# PARTE I - Universidad Nacional del Callao.

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```UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
INSTITUTO DE INVESTIGACI&Oacute;N DE INGENIER&Iacute;A QU&Iacute;MICA
INFORME FINAL DE INVESTIGACI&Oacute;N
ELBORACI&Oacute;N DEL TEXTO: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE
AUTOR: Lic. FERNANDO HIPOLITO LAYZA BERM&Uacute;DEZ
(PERIODO DE EJECUCI&Oacute;N: Del 01 de junio de 2010 al 31 de mayo del 2012
Resoluci&oacute;n No. 704-2010-R)
MAYO DEL 2012
CALLAO – PER&Uacute;
i
INDICE
1.-RESUMEN................................................................................................................................1
2.-INTRODUCCION ....................................................................................................................2
2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACI&Oacute;N ................................................2
2.1.1.-OBJETIVO GENERAL ..............................................................................................2
2.1.2.-OBJETIVOS ESPEC&Iacute;FICOS ......................................................................................3
2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACI&Oacute;N ............................................................................3
2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA .............................................................................3
3.-MARCO TE&Oacute;RICO..................................................................................................................4
4.-MATERIALES Y M&Eacute;TODOS .................................................................................................5
4.1-UNIVERSO.........................................................................................................................5
4.2.-MATERIALES ..................................................................................................................6
4.3.-M&Eacute;TODO...........................................................................................................................6
6.-DISCUCIONES ........................................................................................................................7
7.-CONCLUSIONES ....................................................................................................................7
8.-REFERENCIALES ...................................................................................................................7
9.-AP&Eacute;NDICE ...............................................................................................................................9
i
1.-RESUMEN
La presente investigaci&oacute;n tuvo como prop&oacute;sito la elaboraci&oacute;n del texto:
ALGEBRA LINEAL CON MAPLE El texto (El cual Adjunto) se ha desarrollado de
acuerdo a los cap&iacute;tulos siguientes:
Cap&iacute;tulo I: Descripci&oacute;n del Software Maple que es un Software matem&aacute;tico muy importantes
que nos ayuda a resolver problemas complejos de Matem&aacute;tica, Ingenier&iacute;a etc.
Cap&iacute;tulo II: Espacios Vectoriales se estudia los comandos de Maple para analizar si un
conjunto de vectores es linealmente Independiente y a la vez generadores de un espacio
Vectorial. Por tanto as&iacute; obtenemos una base de un Espacio Vectorial.
Cap&iacute;tulo III: Transformaciones Lineales son aplicaciones de un Espacio Vectorial sobre otro
Espacio Vectorial. Son importantes en el estudio de los espacios vectoriales ya que preservan
las operaciones de adici&oacute;n y multiplicaci&oacute;n por un escalar.
Cap&iacute;tulo IV: Matrices y Determinantes. Se define de una matriz v&iacute;a Maple y &eacute;stas son
importantes en la resoluci&oacute;n sistemas de ecuaciones lineales.
Cap&iacute;tulo V: Producto y Ortogonalidad Con el comando orthog verificamos si la matriz A es
ortogonal o no
Cap&iacute;tulo VI: Valores y vectores propios que son importantes en el estudio de las matrices
diagonalizables y semejantes
Cap&iacute;tulo VI: Aplicaci&oacute;n del &Aacute;lgebra Lineal con Maples, se describe algunas aplicaciones
como: El C&aacute;lculo Diferencial Vectorial, Programaci&oacute;n Lineal etc.
Por tanto, con el desarrollo de los cap&iacute;tulos mencionados y el estudio del Software Maple se dio como
resultado la elaboraci&oacute;n del texto Algebra Lineal con Maple que servir&aacute; de apoyo a los estudiantes
universitarios en la formaci&oacute;n de su carrera profesional y a mis colegas profesores como texto de
consulta.
1
2.-INTRODUCCION
El &aacute;lgebra lineal tiene sus or&iacute;genes en el estudio de vectores en el plano cartesiano. Un
vector, aqu&iacute;, es un segmento de l&iacute;nea orientado, caracterizado por ambas longitudes y
magnitudes, as&iacute; como direcci&oacute;n. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar
como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de ESPACIO
VECTORIAL
Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como es el cuerpo de los n&uacute;meros reales o
en el campo de los n&uacute;meros complejos. Los operadores lineales tienen efecto en el espacio
lineal de otro (o en s&iacute; mismo), en una manera que es compatible con la suma o adici&oacute;n y la
multiplicaci&oacute;n escalar en uno o m&aacute;s espacios vectoriales. Si la base de un espacio vectorial
est&aacute; definida, cada transformaci&oacute;n est&aacute; definida, y cada transformaci&oacute;n lineal puede ser
propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y autovectores, se consideran parte del &Aacute;lgebra Lineal.
Del otro lado, el Software Maple y sus componentes se uso en la aplicaci&oacute;n de los ejemplos
de cada tema de &eacute;ste texto As&iacute; mismo, estos componentes de Maple nos ayudo a realizar
c&aacute;lculos y trabajos en menor tiempo del que nos tomar&iacute;a hacerlo de forma manual.
2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACI&Oacute;N
2.1.1.-OBJETIVO GENERAL
Elaborar un texto que permita el uso del Software Maple en la soluci&oacute;n de problemas de
Algebra Lineal.
2
2.1.2.-OBJETIVOS ESPEC&Iacute;FICOS

