RESUMEN TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS

RESUMEN TEMA 1:
NÚMEROS ENTEROS
A. NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros están formados por todos los números positivos, los
números negativos y el 0. Los números enteros se pueden representar en una recta. A
la derecha del 0 se representan los números positivos y a la izquierda del 0 se
representan los números negativos.
(-8) (-7) (-6) (-5) (-4) (-3) (-2) (-1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Para ordenar números enteros nos fijaremos en su situación en la recta. Un
número en más pequeño cuanto más a la izquierda este situado en la recta numérica.
Así (-5) < (-3) porque (-5) está situado más a la izquierda que (-3) en la recta; o (-7) <
0 porque (-7) está situado más a la izquierda que 0 en la recta.
Todos los puntos viene definidos por dos números escritos entre paréntesis
como por ejemplo A (-3, 4) y pueden ser representados en un eje de coordenadas. El
primer número siempre se representa en la línea horizontal, mientras que el
segundo número se representa en la línea vertical.
En la línea horizontal (la referente al primer número), los números positivos se
representan hacia la derecha y los números negativos se representan hacia la
izquierda. Por su parte, en la línea vertical (la referente al segundo número) los
números positivos se representan hacia arriba mientras que los números negativos se
representan hacia abajo. EJEMPLO: A = ( -3, 5) B = ( -1, -4) C = ( 3, -6) D = ( 5, 7)
E = (0,-2)
F = (4, 0)
G = (-1, 3)
H = (0, 6)
I = (-5, 0)
J = ( -2, -1)
H
D
A
G
I
F
J
E
B
C
B. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Se pueden dar tres casos en la suma de números enteros:
er
1 caso: SUMA DE DOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Signo del resultado: siempre es positivo
Resultado: se calcula sumando ambos números.
EJEMPLO:
4+5=9
2º caso: SUMA DE DOS NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS
Signo del resultado: siempre es negativo
Resultado: se calcula sumando ambos números
EJEMPLO:
(−4) + (− 5) = (− 9)
3er caso: SUMA DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO CON OTRO
NEGATIVO
Signo del resultado: el mismo que tenga el número mayor
Resultado: se calcula restando ambos números
EJEMPLOS: (− 4) + 5 = 1
4 + (−5) = (− 1)
C. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Para realizar la operación de resta se debe, en primer lugar, transformar en
una suma. Para hacerlo, el primer factor se suma con el opuesto (o contrario) del
segundo factor.
EJEMPLOS: 4 − 6 4 + (− 6) = (−2)
(−4) − (−6) (− 4) + 6 = 2
4 − (−6) 4 + 6 = 10
(− 4) − 6 (− 4) + (−6) = (−10)
D. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Se rige por la regla de los signos.
REGLA DE LOS SIGNOS
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
+·+=+
+:+=+
−·−=+
−:−=+
+·−=−
+:−=−
−·+=−
−:+=−
1er caso: MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS
POSITIVOS
Signo del resultado: positivo
Resultado: multiplicación o división de ambos números
EJEMPLOS: 3 . 4 = 12
24: 6 = 4
2º caso: MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS
NEGATIVOS
Signo del resultado: positivo
Resultado: multiplicación o división de ambos números
EJEMPLO:
(− 2) . (−4) = 8
(−9) : (−3) = 3
3er caso: MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE UN NÚMERO ENTERO
POSITIVO CON OTRO NEGATIVO
Signo del resultado: negativo
Resultado: multiplicación o división de ambos números
EJEMPLO:
(− 3) . 5 = (− 15)
(− 18) : 2 = (− 9)
E. ORDEN DE LAS OPERACIONES
1.- Resolver todos los paréntesis
2.- Resolver todos los corchetes
3.- Resolver todos las llaves
4.- Resolver todas las multiplicaciones y divisiones
5.- Resolver todas las sumas y restas por orden de aparición
RESUMEN TEMA 2:
POTENCIAS Y RAÍCES
CUADRADAS
A. POTENCIAS
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores
iguales. En una potencia distinguimos dos partes: la base (número que se repite) y el
exponente (número de veces que se debe multiplicar la base).
Ejemplo: (-3)4 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
En este ejemplo la base es el número (-3), mientras que el exponente es el
número 4.
Signo de las potencias:
BASE
POSITIV
El resultado siempre
es positivo
3
EJEMPLO: 4 = 64
NEGATIVA
Exponente par
Exponente impar
El resultado
es positivo
El resultado
es negativo
EJEMPLO: (-2)4 = 16
EJEMPLO: (-3)3 = (-27)
Potencias especiales:
•
Todas las potencias con exponente 0 tienen como resultado 1.
EJEMPLO: (-5)0 = 1
•
Las potencias que no tienen ningún número en el exponente éste es un 1
EJEMPLO: (-3)1 = (-3)
•
Las potencias cuya base es un 10 su resultado es un 1 seguido de tantos ceros
como indique el exponente
3
EJEMPLO: (-10) = (-1000)
•
B. OPERACIONES CON POTENCIAS
Producto de potencias de la misma base:
Para resolver un producto de potencias de la misma base, dejamos la misma
base y realizamos una suma de números enteros con los exponentes
0
2
3
-1
EJEMPLO: (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = (-2)
•
0 + 2 + 1 + 3 + (-1)
5
= (-2) (- 32)
Cociente de potencias de la misma base:
Para resolver un cociente de potencias de la misma base, dejamos la misma
base y realizamos una resta de números enteros (que habrá que pasar a suma) con
los exponentes
2
8
5
3
EJEMPLO: (-4) : (-4) = (-4) (-64)
 1 
1
(-4) : (-4) = (-4) 
 16
 ( − 4) 
5
7
–2
NOTA: Para pasar una potencia con exponente negativo a otra de exponente
positivo escribiremos su inverso y para ello dividiremos 1 por dicha potencia pero ya
con exponente positivo
3
 1 
−1
EJEMPLO: (-5) = 
=

