Unidad I:Progresiones.

Progresiones
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
PROGRESIONES
UNIDAD I
I.1 SUCESIÓN Y SERIE
Una sucesión es una lista de números que siguen una regla determinada:
{ an } = { a1 , a2 , a3 , ⋅ ⋅ ⋅ ai , ⋅ ⋅⋅, an }
Formalmente, las sucesiones se definen como un tipo especial de función de
números naturales N:
n cuyo dominio es el conjunto de
{ an } : N → R
Ejemplos de sucesiones:
{ an } = { 5, 10, 15, 20, 25, ⋅ ⋅ ⋅ }
2) { a n } = { 0.20, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, ⋅ ⋅ ⋅ }
3) { an } = { 1, 2, 4, 8, 16, ⋅ ⋅ ⋅ }
4) { an } = { 3, − 3, 3, − 3, 3, ⋅ ⋅ ⋅ }
1)
El término i-ésimo
ai de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del número
en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término
término
(a1 )
(a2 ) es 10, el tercer término (a3 ) , es 10. El término enésimo o general es a n .
es 5, el segundo
Ejemplo.
3
5
1
, 1, , 2, , ⋅ ⋅ ⋅
2
2
 2
En la sucesión: { a n } = 

 n 
 , el término enésimo o general es: an =   .

 2 
Para conocer los términos de una sucesión, se sustituye el valor de n desde 1 hasta el valor que se desee.
Una sucesión es infinita cuando tiene un número infinito de términos.
Ejemplo: { an } = { 1, 6, 11, 16, 21, ⋅ ⋅ ⋅ }
Una sucesión es finita cuando tiene un número determinado de términos.
Ejemplo: { an } = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 }
Una sucesión que se aproxima cada vez más a un cierto número, se llama convergente.
Ejemplo:
{ an } =  1, 1 , 1 , 1 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ 

2 3 4 5

(se acerca a cero)
Una sucesión que no tiene límite es divergente.
Ejemplo: { an } = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, ⋅ ⋅ ⋅ }
(no se acerca a ningún número)
1
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Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior.
Ejemplo: { an } = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ⋅ ⋅ ⋅ }
•
Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
Ejemplo: { an } = { 1, − 1, − 3, − 5, − 7, ⋅ ⋅ ⋅ }
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Ejemplos:
Monótona creciente: { an } = { 8, 16, 24, 32, 40, ⋅ ⋅ ⋅ }
Monótona decreciente:
{ an } = {
25 , 3 25 , 4 25 , 5 25 , 6 25 , ⋅ ⋅ ⋅
}
Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. La suma puede ser finita o infinita. Los
elementos de las series pueden ser números, letras o una combinación de ambas. Una serie puede
representarse de dos formas:
•
•
Enlistando los elementos con los signos entre los elementos.
Usando la llamada notación sigma Σ , que implica la sumatoria de todos los elementos, con sólo el
término general y el rango de la suma indicada.
( )
Ejemplo.
Las siguientes expresiones representan la misma serie:
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10
10
sn = ∑ (− 1)
n +1
n
n =1
Se define como serie infinita a la suma de los términos de la sucesión:
∞
sn = ∑ an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ai + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅
n =1
en términos prácticos, se denota como
Una serie finita se define como: sn =
sn = ∑ a n .
i
∑a
n =1
n
= a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ai
Ejemplos.
1 1

, ,⋅ ⋅ ⋅ 
 2 4 8 16 32

1 1 1 1
1
1
sn = ∑ an = + + +
+
+ ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅
2 4 8 16 32
2
1) Dada la sucesión infinita:
2) Dada la sucesión finita:
{ an } =  1 , 1 , 1 ,
an = { − 15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15, 20 }
8
sn = ∑ a n = (− 15) + (− 10 ) + (− 5) + 0 + 5 + 10 + 15 + 20
n =1
Toda secuencia ordenada de números reales recibió el nombre de sucesión. Dentro del grupo de
sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite
sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y las geométricas.
2
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I.2 PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS
Progresión aritmética es toda sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene
sumándole al término anterior una constante llamada razón o diferencia.
Se denotan por PA y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.
Ejemplos.
1) PA =
{ 1, 4, 7, 10, 13, 16, ⋅ ⋅ ⋅ }
es una progresión aritmética cuya razón es
3 ya que 4 − 1 = 3 ,
7 − 4 = 3 , 10 − 7 = 3 , etc.
PA = { 9, 5, 1, − 3, − 7 , − 11, ⋅ ⋅ ⋅ } es una progresión aritmética cuya razón es − 4 ya que 5 − 9 = −4 ,
1 − 5 = −4 , − 3 − 1 = −4 , etc.
2)
Una progresión aritmética es creciente cuando su razón es positiva.
Ejemplo.
1 2 3 4 5
PA =  , , , , ⋅ ⋅ ⋅
3 3 3 3 3
1

