aplicación de la derivada

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
Ingeniería Comercial
Matemática II
Clase Nº
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA ECONOMÍA
En economía la variación de una cantidad con respecto a otra puede describirse a través de los
conceptos de media o marginal.
El concepto de media de media expresa la variación de una cantidad sobre un conjunto
específico de valores de una segunda cantidad, en tanto el concepto de marginal es la variación
instantánea en la primera cantidad que resulta de una variación en unidades muy pequeñas en la
segunda cantidad.
Así, el costo medio de la producción de cada unidad de un cierto producto, se obtiene
dividiéndose el costo total “C(x) por un número “x” de unidades producidas. Siendo “ Q(x)” el costo
medio se tiene:
𝑄(𝑥) =
𝐶(𝑥)
;
𝑥
donde Q es llamada función de costo medio; siendo C(x), el costo
total de producción de “x” unidades de un producto, entonces el costo marginal, esta dado por C´(x)
que es la derivada del costo total.
El coste marginal es un concepto englobado en el análisis marginal, que es un área de la
economía en la cual se estima el efecto producido en el coste cuando el nivel de producción de un
cierto artículo determinado, el coste de producir la (x0 + 1) unidad es C(x0 + 1) – C(x0)
Por otro lado, matemáticamente la derivada de una función de coste es:
lim
∆𝑥→𝑥
𝐶(𝑥+∆𝑥)−𝐶(𝑥)
,
∆𝑥
𝑑𝐶(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝐶 ′ (𝑥) =
esta relación nos expresa que, en el nivel de producción x = x0, el coste de producir
una unidad adicional (coste marginal) es aproximadamente igual a la derivada en ese punto de la
función coste C´(x0). De este modo se relaciona la derivada (concepto matemático) con el concepto
de coste marginal (concepto económico). Esto, entre otras, es lo que se considera como
interpretación económica de la derivada.
A medida que aumenta la producción se incrementa el costo total,
como lo indica el gráfico
Generalizando para cualquier función, se obtiene las siguientes relaciones:
De la función C(x), la función de Coste marginal C´(x)
De la función de ingreso I(x), la función de ingreso marginal I´(x)
De la función de beneficio B(x), la función de beneficio marginal B´(x)
De la función de utilidad U(x), la función de utilidad marginal U´(x)
María Teresa Szostak
A medida que se eleva la producción, el Costo
Promedio unitario primero decrece y después crece,
mientras que el Costo Marginal o Tasa de Aumento del
Costo Total siempre es creciente, como lo indica el
gráfico.
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Si C(x) es el costo total de la producción de “x” unidades de un producto y Q(x) es el costo
medio de la producción de cada unidad, entonces la elasticidad de costo está dada por la función K,
tal que : 𝑘(𝑥) =
𝐶´(𝑥)
𝑄(𝑥)
si este cociente fuese menor que 1, entonces el costo de la producción de la
siguiente unidad será menor que el costo medio de las unidades ya producidas.
Ejemplo Nº 1
Sea C(x) el costo total de la fabricación de “x” focos, y 𝐶(𝑥) = 110 + 4𝑥 + 0,02𝑥 2 .
Determina: a) la función costo marginal
b) el costo marginal cuando x = 50
c) el
costo real de fabricación del quincuagésimo primer foco.
De la función C(x) se halla su derivada
𝐶´(𝑥) = 4 + 0,04𝑥 que es la función del costo marginal (a)
Cuando x = 50 tenemos
𝐶´(50) = 4 + 0,04.50 = 6 esto nos indica que la intensidad de
cambio del costo total, al fabricarse 50 focos es de 6 unidades monetarias. (b)
El costo real de fabricación del quincuagésimo primer foco se obtiene cuando x = 50 ; x
= 51 en la función total, la diferencia entre estos dos focos es lo que nos dará, será el
costo real del foco pedido.
𝐶(𝑥) = 𝐶(51) − 𝐶(50) = 110 + 4(51) + 0,02(512 ) − 110 + 4(50) + 0,02(502 ) = 6,02
entonces
el
costo real de fabricación del quincuagésimo primer foco es 6, 02 unidades monetarias.
Ejercicios propuestos
1) La función de 𝐶(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥 + 8, representa el costo total de la producción de “x”
unidades de un producto. Se pide hallar las siguientes funciones: a)el costo medio, b) costo
marginal
c) hacer las gráficas de las curvas de costo total, marginal y medio en el mismo
sistema de ejes.
2) El costo total de la producción de “x” cintos de cuero está dad por la función 𝐶(𝑥) = 50 +
𝑥2
8𝑥 − 100, halla el costo medio y el marginal, así como la elasticidad de costo cuando x = 60 e
interpreta el resultado.
3) Sea 𝑅(𝑥) = 300𝑥 −
TV color. Halla:
𝑥2
2
la función que representa el ingreso total recibido de la venta de “x”
a) la función ingreso marginal
b) el ingreso marginal cuando x = 40
c)
el ingreso efectivo del cuadragésimo primer TV.
4) La ecuación de demanda para un determinado producto es 5𝑥 + 3𝑝 = 15. Halla: a) la
funciones de ingreso total y marginal
b) hacer las gráficas de demanda, ingreso total e
ingreso marginal en el mismo sistema de ejes.
5) La función del ingreso total obtenido de la venta de “x” relojes es 𝐼(𝑥) = 100𝑥 − 1/6𝑥 2
b) el ingreso marginal cuando x = 15
c) el
ingreso efectivo o real de la venta de la unidad 16.
6) Sea 𝐶(𝑥) = 4𝑥 3/2 + 20𝑥 + 100 el costo total de producción de “x” unidades de una cierta
mercancía. Obtener: a) el costo marginal cuando se producen 25 unidades b) el número de
unidades producidas cuando el costo marginal es 48 unidades monetarias
c) calcula la
elasticidad de costo cuando x = 100 y da la interpretación económica del resultado.
María Teresa Szostak
obtener: a) la función del ingreso marginal
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