Postulados del Electromagnetismo

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
PROBLEMAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS. CURSO 2010-11
2. Postulados del Electromagnetismo
1 En una esfera de radio a se tiene una distribución
de carga con gradiente nulo en su centro y que disminuye
según una dependencia cuadrática con la distancia al centro, r, hasta hacerse nula en la superficie. Si la carga total
es q0 , hállese la densidad en cualquier punto. ¿Qué densidad uniforme en toda la esfera tendrı́a la misma carga?
3q0
r2
15q0
.
1− 2 .
ρ0 =
Solución: ρ(r) =
3
8πa
a
4πa3
distribución de carga entre ambos electrodos en función de
la distancia x al electrodo emisor. Tómense como datos la
carga e y la masa m del electrón.
Solución: x(t) = v0 t +
eE0 t2
;
2m
j0
.
ρ(x) = 2
v0 + 2eE0 x/m
6 En 1897 J.J. Thomson descubrió el electrón midiendo
la razón carga-masa de los rayos catódicos”(flujo de electrones) del siguiente modo:
a) Hizo pasar el haz de electrones a través de una región
yB
perpendiculares entre sı́ y respecto de
con campos E
la dirección del haz, y ajustó el campo eléctrico hasta conseguir una deflexión nula. ¿Cuál es en tales condiciones la
velocidad de las partı́culas?
b) Posteriormente desconectó la fuente que originaba el
campo eléctrico y midió el radio de curvatura, R, del haz,
desviado ahora únicamente por el campo magnético. En
función de E, B y R, ¿cuál es la razón q/m de las partı́culas?
2 En una corona circular de radios a y a + d se tiene
una distribución uniforme de carga con densidad superficial ρS0 . Si d << a, podemos aproximar la corona por un
hilo circular de radio a. ¿Qué densidad lineal hay que asignarle? Discútase la descomposición de un plano infinito de
carga uniforme en anillos elementales de carga.
Solución: λ = ρS0 d. dλ = ρS0 dr.
3 Un tocadiscos de radio R adquiere “electricidad
estática” descrita por una densidad de carga uniforme ρS0 .
Si gira con velocidad angular ω, ¿cuál es la distribución su2
perficial de corriente?. ¿Qué intensidad atraviesa un radio Solución: a) v = E/B; b) q/m = E/(B R).
cualquiera del disco?.
7 Se han hecho medidas de la distribución de la carga
I = ρS0 ωR2 /2.
Solución: jS = ρS0 ωruφ .
en la atmósfera que muestran que dicha carga se extiende
hasta una altura h 2 Km del suelo, y que varı́a de una
4 Una carga q se distribuye uniformemente en el volu- forma aproximadamente lineal. Teniendo en cuenta que
men de una esfera de radio a. La esfera rota con velocidad el suelo puede considerarse conductor (y por tanto con
angular uniforme w alrededor de un diámetro.
campo nulo en su interior) y que el campo eléctrico en su
a) Calcúlese la densidad de corriente j en todo punto de proximidad, E , es de unos 100 N/C y está dirigido hacia
S
la esfera.
abajo, obténganse las distribuciones de carga existentes
b) Encuéntrese la carga total que por unidad de tiempo en el suelo y en la atmósfera, si admitimos que el sistema
atraviesa un semicı́rculo de radio a, fijo en el espacio, cuyo completo debe ser neutro. Discútase si es lı́cito omitir el
diámetro se apoya en el eje de rotación.
efecto de la curvatura de la Tierra, sabiendo que su radio
c) Repı́tase el cálculo anterior, considerando ahora que la es R 6300 Km.
T
carga se distribuye únicamente en la superficie de la esfera
2
−10
C/m ;
(ahora hay que calcular la densidad de corriente superficial Solución: ρS = −8,85 · 10
−16
ρ(z) = 4,425 · 10 (2000 − z), medido todo en el S.I.
jS ).
3qωrsenθ
qw
qw
8 Una espira rectangular de masa m cuelga verticalSolución: a) j =
; c) I =
.
uφ ; b) I =
4πa3
2π
2π
mente con su lado superior, de longitud a, dentro de una
5 En un diodo de vacı́o, al establecer un campo eléctri- región donde hay un campo magnético B0 uniforme, horico E0 entre sus electrodos, los electrones son arrancados zontal y formando un ángulo α con dicho lado. Calcular el
del electrodo negativo con velocidad inicial v0 . Obténgase módulo y especificar el sentido de la intensidad I que ha
la posición de un electrón individual en función del tiem- de circular por la espira para que la fuerza ejercida por el
po transcurrido desde su emisión. Suponiendo conocida la campo magnético compense la fuerza gravitatoria.
corriente estacionaria que se establece, j0 , encuéntrese la Solución: I = mg/(aB0 senα).
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