 , es creciente porque su razón es .
3

Una progresión aritmética es decreciente cuando su razón es negativa.
Ejemplo.
PA = { 25, 20, 15, 10, 5, 0, − 5 ⋅ ⋅ ⋅ } , es decreciente ya que su razón es − 5 .
I.2.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO
Sea la siguiente progresión:
PA = { a , b , c , d , e , L , u
en la que
}
u es el término enésimo y cuya razón es r .
Por definición, en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón, por lo tanto:
b=a+r
c = b + r = (a + r ) + r = a + 2r
d = c + r = (a + 2r ) + r = a + 3r
e = d + r = (a + 3r ) + r = a + 4r , y así sucesivamente.
Se puede apreciar que cada término es igual al primero de la progresión a más tantas veces la razón
como términos le preceden. Con base a este razonamiento, ésta ley se cumple para todos los términos,
y, se tendrá que u será igual al primer término a más tantas veces como la razón como términos le
preceden. Al ser u el término enésimo, le preceden n − 1 términos, por lo tanto:
u = a + (n − 1)r
Ejemplos.
1) Hallar el noveno término de
PA = { 7 , 10, 13, L }
3
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Solución.
r = 10 − 7 = 3
n=9
a=7
∴ u = 7 + (9 − 1)3 = 7 + 24 = 31
2) Hallar el doceavo término de
Solución.
PA = { 11, 6, 1, L }
r = 6 − 11 = −5
n = 12
a = 11
∴ u = 11 + (12 − 1)(− 5) = 11 − 55 = −44
 2 1

, L
7 8

3) Hallar el quinceavo término de PA = 
Solución.
1 2 7 − 16
9
− =
=−
8 7
56
56
n = 15
2
a=
7
2
16 − 126
110
55
 9  2 126
∴ u = + (15 − 1) −  = −
=−
=−
=−
7
56
56
28
 56  7 56
r=
I.2.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS
De la fórmula
u = a + (n − 1)r , se despejan a , r y n . Esto es:
a = u − (n − 1)r
u−a
Razón: r =
n −1
u−a
u−a+r
Número de términos: n =
+1 ó n =
r
r
Primer término:
Ejemplos.
1) El quinceavo término de una progresión aritmética es
20 y la razón
2
. Hallar el primer término.
7
Solución.
2
a = 20 − (15 − 1) = 20 − 4 = 16
7
2) Hallar la razón de la progresión
Solución.
r=
PA = { − 1, L , − 4 }, donde − 4 es el décimo término.
− 4 − (− 1) − 4 + 1
3
1
=− =−
=
10 − 1
9
9
3
4
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3) Cuántos términos tiene la progresión
Solución.
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PA = { 4, 6, L , 30 }
r = 6−4 = 2
30 − 4 + 2 28
n=
=
= 14 términos.
2
2
I.2.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES
{
}
Sea la progresión PA = a , L m , L , p , L u de razón r. Si entre a y m hay n términos y entre p y
u también hay n términos, entonces m y p son términos equidistantes de los extremos.
n términos entre a y m , se tiene que: m = a + (n + 1)r _ (1)
ya que al término m le preceden (n + 1) términos contando al término a .
De la misma forma, si hay n términos entre p y u , se tiene que: u = p + (n + 1)r
Restando (2) de (1), se tiene: m − u = a − p , o bien m + p = a + u
Si hay
_ (2) .
Esto demuestra que en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes es igual a la
suma de los extremos.
Cuando el número de términos de una PA es impar, el término medio equidista de los extremos y por
tanto, el doble de este término es igual a la suma de los extremos.
I.2.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sea la progresión PA =
términos se tiene que:
{ a , b , c , L, l , m, u } ,
que consta de
n términos. Si S es la suma de los
S = a + b + c + L + l + m + u _ (1)
o bien que:
S = u + m + l + L + c + b + a _ (2)
Sumando (1) y (2) se tiene que:
2S = (a + u ) + (b + m) + (c + l ) + L + (l + c ) + (m + b ) + (u + a )
Pero se sabe que todos los términos son iguales a (a + u ) por ser términos equidistantes. Esto implica
que:
2S = (a + u ) + (a + u ) + (a + u ) + L + (a + u ) , pero como la progresión tiene n términos:
2S = (a + u )n
despejando S se obtiene la suma de los términos de una progresión aritmética:
S=
Ejemplos.
1) Hallar la suma de los 19 primeros términos de
Solución.
(a + u )n
2
PA = { 31, 38, 45, L }
r = 38 − 31 = 7
u = 31 + (19 − 1)7 = 31 + 126 = 157
5
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∴ S=
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(31 + 157)19 = 1,786
2
 3 2 1