Desarrollar
los
conceptos
b&aacute;sicos
de
Espacios
Vectoriales,
Matrices
y
transformaciones Lineales.

Utilizar el Software Maple para realizar operaciones con matrices, calcular la inversa
de una matriz y obtener su determinante.

Resolver, mediante el uso de un Software Maple, problemas de aplicaci&oacute;n de sistemas
de ecuaciones lineales.

Utilizar el Software Maple para encontrar la matriz de transformaci&oacute;n y representar
un vector de una base a otra y realizar el proceso de Ortonormalizaci&oacute;n de GranSchmidt.

Desarrollar los conceptos de matrices semejantes y ortogonales.

Utilizar el Software Maple para solucionar problemas de Programaci&oacute;n Lineal.
2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACI&Oacute;N
Esta investigaci&oacute;n tiene un car&aacute;cter puramente practico, que nos permite
apreciar la
importancia del Software Maple en la soluci&oacute;n de problemas de del &Aacute;lgebra Lineal. As&iacute;
mismo, con el desarrollo de &eacute;ste texto podr&aacute;n ser beneficiados docentes, alumnos en el
proceso de ense&ntilde;anza
y aprendizaje, capacit&aacute;ndonos y por ende prepar&aacute;ndonos para
enfrentar los avances de nuevas tecnolog&iacute;as.
2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA
&iquest;C&oacute;mo elaborar un texto que aplicando Software Maple oriente a estudiantes y profesores e
investigadores a resolver problemas del Algebra Lineal?
3
2.4.-IMPORTANCIA Y JUSTIFICACI&Oacute;N DE LA INVESTIGACI&Oacute;N
El avance de la ciencia y la tecnolog&iacute;a hacen indispensable el uso de los programas
inform&aacute;ticos en la ense&ntilde;anza-aprendizaje y el uso de los medios virtuales. El presente trabajo
de investigaci&oacute;n titulado elaboraci&oacute;n del texto: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE pretende
dar paquetes b&aacute;sicos del Software Maple con la finalidad de resolver problemas del &Aacute;lgebra
Lineal tales como: Resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la inversa de una
Transformaci&oacute;n Lineal, generar un cambio de base a partir de vectores linealmente
independientes, diagonalizar una matriz, calcular los auto-valores y los auto-vectores, etc.
Se justifica por ser investigaci&oacute;n b&aacute;sica con valor te&oacute;rico- pr&aacute;ctico
3.-MARCO TE&Oacute;RICO
El SOFTWARE MAPLE es un sistema computacional probado que se ha creado
espec&iacute;ficamente para el uso educativo y profesional. Los varios programas matem&aacute;ticos
permiten aplicar las t&eacute;cnicas del an&aacute;lisis num&eacute;ricos y simb&oacute;licos que son muy r&aacute;pidos y
eficaces para la soluci&oacute;n de problema de gran complejidad.
Con los avances de la tecnolog&iacute;a, los cursos de matem&aacute;ticas en nuestras universidades
necesitan el apoyo computacional para la realizaci&oacute;n de c&aacute;lculos en diferentes
procedimientos, de tal forma que los docentes pueden profundizar m&aacute;s en los conceptos,
dejando al software matem&aacute;tico los c&aacute;lculos manuales largos y tediosos.
El SOFTWARE MAPLE es un Software Matem&aacute;tico, tiene configurado paquetes de
aplicaci&oacute;n a la Matem&aacute;tica, a la Estad&iacute;stica, a la F&iacute;sica, etc. En desarrollo de este texto se ha
usado los paquetes impotantes: El paquete linalg , el paquete LinearAlgebra .y el paquete
VectorCalculus
4
PAQUETE LINALG
