NUMEROS NATURALES Los números naturales (N) son de 0 en adelante: 0,1,2,3,4…… NUMEROS ENTEROS Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…) El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado: El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5 El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa |3|. Ejemplo: |1| = 1 |-1| = 1 Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto. Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos: ... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 … OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS a) Suma: Si todos son números enteros positivos se suman igual que los números naturales. (+4) +(+ 5) + (+6) = 15 (*) Hemos puesto los números dentro de paréntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribiría: 4 + 5 + 6 = 15 Si todos son números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo. (- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16 Si hay números enteros positivos y negativos: (+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) Por un lado sumamos los números positivos: (+ 4) + (+2) = 6 Por otro lado sumamos los números negativos: (-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14 Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|. 14 – 6 = 8 El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (-14), luego: (+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8 b) Resta: (+4) – (+5) – (-6) La resta de números enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitución tenemos también que cambiar el signo del número que va restando: (5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5). (-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6). La operación queda como una suma: (+ 4) + (- 5) + (+ 6) Ahora procedemos igual que en la suma. Por un lado sumamos los números positivos: (+ 4) + (+ 6) = 10 Por otro lado sumamos los números negativos: (- 5) = - 5 Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|. 10 – 5 = 5 El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (10), luego: 4 – (5) – (-6) = 5 c) Sumas y restas: (+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) Aquellos números que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al número le cambiamos el signo: (+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9) Ahora procedemos igual que en la suma. Por un lado sumamos los números positivos: (+ 7) + (+ 5) = 12 Por otro lado sumamos los números negativos: (- 2) + (- 9) = - 11 Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|. 12 – 11 = 1 El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (12), luego: (+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1 Veamos otro ejemplo: (+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9) Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando: (+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9) Sumamos los números positivos: (+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18 Sumamos los números negativos: (- 2) Restamos los valores absolutos: |18| - |2| = 16 Como el minuendo es positivo el resultado es también positivo d) Multiplicación Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado: Si todos los factores son positivos el resultado es positivo. Si hay factores negativos hay que distinguir: Si el número de factores negativos es par elresultado es positivo. Si el número de factores negativos es impar elresultado es negativo. Veamos algunos ejemplos: ( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos) ( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar) (- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo) Veamos más ejemplos: (+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60 (+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60 (+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60 (- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60 e) División En la división se opera igual que en la multiplicación de números enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con números naturales, y a continuación hay que ver el signo del resultado: Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo. Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es negativo. Ejemplos: (+8) : (+4) = |8| x |4|= 2 (-8) : (-4) = |8| x |4|= 2 (+8) : (-4) = |8| x |4|= -2 (-8) : (+4) = |8| x |4|= -2 f) Potencia La base puede ser un número entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo. El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los números naturales, pero hay que prestar atención al signo: Si la base es positiva el resultado siempre es positivo. Si la base es negativa el signo depende del exponente: Si el exponente es un número par el resultado es positivo Si el exponente es un número impar el resultado es negativo. DESCOMPOSICIONES FACTORIALES