, , ,L 
 10 5 2

2) Obtener la suma de los 14 primeros términos de PA = 
Solución.
2 3 4−3 1
− =
=
5 10
10
10
3
1
3 13 16
u = + (14 − 1) = + =
10
10 10 10 10
 3 16 
 + 14
266 133
10 10 
∴ S=
=
=
2
20
10
r=
3) Encontrar la suma de los 60 primeros términos de
Solución.
PA = { 11, 1, − 9, L }
r = 1 − 11 = −10
u = 11 + (60 − 1)(− 10) = −579
(11 + (− 579))60 = −17,040
∴ S=
2
I.2.5 MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN
En una progresión aritmética se denominan medios aritméticos a los términos que se encuentran entre el
primer y el último término.
Ejemplo.
En la PA =
aritméticos.
{ − 15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15, 20 },
los términos
− 10 , − 5, 0 , 5, 10 y 15 son medios
Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos
extremos sean los dos números dados.
Ejemplos.
1) Interpolar 4 medios aritméticos entre 5 y 12 .
Solución.
Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
r=
u − a 12 − 5 7
=
=
n −1 6 −1 5
Por lo tanto, el segundo término es:
5+
7 32
=
5 5
32 7 39
+ =
5 5 5
39 7 46
+ =
el cuarto término es:
5 5 5
el tercer término es:
6
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el quinto término es:
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46 7 53
+ =
5 5 5
por lo que la progresión buscada es:
 32 39 46 53