125
 (−5) 
-3
•
Potencia de una potencia:
Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la base y multiplicamos los
exponentes utilizando la regla de los signos
6
3 5
15
EJEMPLO: [(-1) ] = (-1) (-1)
 1 
1
EJEMPLO: [(-2) ] = (-2) 
 64
 ( − 2) 
3 -2
-6
C. REGLA PARA EL CÁLCULO DE RAÍCES CUADRADAS
EJEMPLO
1.- Divide el número en grupos de dos cifras, empezando por
la derecha
2.- Busca un número que multiplicado por él mismo (o elevado
al cuadrado) se acerque lo más posible al primer grupo de la
izquierda. Coloca ese número en el espacio destinado para
poner el resultado.
3.- Resta al primer grupo el resultado de multiplicar el número
por sí mismo y une al resultado obtenido el segundo grupo.
5,63,28
5,63,28
2
5,63,28
4
163
2
4.- Calcula el doble del número que tenemos en el resultado y
averigua que número debemos poner para que se acerque lo
más posible al número resultante de restar (para ello nos
puede ayudar el repartir las cifras)
5,63,28
4
163
5,63,28
4
5.- El número obtenido lo colocamos en el espacio destinado
al resultado y restamos el resultado obtenido del que ya
teníamos. A continuación unimos el tercer grupo
163
129
2
4_ · _ =
23
43·3 = 129
03428
6.- Calcula el doble del número que tenemos en el resultado y
averigua que número debemos poner para que se acerque lo
más posible al número resultante de restar (para ello nos
puede ayudar el repartir las cifras)
5,63,28
4
163
129
23
43·3 = 129
46_ ·_ =
03428
5,63,28
4
163
129
03428
3269
0159
7.- Resta el resultado obtenido al que teníamos.
237
43·3 = 129
467·7 = 3269
D. PASOS PARA EXTRAER FACTORES DE UNA RAÍZ:
1.- Descomponer el número en factores primos
2.- Expresar el número como producto de factores primos
3.- Transformar los factores con exponente impar en factores con exponente
par
4.- Sacar fuera de la raíz los factores con exponente par pero con la mitad del
exponente
EJEMPLO:
2187 37 36 ⋅ 3 33 3 27 3
E. PASOS PARA INTRODUCIR FACTORES EN LA RAÍZ:
1.- Se introducen los factores que hay fuera de la raíz con el doble del
exponente
2.- Se calculan las potencias
3.- Se calcula el resultado de los productos
EJEMPLO:
5⋅ 2 2 52 ⋅ 2 2 ⋅ 2 25 ⋅ 4 ⋅ 2 200
RESUMEN TEMA 3:
FRACCIONES
A. FRACCIONES EQUIVALENTES
En un fracción se distinguen dos partes:
a.- El denominador que nos indica el número de partes que hacemos. Está
situado en la parte inferior
b.- El numerador que nos indica cuántas partes cogemos. Se sitúa en la parte
superior
EJEMPLO:
7
donde 7 es el numerador y 9 es el denominador
9
NOTA: Cuando en una fracción el numerador es mayor que el denominador se
puede transformar una fracción en número mixto. Para calcularlo sólo tenemos que
dividir el numerador entre el denominador. El cociente de la división es el primer
número, a continuación se coloca el resto como numerador de la nueva fracción y el
divisor es el denominador
EJEMPLO:
16
5
1
3
Por lo tanto
16
1
3
5
5
Dos fracciones son equivalentes cuando cumple las siguientes condiciones:
a.- Tienen el mismo cociente
EJEMPLO:
15
9
= 0'75 y
= 0'75
20
12
b.- Tienen la misma fracción irreducible
EJEMPLO:
15 3
9 3
y
=
=
20 4
12 4
c.- Tienen iguales los productos cruzados
EJEMPLO:
15 9
=
ya que 15 ·12 = 20 ·9
20 12