Este paquete est&aacute; formado por un conjunto de procedimientos, entre los cuales se incluyen
alrededor de cien comandos que permiten realizar una gran diversidad de operaciones de
&Aacute;lgebra Lineal. Las caracter&iacute;sticas de este paquete son las siguientes:
Los arreglos son la estructura de datos b&aacute;sica. &Aacute;lgebra de matrices. &Aacute;lgebra Lineal abstracta.
Manejo limitado de matrices grandes con elementos num&eacute;ricos.
PAQUETE LINEAR ALGEBRA
Este paquete contiene un conjunto de funciones de &Aacute;lgebra Lineal, las cuales proporcionan
las mismas funcionalidades del paquete linalg (y a&uacute;n m&aacute;s). Entre sus caracter&iacute;sticas m&aacute;s
notables se encuentran: Estructuras de datos b&aacute;sicas; Comandos para tipos especiales de
matrices y vectores; &Aacute;lgebra de matrices mejorada. y Soporte m&aacute;s eficiente de matrices
num&eacute;ricas grandes.
PAQUETE VECTORCALCULUS
Igual que los paquetes anteriores este paquete de maple contiene un conjunto de Operadores
del C&aacute;lculo Vectorial como son: Producto cruz, producto escalar, Diferenciabilidad,
Integridad, Vector tangente, Vector Normal Principal Los vectores TNB,Matriz Jacobiana,
4.-MATERIALES Y M&Eacute;TODOS
4.1-UNIVERSO
Este texto se ha elaborado especialmente para los estudiantes de las diferentes universidades
y para aquellos investigadores que desean tomar &eacute;ste texto como consulta de la especialidad
5
4.2.-MATERIALES
Para la edici&oacute;n de este texto de usaron los siguientes materiales:
Material de oficina: Papel Bond A-4 , Lapiceros, Liquid-paper
Material bibliogr&aacute;fico: Libros de la especialidad en An&aacute;lisis Vectorial y &Aacute;lgebra Lineal.
Material hemerogr&aacute;fico: Revistas y gu&iacute;as cient&iacute;ficas.
Material de C&oacute;mputo: Google y el SOFTWARE MAPLE
4.3.-M&Eacute;TODO
La elaboraci&oacute;n del texto, prop&oacute;sito de la investigaci&oacute;n, le mando al suscrito ordenar
informaci&oacute;n compilada durante su vida profesional.
Para la elaboraci&oacute;n del se tuvo mucho cuidado en la construcci&oacute;n de los contenidos, se tuvo
que ordenar los cap&iacute;tulos de una manera l&oacute;gica secuencial que facilite al estudiante asimilar
la parte te&oacute;rica y pr&aacute;ctica.
En cada cap&iacute;tulo, del desarrollo de texto, se ha resuelto un conjuntos de ejercicios y
problemas con la finalidad que el estudiante observe que tan importante es el SOFTWARE
MAPLE que permite solucionar con rapidez diversos problemas del algebra Lineal y sus
aplicaciones.
El m&eacute;todo desarrollado en este texto es el m&eacute;todo puramente pr&aacute;ctico por lo que se usaron
comandos SOFTWARE MAPLE para solucionar problemas del &Aacute;lgebra Lineal.
El resultado de &eacute;ste texto ha sido preparado para apoyar a los alumnos universitarios en la
formaci&oacute;n de su carrera profesional o profesionales que deseen ampliar sus conocimientos
en el algebra lineal y sus aplicaciones
6
Con la experiencia en la docencia universitaria se ha logrado desarrollar un texto base, que
beneficiar&aacute; a todos los alumnos que inician por vez primera el curso de: &Aacute;lgebra Lineal y
An&aacute;lisis Vectorial, cuya modalidad es netamente pr&aacute;ctico; y adem&aacute;s servir&aacute; como gu&iacute;a de
consulta a mis colegas de la especialidad.
6.-DISCUCIONES
La teor&iacute;a desarrollada en &eacute;ste texto, responde a los conceptos b&aacute;sicos que deber&iacute;a tomar