PA =  5, , , , , 12 
5 5 5 3


2) Interpolar 5 medios aritméticos entre
3 1
y .
4 8
Solución.
Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
1 3 1− 6
−
5
r= 8 4 = 8 =−
7 −1
6
48
3  5  31
+ −  =
4  48  48
31  5  26
el tercer término es:
+ −  =
48  48  48
26  5  21
el cuarto término es:
+ −  =
48  48  48
21  5  16
el quinto término es:
+ −  =
48  48  48
16  5  11
el sexto término es:
+ −  =
48  48  48
 3 31 26 21 16 11 1 
por lo que la progresión buscada es: PA =  ,
, , , , , 
 4 48 48 48 48 48 8 
Por lo tanto, el segundo término es:
I.2.6 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1) Se compran 50 artículos. Por el primero se pagó 800 pesos, y por cada uno de los demás 300 pesos
más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.
Solución.
n = 50
a = 800
r = 300
u = a + (n − 1)r = 800 + (50 − 1)(300) = 15,500
(a + u )n = (800 + 15,500)50 = $407,500
∴ S=
2
2
2) Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética. El último año perdió
$3,000 pesos y la pérdida de cada año fue de $300 menos que en el anterior. ¿Cuánto perdió el primer
año?
Solución.
n=5
u = 3,000
r = −300
7
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a = u − (n − 1)r = 3,000 − (5 − 1)(− 300) = $4 ,200
3) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5,000 la primera semana, $8,000 la segunda
semana, $11,000 la tercera semana, y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.
Solución.
n = 32
a = 5,000
r = 8,000 − 5,000 = 3,000
u = a + (n − 1)r = 5,000 + (32 − 1)(3,000) = 98,000
(a + u )n = (5,000 + 98,000)32 = $1' 648,000
∴ S=
2
2
4) En una carrera un hombre avanza 6 metros en el primer segundo, y en cada segundo posterior avanza
25 cm. más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el octavo segundo y que distancia habrá recorrido en 8
segundos?
Solución.
a=6
r = 0.25
n=8
u = a + (n − 1)r = 6 + (8 − 1)(0.25) = 7.75 en el octavo segundo
(a + u )n = (6 + 7.75)8 = 55 metros.
∴ S=
2
2
5) El quinto término de una progresión aritmética es 31 y el noveno 59. Hallar el doceavo término.
Solución.
a + 4r = 31 _ (1)
a + 8r = 59 _ (2)
restando (2) a (1):
− 28
=7
−4
de (1): a = 31 − 4r = 31 − 4(7 ) = 3
− 4r = −28 ⇒ r =
por lo tanto, el doceavo término es:
u = a + (n − 1)r = 3 + (12 − 1)(7 ) = 80
6) En una progresión aritmética de 12 términos el primer y último término suman 53.5. ¿Cuál es la suma
del tercer y décimo término?
Solución.
Por ser términos equidistantes su suma también es 53.5
7) ¿Cuál es el sexto término de una progresión aritmética de 11 términos, si su primer término es -2 y el
último -52?
Solución.
n = 11
a = −2
u = −52
u − a − 52 − (− 2) − 50
r=
=
=
= −5
n −1
11 − 1
10
por lo tanto, el sexto término es: u = a + (n − 1)r = −2 + (6 − 1)(− 5) = −27
8
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8) ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión
490?
Solución.
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PA = { 13, 21, 29, 37 , L } para que su suma sea
a = 13
r = 21 − 13 = 8
S = 490
(a + u )n pero u = a + (n − 1)r , así que:
S=
2
[
a + a + (n − 1)r ]n
S=
2
sustituyendo valores:
490 =
[13 + 13 + (n − 1)8]n
2
⇒ 980 = 26n + 8n 2 − 8n ⇒ 8n 2 + 18n − 980 = 0
resolviendo la ecuación de segundo grado por la fórmula general:
− 18 ± 182 − 4(8)(− 980 ) − 18 ± 324 + 31,360 − 18 ± 178
=
=
2(8)
16
16
− 18 + 178 160
n1 =
=
= 10
16
16
− 18 − 178
196
n2 =
=−
= −12.25 (esta raíz que se descarta porque n no puede ser negativo)
16
16
por lo tanto, el último término es: u = a + (n − 1)r = 13 + (10 − 1)(8) = 85
n=
I.3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Antiguamente había quienes estaban interesados en sucesiones de números figurados cuyos elementos
consistían en números que podían asociarse con figuras geométricas formadas por puntos. Aunque
muchas sucesiones sólo interesan desde el punto de de vista de pasatiempo, hay otras de gran interés.
Como ejemplificación de esto es el número de antepasados que tiene o tuvo una persona en cada
generación que le precede, ya que tiene o tuvo dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc.
Otro ejemplo puede ser el truco de los espejos en el que se fotografía la imagen de alguien reflejado en
un espejo mientras que sostiene otro espejo orientado hacia el primero, de manera que su imagen se
refleja una y otra vez, una infinidad de veces. Si los espejos se colocan en forma adecuada, las primeras
imágenes reflejadas son cada vez más pequeñas teniendo cada una, después de la primera, la mitad de
altura que la anterior. Así, si la altura de la primera imagen es h , entonces las alturas de las imágenes
sucesivas forma la sucesión:
h h h
h
h , , , , L , n−1 ,L
2 4 8
2
Cada término, excepto el primero, de la sucesión puede obtenerse multiplicando el término anterior por
1
.
2
Las anteriores progresiones reciben el nombre de geométricas y que a continuación se definen.
9
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Progresión geométrica es toda sucesión de términos en la cual cada término después del primero se
obtiene multiplicando al término anterior una constante llamada razón.
Se denotan mediante PG y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.
Ejemplos.
1)
PG = { 5, 10, 20, 40, 80, 160, ⋅ ⋅ ⋅ } es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que
10
= 2,
5
20
40
= 2,
= 2 , etc.
10
20