d.- Actúan de la misma forma
EJEMPLO:
15
de 100 = 75
20
y
9
de 100 = 75
12
e.- Representan lo mismo
15
20
9
12
Formas de calcular la fracción irreducible:
La fracción más pequeña equivalente a una dada se llama fracción irreducible
Para calcular la fracción irreducible se puede hacer de dos maneras diferentes:
• 1ª forma: hallar el MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.) del numerador y
del denominador y una vez hallado se divide tanto el numerador y el denominador por
el máximo común divisor
¿Cómo se halla el máximo común divisor?
Una vez descompuestos el numerador y el denominador en producto de
factores se toman únicamente aquellos factores que se repitan en los dos pero con
su menor exponente.
EJEMPLO:
360
700
360 = 23 · 32 · 5
700 = 22 ·
52· 7
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
700
350
175
35
7
1
2
2
5
5
7
m.c.d. = 22 · 5 = 20
Por lo tanto dividiendo el numerador y el denominador por el m.c.d.
obtendremos la fracción irreducible
360 18
=
700 35
• 2ª forma: dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número (no
es necesario que el número sea primo)
EJEMPLO :
24 12 6 2
=
= =
36 18 9 3
B. ORDENAR FRACCIONES
Para ordenar varias fracciones tendremos en primer lugar que reducirlas a
común denominador. Para ello se siguen los siguientes pasos:
1. Se descomponen todos los denominadores en producto de factores primos
2. Se halla el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m. c. m.) de los denominadores,
tomando todos los factores que aparezcan aunque no sean comunes, elevados al
mayor exponente
3. Este mínimo común múltiplo es el denominador de todas las nuevas
fracciones
4. En el numerador de las nuevas fracciones pondremos el número resultante
de dividir el mínimo común múltiplo entre el denominador anterior, multiplicado por el
numerador anterior.
EJEMPLO:
5
3
3 5
,
,
,
12 16 4 8
12 = 22. 3
16 = 24
8 = 23
2
4=2
m. c. m. = 24 . 3 = 48
OPERACIONES = 48 : 12 = 4 · 5 = 20 (1er numerador)
48 : 16 = 3 · 3 = 9 (2º numerador)
48 : 4 = 12 · 3 = 36 (3er numerador)
48 : 8 = 6 · 5 = 30 (4º numerador)
20
9
36 30
9
20 30 36
,
,
,
Ordenadas de menor a mayor
<
<
<
48 48 48 48
48 48 48 48
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
•
SUMA DE FRACCIONES QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR
La suma de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción
que tiene como denominador el mismo que las anteriores y como numerador la suma
de los numeradores de las fracciones primeras.
 −3   −2   −5 
+  =  
7 7  7
EJEMPLO : 
•
SUMA DE FRACCIONES QUE TIENEN DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar dos fracciones que tienen distinto denominador debemos:
1. Transformarlas en otras dos que tengan el mismo denominador. El común
denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. Una vez hallado el mínimo común múltiplo, lo dividimos entre cada uno de
los denominadores primeros y el resultado lo multiplicamos por el numerador que
posea la fracción.
3. Sumamos los nuevos numeradores hallados, quedando el resultado como el
numerador de la fracción suma.
 − 3 7
+
 12  15
EJEMPLO: 
m . c . m. = 22 · 3 · 5 = 60
60 : 10 = 6 · (−3) = (−
−18)
60 : 20 = 3 · 7 = 21
1
 −18  21 3

