Lección 7: Números enteros y orden

LECCIÓN 7
El Sr. Martínez va a enmarcar
con canaleta de bronce un espejo cuadrado que tiene de área
1369 cm 2.
¿De qué largo es cada orilla
del espejo?
Lección 7:
Números
enteros y
orden
Recordemos un ejemplo que
vimos en la lección 2: Si
vamos
a la tienda con $20, podemos
gastar por ejemplo $5 y
nos quedan $15, si gastamos
$12 nos quedan $8, etc.:
mientras más gastamos
menos nos queda. Si gastamos
$20 no nos queda nada, si
gastamos $25 quedamos a
deber $5, si gastamos $27
quedamos a deber $7 y cada vez nos queda menos.
Si seguimos gastando nos
tendremos que conseguir
otro trabajo.
En matemáticas se inventaron los números negativos para
poder escribir este tipo
77
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
de situaciones en las que “quedamos a deber” y lo
que describimos es lo que nos queda: una deuda. Escribimos
las deudas del ejemplo como
–5 y –7; estos números se leen “menos cinco” y “menos siete”
o bien “cinco negativo” y “siete negativo”. Para que esta
representación sirva, debe reflejar toda la situación de
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
nuestro ejemplo, entonces debe reflejar que “mientras más
gastamos, menos tenemos”: cada peso más que gastemos
debemos quedar más lejos de los $20 que teníamos.
Por cada número natural vamos a tener su correspondiente
número negativo y los vamos a representar en la recta
numérica “a espejo” de los naturales, del otro lado del cero,
como si pusiéramos un espejo en el cero, empezamos con –1,
–2, –3, ... y nos vamos alejando del cero.
Los números naturales y sus correspondientes negativos se
llaman números enteros. En la recta numérica los números
son más grandes mientras más a la derecha están, por ejemplo
11 es mayor que 7, 4 es mayor que 0, cero y todos los positivos
son mayores que los negativos, –1 es mayor que –8, –4 es mayor
-384 -383 -382 -381 -380 -379 -378 -377 -376 ...
376 377 378 379 380 381 382 383 384
que –5, etc. Observe que también el orden nos queda “a espejo”:
tenemos que 7 es mayor que 3 y que –3 es mayor que –7.
Para saber cuál es mayor entre dos números negativos, por
ejemplo –376 y –384, nos fijamos en sus correspondientes
positivos, 376 y 384. Como 384 es mayor que 374, en los
negativos nos va a quedar al revés, a espejo: es decir, –376
es mayor que –384. Observe que en la recta numérica
–376 queda a la derecha de –384:
78
LECCIÓN 7
Veamos ahora como representar con símbolos la expresión
“–376 es mayor que –384”. Como usted sabe, que el signo =
significa “igual que”, por eso escribimos 6 = 2 ´ 3. De un
modo similar podemos reemplazar por signos las expresiones
“mayor que” y “menor que”.
Por ejemplo en lugar de la expresión “26 es mayor que 15”,
podemos escribir 26 > 15 y en lugar de “26 es menor que 36”,
podemos escribir 26 < 36.
Veamos en algunos ejemplos como se leen estos símbolos:
Se escribe
Se lee
5
<
23
5 es menor que 23
0
<
17
0 es menor que 17
–6
<
2
–6 es menor que 2
–32
<
0
–32 es menor que 0
–9
<
–5
–9 es menor que –5
13
>
7
13 es mayor que 7
1
>
0
1 es mayor que 0
8
>
–21
8 es mayor que –21
0
>
–1
0 es mayor que –1
–376
>
–384
–376 es mayor que –384
Los números negativos se usan en muchas situaciones
cotidianas. Usted seguramente habrá oído expresiones
como 3 grados centígrados bajo cero cuando se habla de
temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se
habla del tiro de una mina, o números rojos cuando se habla
de contabilidad. Todas esas expresiones hacen referencia
a números negativos.
79
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Un número natural y su correspondiente negativo son simétricos
con respecto al cero: están a la misma distancia del cero.
A esa distancia le llamamos valor absoluto del número y la
representamos poniendo el número entre barras. Por ejemplo:
|–384| = 384 y |384| = 384.
Estas expresiones se leen: “el valor absoluto de menos 384
es 384” y “el valor absoluto de 384 es 384”. Observe que el
valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia.
En la siguiente recta se representa el valor absoluto de –3 y
el valor absoluto de 3:
|–3|=3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
|3|=3
En cada inciso ordene los números de menor a mayor y escriba
entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:
a) 2, 1, 4, –1, –8, –2
b) 63, 47, 89, –83, –85, –64
c) 286, 884, –572, –433
d) 7525, 2996, 6477, –6214, –8357, –3234
80
LECCIÓN 7
En cada inciso ordene los números de mayor a menor y escriba
entre ellos el símbolo > o el símbolo <, según corresponda:
a) 40, –32, 28, –15, 77, 0
b) 3, 5, –9, –2, 7, 18
c) 3241, –5008, 2116, 999, –876
d) 18, –59, –23, 132, –6, –220
Encuentre el valor absoluto de los siguientes números:
a) 186
b) –30
c) 60
d) –724
e) 320
f) –109
Encuentre todos los números enteros que son:
a) mayores o iguales que 23 y menores que 32
b) mayores que 0 y menores o iguales que 13
c) mayores que –2 y menores que 3
d) mayores que –7 y menores que –1
Encuentre un número:
a) tres unidades mayor que 12
b) tres unidades mayor que –12
81
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
c) dos decenas menor que 34
d) dos decenas menor que –34
e) una centena mayor que 125
f) una centena mayor que –125
g) una centena menor que 50
h) una centena mayor que –50
En rectas numéricas represente
a) los números 0, 10, –10, 20, –20, 30 y –30
b) los números –27, –28, –29, –30, –31
c) los números 0, –1, –2, –3, –4, 1, 2, 3, 4
Conteste las siguientes preguntas y
exprese la situación con símbolos:
a) El lunes, Doña Petra debía en
la tienda de la esquina $45.
El viernes siguiente debía
$34. ¿Mejoró o empeoró su
situación?
b) En Chihuahua, el día 17 de
enero estaban a 5º bajo
cero, y el 20 estaban a 7º
bajo cero. ¿Qué día fue más
alta la temperatura?
c) El buzo A baja a 70 metros
82
LECCIÓN 8
bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros
bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca
de la superficie?
d) El saldo de la empresa “Caluro, S.A.” es de $12 807 en
números rojos, y el de la empresa “Forzo, S.A.” es de
$6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos está en
mejor situación?
Lección 8: Suma y resta
de en teros
Con los números enteros también se hacen operaciones.
En este curso veremos sólo la suma y la resta con enteros, y
en el próximo curso se verán las otras operaciones. Aquí ya
vimos la suma de números positivos y la resta de números
positivos cuando el sustraendo es menor que el minuendo.
Ahora vamos a ver suma y resta de negativos y de negativos
con positivos; y también la resta de números positivos cuando
el sustraendo es mayor que el minuendo. Trabajaremos en
primer lugar con esta última.
Resta de enteros positivos con el
sustraendo mayor que el minuendo
Recuerde que nos interesaron los números negativos porque
permiten expresar situaciones como “si tengo $20 y me gasto
$27, quedo a deber $7”. Si queremos expresar esta situación
con una operación, tendremos una resta en la que el
sustraendo es mayor que el minuendo: 20 – 27 = –7.
En general, si queremos restar un número mayor de uno
83