2) PG =  243, 81, 27 , 9 , 3, 1,
1
81 1
1

= ,
, ⋅ ⋅ ⋅  es una progresión geométrica cuya razón es ya que
3
243 3
3

27 1 9 1
= ,
= , etc.
81 3 27 3
Una progresión geométrica es creciente cuando su razón, en valor absoluto, es mayor que uno.
Ejemplo.
PG = { 1, 5, 25, 125, ⋅ ⋅ ⋅ }, es creciente porque su razón es 5 .
Una progresión geométrica es decreciente cuando su razón, en valor absoluto, es menor que uno.
Ejemplo.
1 1

PG =  8, 4 , 2 , 1, , , ⋅ ⋅ ⋅
2 4

1

 , es decreciente ya que su razón es .
2

I.3.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO
Sea la siguiente progresión:
PG = { a , b , c , d , e, L , u }
en la que
u es el término enésimo y cuya razón es r .
Por definición, en toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la razón,
por lo tanto:
b = a⋅r
c = b ⋅ r = a ⋅ r ⋅ r = a ⋅ r2
d = c ⋅ r = a ⋅ r2 ⋅ r = a ⋅ r3
e = d ⋅ r = a ⋅ r 3 ⋅ r = a ⋅ r 4 , y así sucesivamente.
Se puede apreciar que un término cualquiera es igual al primero de la progresión multiplicado por la
razón elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden.
Como
u es el término enésimo y le preceden n − 1 términos, se tiene que:
u = a ⋅ r n−1
10
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Ejemplos.
1) Hallar el séptimo término de
Solución.
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PG = { 3, 6, 12, L }
6
=2
3
a=3
n=7
∴ u = 3(27−1 ) = 3(26 ) = 3(64 ) = 192
r=
2) Hallar el noveno término de
Solución.
PG = { 8, 4, 2, L }
4 1
=
8 2
a=8
n=9
r=
1
∴ u = 8 
2
9−1
8
1
 1  1
= 8  = 8
=
2
 256  32


3) Hallar el quinto término de PG =  −
3 3 15

, , − ,L 
5 2
4

Solución.
a=−
3
5
n=5
3
15
5
r= 2 =− =−
3
6
2
−
5
 3  5 
∴ u =  −  − 
 5  2 
5 −1
4
1875
375
 3  5   3  625 
=  −  −  =  − 
=−
=−
80
16
 5  2   5  16 
Cuando la razón es negativa los términos de la progresión geométrica son alternadamente positivos y
negativos. Si n − 1 es par, el resultado tendrá signo positivo y si n − 1 es impar, tendrá signo negativo.
I.3.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS
De la fórmula u = a ⋅ r
Primer término:
Razón: r =
n −1
a=
n −1
, se despejan
a , r y n . Esto es:
u
r n −1
u
a
Para obtener el número de términos, se toma el logaritmo de cada uno de los miembros:
Log u = Log a ⋅ r n −1 ⇒ Log u = Log a + (n − 1)Log r ⇒ Log u − Log a = (n − 1)Log r
11
Progresiones
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Log
u
= (n − 1)Log r ⇒
a
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
u
a = n −1
Log r
Log
u
a +1
Por lo que el número de términos está dado por: n =
Log r
Log
Ejemplos.
1) La razón de una progresión geométrica es
2
64
y el noveno término es
. Hallar el primer término.
3
2 ,187
Solución.
2
3
n=9
r=
u=
64
2 ,187
64
64
64
u
3
a = n −1 = 2 ,187
= 2 ,1878 = 2 ,187 =
9 −1
256
r
4
2
2
 