conciencia en el estudiante universitario de la importancia y de la aplicaci&oacute;n del Software
Maple en la Matem&aacute;tica particularmente del &Aacute;lgebra Lineal. Adem&aacute;s, permite en el alumno,
desarrollar la capacidad imaginativa, creativa, y del an&aacute;lisis en la aplicaci&oacute;n de problemas de
la vida cotidiana.
En cada cap&iacute;tulo del texto se hace menci&oacute;n a la teor&iacute;a y luego se plantean ejemplos para usar
los comandos de maples y dar soluci&oacute;n r&aacute;pida e eficaz al problema planteado ya sea en forma
anal&iacute;tico y/o gr&aacute;fico.
7.-CONCLUSIONES
Se concluyo con la elaboraci&oacute;n del texto Titulado Algebra Lineal con Maple (el cual adjunto)
y servir&aacute; a los alumnos en la formaci&oacute;n de su carrera Profesional y a mis colegas que desean
usar como un texto de consulta.
8.-REFERENCIALES
1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico-1992
2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico-1992
7
3.-Colman, Bernard. &Aacute;lgebra Lineal con aplicaciones, M&eacute;xico: Prentice Hall. Sexta Edici&oacute;n
1999.
4.-P&eacute;rez L&oacute;pez C&eacute;sar: M&eacute;todos Matem&aacute;ticos y Programaci&oacute;n con Maple V. Editorial
5.-Poole.David
“Algebra Lineal, una introducci&oacute;n moderna”. Editorial Cengage. 2da.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico – 2006
6.-Bru. Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001
7.- Jerrold E, Marsden. “C&aacute;lculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edici&oacute;n.
Espa&ntilde;a-1991.
8.-Larges Lima Elon.” Geometr&iacute;a Anal&iacute;tica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
9.-HASSER LA SALLE. An&aacute;lisis Matem&aacute;tico II , Editorial Trillas, M&eacute;xico,1974
10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO
8
9.-AP&Eacute;NDICE
SILABO
INFORMACION GENERAL
1.1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA
1.2 PRE-REQUISITO
: ALGBRA LINEAL CON MAPLE
: NINGUNO
1.5 CR&Eacute;DITOS
: 04
HORAS TEOR&Iacute;A
: 03
HORAS PR&Aacute;CTICAS
: 2010-A
:V
: 03
1.6 DURACI&Ograve;N
: 17 SEMANAS
1.7 PROFESOR
: Lic. LAYZA BERMUDEZ, Fernando
- SUMILLA
En el curso, se tratar&aacute;n los siguientes temas: Matrices. Espacios Vectoriales. Calculo
vectorial, Curvas en el espacio. C&aacute;lculo Diferencial Vectorial Programaci&oacute;n Lineal: m&eacute;todo
simplex
OBJETIVOS
A.-GENERALES.
Al concluir la asignatura, el alumno estar&aacute; en condiciones de:
Aplicar los comandos de maple en el algebra lineal .
B.-ESPECIFICOS.
1.-Definir y graficar una matriz.
2.-Calcular una base para un espacio vectorial.
3.-Calcular el conjunto soluci&oacute;n de un sistema de ecuaciones.
4.-Definir y graficar una funci&oacute;n vectorial,
6.-Definir campos vectoriales.
CRITERIOS DE EVALUACION
La evaluaci&oacute;n del rendimiento de los alumnos es objetiva, en base a : cuatro pr&aacute;cticas
calificadas, un examen parcial, un examen final e intervenciones orales.
9
Si la nota final fuese desaprobatoria, rendir&aacute; un examen sustitutorio, el que ser&aacute; &uacute;nico y
abarcar&aacute; todo el curso y cuya nota reemplaza a la nota m&aacute;s baja de los ex&aacute;menes.
El sistema de evaluaci&oacute;n se realizar&aacute; de la siguiente forma:
Examen Parcial
:
A
Examen Final
B
(Peso 1)
Promedio
Final
del
C
(Peso 1)
(Peso 1)
Curso