+
=
que calculando su fracción irreducible se queda
 60  60 60
20
•
RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR
La resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción
que tiene el mismo denominador y como numerador la resta de numeradores.
 −2  4
 −6 
 − es igual a (−2) – 4 (−2) + (−4) = (−6) quedando  
 5 5
5
EJEMPLO : 
•
RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Para restar dos fracciones con distinto denominador debemos:
1. Transformarlas en dos fracciones que tengan el mismo denominador
calculando el m. c. m.
2. Dividir el m. c. m. por cada uno de los denominadores y multiplicarlo por los
numeradores.
3. Restar los nuevos numeradores obtenidos.
 −3  2
−
 8  20
EJEMPLO : 
m . c . m . = 23 · 5 = 40
40 : 8 = 5 · (−3) = (−
−15)
40 : 20 = 2 · 2 = 4
 −15  4
 −19 

−

y como (−15) − 4 (−15) + (−4) = (−19) quedaría 
 40  40
 40 
D. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para multiplicar dos fracciones multiplicaremos el numerador de la primera por
el numerador de la segunda y el denominador de la primera por el denominador de la
segunda teniendo en cuenta la regla de los signos
 −3  4  −12 
⋅ = 
 ya que (-3) · 4 = (-12) y 5 · 7 = 35
 5  7  35 
EJEMPLO : 
Para dividir dos fracciones debemos:
1. Utilizar la regla de los signos
2. Multiplicaremos en cruz, es decir, el denominador de la primera por el
denominador de la segunda, quedando el resultado como numerador de la
fracción producto y el denominador de la primera por el numerador de la
segunda, quedando el resultado como denominador de la fracción producto
 −3  6  −15 
÷ = 

 7  5  42 
EJEMPLO : 
ya que (−3) · 5 = (−15)
y 7 · 6 = 42
E. POTENCIAS DE FRACCIONES
Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el
denominador a dicha potencia. Cabe tener en cuenta el signo del resultado.
2
2 2 4
 2
EJEMPLO:   = ⋅ =
3 3 9
 3
BASE
POSITIVA
NEGATIVA
El resultado siempre
es positivo
4
24
16
 2
  = 4 =
625
5
 5
Exponente par
Exponente impar
El resultado
es positivo
El resultado
es negativo
4
34
81
 − 3

 = 4 =
256
4
 4 
3
23  − 8 
 − 2

 = 3 =

5
 5 
 125 
NOTA: Para pasar una potencia cuya base es una fracción y cuyo exponente
es un número negativo a otra de exponente positivo escribiremos su inverso y para
ello le daremos la vuelta a la fracción, es decir el numerador se transformará en
denominador y viceversa
−3
3
23  − 8 
−7
 − 2
=
=




7 3  343 
 2 
 7 
EJEMPLO: 