 
6
,
561
3
3
2) Hallar la razón de
Solución.
PG = { − 5, L , 640 } de ocho términos.
a = −5
u = 640
n=8
u
640 7
r = n −1 = 8 −1
= − 128 = −2
a
−5
3) Cuántos términos tiene la progresión
Solución.
PG = { 3, 9, L , 19,683 }
a=3
9
r = =3
3
u = 19,683
u
19 ,683
Log
Log
a +1 =
3 +1 = 8 +1 = 9
n=
Log r
Log 3
I.3.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES
{
}
Sea la progresión PG = a , L m , L , p , L u de razón r. Si entre a y m hay n términos y entre
u también hay n términos, entonces m y p son términos equidistantes de los extremos.
12
p y
Progresiones
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
n términos entre a y m , se tiene que: m = a ⋅ r n +1 _ (1)
ya que al término m le preceden (n + 1) términos contando al término a .
n+1
De la misma forma, si hay n términos entre p y u , se tiene que: u = p ⋅ r
m a
Dividiendo (1) por (2), se tiene:
= , o bien m ⋅ p = a ⋅ u
u p
Si hay
_ (2 ) .
Esto demuestra que en toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes es igual al
producto de los extremos.
Cuando el número de términos de una PG es impar, el término medio equidista de los extremos y por
tanto, el cuadrado de este término es igual al producto de los extremos.
I.3.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Sea la progresión PG =
términos se tiene que:
{ a , b , c , L, l , m, u } ,
que consta de
n términos. Si S es la suma de los
S = a + b + c + L + l + m + u _ (1)
Ahora, multiplicando esta expresión por la razón se tiene:
_ (2)
S ⋅ r = a ⋅ r + b ⋅ r + c ⋅ r +L+ l ⋅ r + m ⋅ r + u ⋅ r
Restando (1) de (2) se tiene que:
S ⋅r − S = u ⋅r − a
ya que b = a ⋅ r , c = b ⋅ r , L , u = m ⋅ r , etc., y al restar se anulan.
Factorizando S :
S (r −1) = u ⋅ r − a
despejando S se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica:
S=
Ejemplos.
1) Hallar la suma de los 6 primeros términos de
Solución.
u⋅r − a
r −1
PG = { 4, − 8, 16, L }
8
=2
4
6−1
5
u = a ⋅ r n−1 = 4(− 2 ) = 4(− 2 ) = 4(− 32 ) = −128
(− 128)(− 2) − 4 = 256 − 4 = −84
∴ S=
− 2 −1
−3
r=
2) Obtener la suma de los 7 primeros términos de
4


PG =  12 , 4 , , L 
3


Solución.
r=
4 1
=
12 3
13
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7 −1
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
6
12
1
1
u = a ⋅ r = 12  = 12  =
729
3
3
26 ,232
 12  1 
12
12 − 26 ,244
− 12
−

  − 12
4 ,372
729  3 
2187
∴ S=
= 2 ,187
=
= 2 ,187 =
≈ 17.991
1
2
2
2
243
−1
−
−
−
3
3
3
3
n −1
3) Encontrar la suma de los 8 primeros términos de
1


PG =  2 , − 1, , L 
2


Solución.
r=−
1
2
8 −1
7
2
1
 1
 1
u = a ⋅ r = 2 −  = 2 −  = −
=−
128
64
 2
 2
 1  1 
1
− 1 − 256
255
  −  − 2 −
−2
−
85
64
2
∴ S =  
= 128
= 128 = 128 =
= 1.328125
1
3
3
3
64
− −1
−
−
−
2
2
2
2
n −1
I.3.5 MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN
En una progresión geométrica se denominan medios geométricos a los términos que se encuentran entre
el primer y el último término.
Ejemplo.
En la PG
= { 1, 4, 16, 64, 256, 1024 } , los términos 4 , 16 , 64 y 256 son medios geométricos.
Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica cuyos
extremos sean los dos números dados.
Ejemplos.
1) Interpolar 4 medios geométricos entre − 7 y − 224 .
Solución.
Si se quiere interpolar 4 medios geométricos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
r = n−1
u 6−1 − 224 5
=
= 32 = 2
a
−7
Por lo tanto, el segundo término es:
(− 7)2 = −14
(− 14)2 = −28
el cuarto término es: (− 28)2 = −56
el quinto término es: (− 56)2 = −112
el tercer término es:
por lo que la progresión buscada es:
PG = { − 7 , − 14, − 28, − 56, − 112, − 224 }
14
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2) Interpolar 7 medios geométricos entre 8 y
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
.
32
Solución.
Si se quiere interpolar 7 medios geométricos, entonces la progresión consta de 9 términos, y su razón es:
r = n−1
u 9−1
=
a
1
32 = 8 1 = 1
8
256 2
Por lo tanto, el segundo término es:
1
8  = 4
2
1
4  = 2
2
1
el cuarto término es: 2  = 1
2
1 1
el quinto término es: 1  =
2 2
11 1
el sexto término es:   =
22 4
11 1
el séptimo término es:   =
42 8
11 1
el octavo término es:   =
8  2  16
el tercer término es:
por lo que la progresión buscada es:
1 1 1 1 1 

