03F

4. Métodos de Solución PPL :
Solución Algebraica: MÉTODO SIMPLEX
SIMPLEX-DUAL
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
[email protected]
http:/www.docentes.unal.edu.co
Las reglas para el método símplex
dual son muy parecidas a las del
método símplex. De hecho, una vez
que se inician, la única diferencia
entre ellos es el criterio para elegir
las variables que entran y salen y la
regla para detener el algoritmo.
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto provoca que se
genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como “Metodo Dual Simplex”, el cual funciona
de la siguiente manera:
Condicion de Factibilidad:
La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas negativo, si
variables basicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la
solucion
todas
factible
las
-
optima.
Condicion de Optimalidad:
La variable entrante se escoge de la manera siguiente:
Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los coeficientes de la
fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes positivos o ceros. La
que entra es la que posee la razon mas pequeña si el problema es de
variable
minimizacion. Si todos
los denominadores son cero o positivos el problema no tiene solucion factible.
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 2X1 + X2)
s.a.
R1) 3X1+X2 ≥ 3
R2) 4X1+3X2 ≥ 6
R3) X1 + 2X2 ≤ 3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Forma Estándar
Z
+
-2
X1
-
X2
-3
X1
-
X2
-4
X1
-
3
X2
X1
+
2
X2
+
r1
+
r2
+
=
0
=
-3
=
-6
h1 =
3
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
Sale mas
negativa
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Entra razon mas pequeña
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Entra razon mas pequeña
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/5
0
0
1
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/5
0
0
1
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
RAZON
BASE
SOLUCION
Pivote
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
R1
r2
h1
Z
0
0
-2/5
-1/5
0
12/5
X1
1
0
-3/5
1/5
0
3/5
X2
0
1
4/5
-3/5
0
6/5
h1
0
0
-1
1
1
0
Optimo – Factible!!!
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Solución:
BASE
SOLUCION
Z
12/5
X1
3/5
X2
6/5
r1
0
r2
0
h1
0
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Ejercicio Propuesto
MIN (Z = 5X1 + 4X2 + 8X3)
S/A
R1) X1+2X2+X3
≥ 15
R2) 2X1+X2+X3
≥ 10
R3) X1 + X2 +X3
≤ 20
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0
Problemas típicos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Problema del transporte
Problema de flujo con coste mínimo en red
Problema de asignación
Problema de la mochila (knapsack)
Problema del emparejamiento (matching)
Problema del recubrimiento (set-covering)
Problema del empaquetado (set-packing)
Problema de partición (set-partitioning)
Problema del coste fijo (fixed-charge)
Problema del viajante (TSP)
Problema de rutas óptimas
Problema de partición
Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las
desigualdades se cambian por igualdades
n
Min  c j x j
j1
s.a.
xj=1 si se elige el subconjunto j
n
a x
j1
ij
m actividades
n conjuntos de actividades
j
 1, i  1..m
x j  0,1
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia