DERIVADAS Concepto geométrico En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo). Definición analítica de derivada como un límite Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y. En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x". En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectángulo formado en la grafica con vértice en el punto 'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo. Esta definición, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea. También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera: La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de h, en la cual es posible cancelar siempre el factor " x - h " en lugar de solo h. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva. No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte más conveniente. En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a (varios autores prefieren utilizar la notación "xo" en lugar de a) se define como sigue: si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática. Derivada de una potencia real[editar · editar fuente] Una función potencial con exponente real se representa por derivada es y su . Por ejemplo tomemos la función: Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así: Quedando finalmente: Derivada de una constante por una función Cuando una función esté representada por medio de equivale a , su derivada de la siguiente manera: Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente: Para obtener Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante: Entonces su derivada con respecto a esta variable será: Puesto que Derivada de una suma Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir, o . Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función: Derivada de un producto La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma: "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función" Y matemáticamente expresado por la relación Consideremos la siguiente función como ejemplo: Identificamos a y anteriormente expuestas, vemos que: . , utilizando las reglas y que Por lo tanto Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda: Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada: Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir en donde (sin importar que dos funciones escogemos). Derivada de un cociente La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación: Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así: Es decir: "La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado". Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función: Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es numerador que seria y se multiplique por la derivada del ; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador ( ) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así: , Ahora todo es cuestión de simplificar: Regla de la cadena La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es o escrito en notación de Leibniz Otras reglas Funciones inversas y diferenciación Si , entonces y si , y su inversa son diferenciables, entonces para los casos en que y cuando , Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable Sea y . entonces Diferenciación implícita Si es una función implícita, se tiene que: Derivada de un logaritmo Como , también se así: Derivada de un logaritmo neperiano puede expresar Ejemplos de derivadas logarítmicas 1. 2. 3. Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: 4. Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: 5. 6. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Derivada del seno Derivada del coseno Derivada de la tangente Derivada de la cotangente Derivada de la secante Derivada de la cosecante Ejemplos de derivadas trigonométricas REGLA DE LA CADENA Descripción algebraica[editar · editar fuente] En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en compuesta es diferenciable en , entonces la función y Notación de Leibniz Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como: donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable. Ejemplo algebraico Por ejemplo si función derivable de es una función derivable de entonces y si además es una función derivable con: es una o también Ejemplo 1 y queremos calcular: Por un lado tenemos: y si: entonces: Si definimos como función de función: resulta que: con el mismo resultado. Ejemplo 2 Tenemos la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría: , cuyas derivadas serían: Con la regla de la cadena, esto sería: Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas. Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir. Y luego se obtiene la derivada. FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL Estas funciones son del tipo: Para derivarla se puede utilizar esta fórmula: O bien tomamos logaritmos y derivamos: . . . . . Derivar tomando logaritmos: . . . . Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas I A. Calcula las derivadas de las funciones: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B. Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia: 1 2 3 4 5 6 7 C. Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz: 1 2 3 D. Deriva las funciones exponenciales 1 2 3 4 5 E. Calcula la derivada de las funciones logarítmicas: 1 2 3 4 5 Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas II A. Calcula la derivada de la funciones trigonométricas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B. Calcula la derivada de la funciones trigonométricas inversas: 1 2 3 4 5 C. Derivar por la regla de la cadena las funciones: 1 2 3 4 5 6 7 D. Deriva las funciones potenciales-exponenciales: 1 2 3 E. Hallar las derivadas sucesivas de: 1 2 3 4 F. Derivar implícitamente: 1 2 G. Calcular la diferencial de las siguientes funciones: 1 2 3 4