugadores deciden no participar
es óptima socialmente, pues cada uno no puede estar mejor que en esta
combinación y se maximiza la suma de las utilidades. Esto es intuitivo, pues
en esta opción los jugadores saben que terminarán con un contrato más
atractivo que en cualquier otro caso. Sin embargo, usted debe haber
encontrado al menos un Equilibrio de Nash por fuera de esta combinación.
Comente acerca de la intuición de que esa(s) otra(s) combinación(es) sea(n)
equilibrios, a pesar de que si ambas decidieran no participar les iría mejor
que en ese (esos) equilibrio(s).
Además del equilibrio en que ninguno participa, hay un EN en que los dos jugadores
ofrecen 612. Esto es así porque aún cuando ambos mejorarían si ambos pasan a no
participar, ninguno puede conseguir esta mejora desviándose de manera unilateral. De
esta forma, si ambos se ven enfrentados a un escenario en el que ambos ofrecen 612,
ninguno encontrará incentivos para desviarse de forma unilateral.