A  B  C
3
NOTA:
El examen sustitutorio de teor&iacute;a comprende todo el curso y reemplaza la nota m&aacute;s baja de uno
de los ex&aacute;menes parciales.
La nota M&iacute;nima Aprobatoria: es 10.5 que es equivalente a 11(once).
METODOLOG&Iacute;A
El desarrollo de la asignatura se efectuar&aacute; sobre la base de los siguientes lineamientos
metodol&oacute;gicos.
Las clases ser&aacute;n te&oacute;rico pr&aacute;cticas, desarroll&aacute;ndose los temas de acuerdo al programa anal&iacute;tico
dise&ntilde;ado. El profesor, propiciar&aacute; y estimular&aacute; la participaci&oacute;n de los alumnos en clase.
El alumno deber&aacute; asistir a la clase obligatoriamente, estudiando los temas tratados y
repasando el tema que el profesor desarrollar&aacute;. Esto permitir&aacute; una mejor participaci&oacute;n del
alumno en clase.
Los profesores de la signatura, brindar&aacute;n horas de asesor&iacute;a en horarios predeterminados con
el fin de atender en forma personalizada, cualquier dificultad que el alumno pudiese
encontrar en el estudio de los distintos temas.
El profesor pondr&aacute; a disposici&oacute;n de los Estudiantes: Separatas y Gu&iacute;as de Pr&aacute;cticas; que
SEMANA N&deg; 1
Vector . Definici&oacute;n Matriz. Definici&oacute;n. Matrices Inversas . C&aacute;lculos de la Matriz Inversa.
SEMANA N&deg; 2
Autovalores y auto vectores, Definici&oacute;n. C&aacute;lculo
SEMANA N&deg; 3
Matrices semejantes . Matrices Diagonales . Matrices especiales.
10
SEMANA N&deg; 4
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Independencia Lineal. Bases y Cambio de bases
SEMANA N&deg; 5
Aplicaciones lineales .Formas cuadr&aacute;ticas. Sistema de Ecuaciones Algebraicas Lineales.
Definici&oacute;n. Resoluci&oacute;n.
SEMANA N&deg; 6
Calculo vectorial. Funciones Vectoriales de variable real. Definici&oacute;n. Operaciones L&iacute;mites,
SEMANA N&deg; 7
Integral de una funci&oacute;n vectorial. Primer y el segundo Teorema Fundamental del C&aacute;lculo
SEMANA N&deg; 8
Curvas en el espacio. Definici&oacute;n. Curva regular. Parametrizaci&oacute;n de una curva regular.
Longitud de arco
PRIMER EXAMEN PARCIAL
SEMANA N&deg; 9
Vectores unitarios. Vector Tangente. Vector Normal principal. Vector Binormal. La triada
m&oacute;vilSEMANA N&deg; 10
Planos Plano Osculador. Plano Normal y Plano Rectificante.
SEMANA N&deg; 11
C&aacute;lculo diferencial vectorial. Teoremas en varias variables. Calculo diferencial vectorial
SEMANA N&deg; 12
Regla de la cadena. Teorema de la funci&oacute;n impl&iacute;cita. Teorema de la funci&oacute;n Inversa
SEMANA N&deg; 13
Teorema de Cambio de Variable. Campos vectoriales. Rotacional Divergencia
SEMANA N&deg; 14
Gr&aacute;ficos en 3D.de curvas de R3. Gr&aacute;ficos de campos vectoriales.
SEMANA N&deg; 15
11
Programaci&oacute;n Lineal. Definici&oacute;n. Elementos. Optimizaci&oacute;n de funciones
SEMANA N&deg; 16
M&eacute;todo del Simplex. Definici&oacute;n ejemplos
EXAMEN FINAL
SEMANA N&deg; 17
EXAMEN SUSTITUTORIO
BIBLIOGRAFIA
1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico-1992
2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico-1992
3.-Colman, Bernard. &Aacute;lgebra Lineal con aplicaciones, M&eacute;xico: Prentice Hall. Sexta Edici&oacute;n
1999.
4.-Lopez P&eacute;rez C&eacute;sar. “M&eacute;todos Matem&aacute;ticos y Programaci&oacute;n con Maple V. Editorial
5.-Poole David.
“Algebra Lineal, una introducci&oacute;n moderna”. Editorial Cengage. 2da.
Edici&oacute;n. M&eacute;xico – 2006
6.-Bru.Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001
7.-Jerrold E, Marsden. “C&aacute;lculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edici&oacute;n.
Espa&ntilde;a-1991.
8.-Elon Larges Lima.” Geometr&iacute;a Anal&iacute;tica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
9.-HASSER LA SALLE. An&aacute;lisis Matem&aacute;tico II , Editorial Trillas, M&eacute;xico,1974
10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO
12
Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la funci&oacute;n vectorial
Curva en el
Plano
Curva en el
Espacio
Vector