PG =  8, 4 , 2 , 1, , , , ,

2 4 8 16 32 

I.3.6 SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA
u⋅r − a
n −1
, se sustituye u por su valor u = a ⋅ r , se tiene que:
r −1
a ⋅ r n −1 ⋅ r − a a ⋅ r n − a
S=
=
r −1
r −1
Si de la fórmula
S=
o bien, si se cambian los signos a los dos términos de la fracción se tiene:
S=
a − a ⋅ rn
1− r
En una progresión geométrica decreciente la razón es una fracción propia (menor que uno), y si esta
razón se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor es la potencia de la fracción. Por
tanto, entre más grande sea el exponente, menor será
a ⋅ r n tiende a cero. Esto es:
a − a ⋅ rn
a
lim S = lim
=
n→∞
n→∞
1− r
1− r
grande,
15
r n y también a ⋅ r n . Siendo n lo suficientemente
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por lo que cuando el número de términos de la progresión geométrica tiende a infinito, el valor de la suma
es:
S=
a
1− r
Ejemplos.
Hallar la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:
1)
 1 1

PG =  2 , , , L 
 2 8

Solución.
a=2
1
1
r= 2 =
2 4
2
2 8
S=
= =
1 3 3
1−
4 4
1 1 1

, , ,L 
 2 6 18

2) PG = 
Solución.
1
2
1
2 1
r= 6 = =
1 6 3
2
1
1
3
S= 2 = 2 =
1 2 4
1−
3 3
a=
3) PG =
2 2


 2, − , , L 
5 25


Solución.
a=2
2
2
1
r= 5 =− =−
2
10
5
2
2 10 5
= =
=
S=
6
6 3
 1
1−  − 
 5 5
−
16
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I.3.7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA DECRECIENTE
Sea un cuadrado ABCD que tiene cuatro centímetros de lado. Si se construyen una serie de cuadrados,
de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los vértices del segundo, los puntos
medios de los lados de éste, sean los vértices del tercero, y así sucesivamente, se obtiene una figura
como la siguiente:
G
D
C
H
F
A
4 cm.
B
E
4 cm.
2
El cuadrado ABCD es 16 cm . El cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado ABCD, por lo tanto el área de
los triángulos HAE, EBF, FCG y GDH es la otra mitad del cuadrado ABCD. Por tanto, el área de los
2
triángulos del primer cuadrado interior es igual a 8 cm .
En forma semejante se obtienen las áreas de los demás triángulos. Haciendo la suma de todos ellos, se
tiene:
Área de los triángulos del primer cuadrado interior es 8 cm
2
Área de los triángulos del segundo cuadrado interior es 4 cm
Área de los triángulos del tercer cuadrado interior es 2 cm
2
Área de los triángulos del cuarto cuadrado interior es 1 cm
2
Área de los triángulos del quinto cuadrado interior es 0.5 cm
2
2
Área de los triángulos del sexto cuadrado interior es 0.25 cm
2
Área de los triángulos del séptimo cuadrado interior es 0.125 cm
2
Área de los triángulos del octavo cuadrado interior es 0.0625 cm
2
Área de los triángulos del noveno cuadrado interior es 0.03125 cm
2
Área de los triángulos del décimo cuadrado interior es 0.015625 cm
2
La suma de las áreas de los triángulos de los primeros diez cuadrados interiores es 15.984375 cm
17
2
Progresiones
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De este ejemplo, se observa que lo números
decreciente, de razón
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
8, 4 , 2, 1, , L forman una progresión geométrica
2
1
. El valor de cada término disminuye, y un término se acerca más a cero cuanto
2
mayor sea el número de los términos que le preceden.
La suma de los términos es constantemente inferior a 16, resultado que pudo obtenerse mediante la
fórmula:
S=
8
8
= = 16
1 1
1−  
2 2
I.3.8 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1) Una persona ganó $20 el lunes y cada día ganó el doble de lo que ganó el anterior. ¿Cuánto ganó el
sábado y cuánto de lunes a sábado?
Solución.
a = 20
r=2
n=6
6 −1
5
u = a ⋅ r n −1 = 20(2 ) = 20(2 ) = 20(32 ) = $640 ganó el sábado
u ⋅ r − a 640(2) − 200
∴ S=
=
= $1,260 ganó de lunes a sábado
r −1
2 −1
2) Un apostador jugó durante 8 días y cada día ganó
1
de lo que ganó el día anterior. Si el octavo día
3
ganó $10. ¿Cuánto ganó el primer día?
Solución.
n=8
1
r=
3
u = 10
u
10
10
10
a = n −1 =
=
=
= $21,870
8 −1
7
1
r
1
1
 
