Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica y práctica.

Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
Enfoque práctico
Lic Dylana Freer Paniagua. MBA
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Índice
 Propósitos y motivación.
 Ecuación diferencial. Conceptos básicos.
 Áreas de aplicación:
• Enfriamiento y calentamiento de cuerpos.
• Circuitos eléctricos.
• Ecuación logística.
• Deflexión de una viga
 Reflexiones finales.
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Propósitos del Webinar
Los participantes podrán:
 Conocer algunos tipos de ecuaciones
diferenciales.
 Conocer aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales en física e ingeniería.
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Agenda
 Motivación
 Definiciones básicas sobre ecuaciones
diferenciales
 Áreas de aplicación
 Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales
 Cierre
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Motivación
 ¿Para qué sirve la matemática?
 ¿Por qué debemos llevar este curso?
 “La matemática es el alfabeto con el que Dios
ha escrito el Universo” Galileo Galilei
(Novixar, 2009)
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Ecuación diferencial
 Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación
que contiene las derivadas de una o más
función(es) dependiente(s) de una o más
variables independientes. (Zill & Wright, 2012)
 Ejemplos
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Condiciones iniciales
 Cuando una ecuación diferencial tiene infinitas
soluciones, se puede especificar una solución
concreta imponiendo una condición inicial. Esto
es, que la solución cumpla una condición y(x0)=y0
para ciertos valores específicos x0 y y0. (Rogawski,
2012)
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Ecuación lineal
 Una ecuación diferencial lineal es la que se
puede expresar de tal forma que la función y(x) y
sus derivadas aparezcan de grado 1 y los
coeficientes de estos términos sean función
solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)
 Una ecuación diferencial lineal de orden n se
expresa de la forma:
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Áreas de aplicación de las
ecuaciones diferenciales
 Fenómenos físicos: enfriamiento-calentamiento
de cuerpos, caída libre de objetos.
 Crecimiento poblacional.
 Análisis de circuitos.
 Soluciones químicas.
 Vibraciones y oscilaciones.
 Pandeo de vigas.
 Deflexión de columnas.
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Ejemplos concretos
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Enfriamiento y calentamiento
de cuerpos
 Ley de Newton
La velocidad con que la temperatura de un
cuerpo cambia es proporcional a la diferencia
que hay entre la temperatura del cuerpo y la del
medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012)
T: temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio
t: tiempo
k: constante de proporcionalidad
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Solución de la ecuación
Los valores de c y k se pueden hallar a
partir de las condiciones iniciales del
problema que se va a resolver.
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Aplicaciones de esta ley
 Tratamientos
materiales
térmicos
en
metales
 Modelos climáticos
 Diseño de electrodomésticos y máquinas
 Diseño de aislantes térmicos
y
otros
Circuitos eléctricos
Elementos que conforman un
circuito
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Leyes de Kirchhorff
 El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado
debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje
en el lazo.
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Aplicaciones de las ecuaciones
en circuitos
 Determinar la corriente en un circuito.
 Determinar, a nivel industrial, el consumo de las
máquinas.
 Seleccionar equipos de protección eléctrica
(breaker).
 Determinar el diámetro ideal de los conductores
de corriente.
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Ejemplo particular
 Encontrar una ecuación de la corriente en función del
tiempo si la corriente inicial está representada por I0 y
se aplica un fem constante E0. Considere un circuito
solamente con resistor e inductor.
 Solución:
Ecuación:
Condiciones iniciales: i(0)= I 0
Solución de la ecuación lineal:
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La ecuación logística
 Utilizada
para
poblaciones
que
crecen
exponencialmente
bajo
ciertas
condiciones
ambientales.
 k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante
de capacidad de carga.
La solución de dicha ecuación se puede expresar de la
forma:
(Rogawski, 2012)
Ejemplo Propagación de
un rumor
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Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la
fracción de la población estudiantil que ha escuchado un
rumor en el tiempo t.
Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es
proporcional al producto de la fracción y de la población que
conoce el rumor por la fracción que todavía no lo ha
escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y
al mediodía la mitad de la escuela ya lo sabe.
Determine cuándo el 90% de los estudiantes ya conocerá el
rumor.
Solución
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 La ecuación que modela la propagación del rumor es
 Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Además, y= 0,5 si
t=4.
 De ahí, que al resolver la ecuación, se obtiene
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 Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se
obtiene:
 Siendo
y
se obtiene que el tiempo es
aproximadamente 8 horas.
 Así que a eso de las 4 de la tarde se conocerá el rumor por
parte del 90% de los estudiantes.
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Aplicación de la ecuación
logística
 Biología
 Propagación de un rumor
 Propagación de una enfermedad
 Crecimiento poblacional
(Moaveni, 2008)
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Deflexión de una viga
Una viga es un elemento estructural que soporta
cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del
elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek,
2013)
(Moaveni, 2008)
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Ecuación diferencial
 La deflexión se rige por una ecuación diferencial
de cuarto orden:
 Donde E es el módulo de Young de elasticidad
de la viga.
 I es el momento de inercia de un corte
transversal de la viga.
(Zill & Wright, 2012)
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Ejemplo
 Considerando una viga embebida en ambos
extremos y que se le distribuye una carga
constante de manera uniforme a todo lo largo
de la viga. La curva de deflexión se deduce a
partir de
 Integrando la ecuación se obtiene
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Continuación
 Aplicando las condiciones iniciales
 Se despejan las constantes c i , obteniéndose finalmente
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Representación
 Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de
longitud y
, una representación gráfica de la
deflexión de la viga es
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Usos
 Cálculo de punto máximo de deflexión
 Aplicación en diseño de estructuras
 Ubicación de puntos estratégicos donde colocar
aros
 Optimización de materiales
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Reflexiones finales
 La matemática se utiliza en gran cantidad de modelos.
 En lo cotidiano se presenta con frecuencia.
 Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las
matemáticas.
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Bibliografía
 Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecánica de
Materiales (Sexta edición ed.). México: McGraw-Hill Education.
 Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with
ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education.
 Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from
http://www.proverbia.net/citasautores.asp
 Rogawski, J. (2012). Cálculo: una variable (Segunda edición ed.). España:
Reverté.
 Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teoría, técnica
y práctica. México: McGraw-Hill Education.
 Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
(Cuarta edición ed.). México, Distrito Federal: McGraw-Hill.
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Información de contacto
Dylana Freer Paniagua
Profesora y coordinadora en la Universidad Latina,
Heredia.
 Correo electrónico
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¡Muchas gracias!