 ( t )  ( x ( t ), y ( t ))

 ( t )  ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))


v (t)  
rapidez y
vector aceleraci&oacute;n
'
(t)

ds
  ' (t )
dt

v (t ) 
Rapidez


a (t )   '' (t )  aT T (t )  a N N (t )
Vector unitario
tangente y vector
unitario normal
principal


 ' (t )
T (t ) 
N (t ) 

 ' (t )
T ' (t )

T ' (t )


aT (t )  a (t )T (t ) 

v (t ). a (t )


v (t )
Componentes de la
aceleraci&oacute;n



v(t)
F&oacute;rmula para la
curvatura en el plano
d 2s
dt 2

v(t)x a(t)
aN(t)  a(t)N(t) 
K
2

ds
 a(t) aT2  K( )2
dt
y ''
y=f(x)
1  ( y ) 
K
' 2 3/ 2
x ' . y ''  y ' . x ''
( x )
' 2
 x  x (t )

 y  y (t )

' 2 3/ 2
 (y )
s es el
par&aacute;metro
longitud de
arco

''
K  T ( s)   ( s)
'
F&oacute;rmulas para la
curvatura en el plano o
en el espacio

T (t )

 ' (t )

 ' ( t ) x  '' ( t )
'
K 
Vector
aceleraci&oacute;n

3

 ' (t )
13
t es el
par&aacute;metro
general
d
(cu)  cu'
dx
d
(u  v)  u'v'
2.dx
d
(uv)  u'.v  u.v'
3.dx
d u
u' v  uv'
( )
4.dx v
v2
d
( x)  1
5.dx
d u
(e )  e u u'
6.du
d
(senu)  (cosu)u'
7.dx
d
(cosu)  (senu)u'
8.dx
d
(tagu)  sec2 u.u'
9.dx
d
(cotu)   cos c 2 u.u'
10.dx
d
(secu)  secu.tagu.u'
11.dx
d
(cosecu)   cosecu. cot ag.u'
12.dx
d
u'
(arcsenu) 
13.dx
1 u 2
1.-
d
u'
(arccosu) 
dx
1 u 2
d
u'
(arctagu) 
15dx
1 u 2
d
u'
(arc cot gu) 
16.dx
1 u 2
d
u'
(arc sec u) 
17.dx
u u 2 1
14.-
18.-
19.20.21.22.23.24.-
14
d
u'
(arccossec u) 
dx
u u 2 1
d
(senhu)  coshu.u'
dx
d
(coshu)  senhu.u'
dx
d
(taghu)  sec h 2 u.u'
dx
d
(cot aghu)   cosh2 u.u'
dx
d
(sechu)   sec hu.taghu.u'
dx
d
(coschu)   cos echu. cothu.u'
dx
PAQUETES DE MAPLE
15
16
```