 
2,187
3
3
3) El cuarto término de una progresión geométrica es
Solución.
1
1
⇒ a ⋅ r3 =
_ (1)
4
4
1
1
a ⋅ r 7 −1 =
⇒ a ⋅ r6 =
_ (2)
32
32
1
− (3)
de (1): a =
4r 3
a ⋅ r 4 −1 =
18
1
1
y el séptimo
. Hallar el sexto término.
4
32
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1
1
⋅ r6 =
⇒
3
4r
32
1
1
=
=
sustituyendo en (3): a =
3
1
1
4 
4 
8
2
 
sustituyendo (3) en (2):
1
u = a ⋅ r n−1 = 2 
2
6−1
r3 1
4
=
⇒ r3 =
4 32
32
1 8
= =2
4 4
8
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⇒ r=3
1 1
=
8 2
5
1
 1  1
(sexto término)
= 2  = 2  =
2
 32  16
4) Un hombre que ahorra cada año los
2
de lo que ahorró el año anterior, ahorró el quinto año $16,000.
3
¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?
Solución.
2
3
u = 16,000
n=5
u
16,000 1,000 16,000
a = n −1 =
=
=
= 81,000
5 −1
4
16
r
2
2
 
 
81
3
3
2
16 ,400  − 81
u⋅r − a
3
∴ S=
=
= $211,000 ahorró en los cinco años
2
r −1
−1
3
r=
5) La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 personas que eran de
2001 a 100,000 en 2007. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?
Solución.
a = 59,049
n=6
u = 100,000
u
100,000
100,000 5
∴ r = n −1 = 6 −1
=5
= 1.6935 ≈ 1.1111 por año, es decir, creció el 11.11% anual.
a
59,049
59,049
6) Para construir un desarrollo turístico, se compra un terreno de 2,000 hectáreas a pagar en 15 años de
este modo: $100 el primer año, $300 el segundo, $900 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuál es el
importe del terreno?
Solución.
300
=3
100
a = 100
n = 15
15 −1
14
u = a ⋅ r n −1 = 100(3) = 100(3) = 478' 296 ,900
r=
19
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∴ S=
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
u ⋅ r − a 478' 296,900(3) − 100
=
= $717' 445,300
r −1
3 −1
1
de los que invirtió el año anterior. Si el primer año invirtió
3
7) Una persona ha invertido en cada año
$24,300, ¿cuánto ha invertido en 6 años?
Solución.
a = 24,300
1
r=
3
n=6
6 −1
5
1
1
 1 
u = a ⋅ r n −1 = 24 ,300  = 24,300  = 24 ,300
 = 100
3
3
 243 
1
100  − 24 ,300
u⋅r − a
3
∴ S=
=
= $36 ,400 invirtió en seis años.
1
r −1
−1
3
20