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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
4.Lechos vegetados:
La presencia de vegetación en un canal supone un freno para la circulación de
agua en el mismo. El problema reside en la evaluación de esta fuerza de frenado.
Se establece una analogía entre la vegetación y la rugosidad, el problema reside
en la determinación de esta rugosidad, ya que la oposición que realiza la vegetación no
es independiente del flujo, de manera que no es posible definir un Manning único. En
principio esto no es exclusivo de la vegetación, ya que el coeficiente de Manning
depende del radio hidráulico elevado a un sexto, pero esto significa que grandes
variaciones del flujo suponen pequeñas variaciones del coeficiente. En el caso de las
plantas esto es diferente, ya que su deformación implica una modificación de la
geometría de la rugosidad, con lo que tiene un rango de valores muy alto (ver
VELASCO[99]).
4.1 Descripción del flujo:
El flujo sobre un lecho vegetado se puede dividir en dos regiones claramente
diferenciadas, por una parte esta el agua que circula por el interior de la masa vegetal y
por otra parte la que circula por encima de las plantas.
El flujo que circula por la parte superior tiene un comportamiento parecido al
que se podría encontrar en un canal convencional con rugosidad de fondo. Las tensiones
son casi en su totalidad de Reynolds y adopta un perfil típico logarítmico (NEPF[00]).
Esta sección se podría caracterizar con un coeficiente ce posición al flujo como podría
ser el de Manning.
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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
Perfil de velocidades logaritmico,
caracterizado por las tensiones de Reynolds
Perfil de velocidades
caracterizado por las
tensiones de drag de la
vegetacion
Ilustración 4.1 Perfil de velocidades con lecho de plantas
El flujo por debajo de la planta tiene un comportamiento totalmente diferente,
es altamente dependiente de las características mecánicas, geométricas y espaciales de
las plantas.
Debe cumplirse que la suma del caudal circulante por la parte inferior mas el que
circula por la parte superior deben valer el caudal total. El problema surge a la hora de
determinar la oposición al flujo que realiza la vegetación, a diferencia del caso de
rugosidades estaticas, en el que las tensiones se transmitian por el agua hasta llegar al
fondo, en el caso de las plantas estas se transmiten hasta la parte inferior del canal
donde al entrar en contacto con las hojas se crea un flujo de tensiones entre el agua y las
plantas, la transmisión de tensiones se realiza por medio de las drag forces vistas
anteriormente.
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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
Y
UW Tensiones Reynolds
Tensiones son absorbidas
por las plantas
Ilustración 4.2 Tensiones de Reynolds
Las drag forces dependen del frente de oposición de la planta a la dirección del
flujo además de el numero de Reynolds, en el caso de las plantas el frente de oposición
al flujo es variable ya que las plantas presentan una respuesta de deformación ante las
fuerzas con que interaccionan. Esta deformación sera crítica por dos motivos:
-
El caudal circulante por el interior de la zona vegetada dependerá del tamaño
de esta además de la forma de oposición que presenten las plantas a la
circulación.
El elemento que caracteriza la circulación por encima de la vegetación (n
Manning) dependerá de la geometría que presenten las plantas en su parte
superior ya que esta posee el mismo comportamiento que una rugosidad.
Estos dos aspectos se derivaran de la deformación que presente la planta y esta
es consecuencia directa de sus propiedades mecánicas (peso, elasticidad, etc..) de sus
propiedades geométricas (inercia, forma, etc...) y de sus características espaciales
(densidad, ubicación, etc...) y finalmente de las tensiones que actúen, en este caso las
tensiones al ser fuerzas de drag dependen además de la velocidad relativa entre las
plantas y el agua.
Si la hipótesis de Prandtl-Karman es cierta el gradiente de las velocidades
depende de las Tensiones de Reynolds, de manera que las velocidades son
proporcionales a las tensiones. Esto conduce a la conclusión de que las condiciones
hidráulicas (calado, velocidad media) influirán directamente en la propia rugosidad,
entendida ésta como una oposición al flujo.
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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
A modo de resumen podemos decir que dado un canal vegetado caracterizado
en todos sus parámetros (plantas, geometría), suponiendo su funcionamiento en régimen
normal, dado un caudal podemos suponer un funcionamiento hidráulico (calado, perfil
de velocidades), a consecuencia de estas variables podemos calcular las tensiones que
actúan en las plantas pudiendo a consecuencia de esto calcular la deformación en las
plantas. Con esta nueva deformación podemos obtener una nueva resistencia al flujo
siendo posible recalcular los parámetros hidráulicos (calado, perfil de velocidades) este
proceso iterativo conduciría a una situación de equilibrio entre el modelo hidrodinámico
del flujo y el mecánico de la rugosidad flexible.
4.2 Modelo de Kowen
Existen varias aproximaciones para evaluar la oposición al flujo de las plantas
entre los mas utilizados está el de Kowen.
Kowen describió un modelo mecánico de funcionamiento de la planta. Decidió
acertadamente que el parámetro decisivo en la rugosidad de las plantas era la
deformación de estas (deflexión), para ello utilizó el siguiente modelo de deformación:
  m EI 0.25 

 
k
  γ yn S  
= 0.14 

h
h






1.59
(4.1)
k = Altura de la planta flectada
h = Altura de la planta erecta
m = Densidad de plantas por m 2
E = Elasticidad de la planta
I = Inercia de una planta
γ = Peso especifico del agua
yn = Calado normal
S = Pendiente motriz
La formula dimensionalmente es correcta, podemos ver que se trata de una
formula que nos analiza la deformación de la planta en función de la tensión de fondo
en el canal. El concepto es inicialmente valido, en la mayoría de casos la rugosidad
extra que suponen las plantas recibe todas las tensiones de corte presentes en el flujo de
tal forma que muy cerca del lecho del canal las Tensiones de Reynolds son
prácticamente nulas. Es decir la transmisión de esfuerzo tangencial a la solera se realiza
por medio de tensiones de corte presentes en el tallo de las plantas.
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Lechos vegetados
Tensiones totales
Y
h/2
h = Altura flectada
Tensiones
Reynolds
τ
Diferencia = Tensiones Planta
Ilustración 4.3 Absorción de tensiones de Reynolds
Podemos ver que la planta absorbe todas las tensiones y lo hace de manera muy
rápida, ya que lo hacen en aproximadamente la mitad de su longitud una vez flectada.
Por tanto la formula de Kowen nos describe que deformación sufre una planta con unas
tensiones aplicadas en ella, se trata de un modelo mecánico de deformación. Así
podemos comprobar que el término:
mEI
Es el valor de la resistencia mecánica de las plantas por metro cuadrado de
superficie de solera, este valor se evalúa con las tensiones de corte absorbidas por la
planta (que son las totales) para obtener un valor de la deformación.
Tensiones = γ yn S
Podemos realizar una serie de objeciones conceptuales a esta simplificación,
según esta función la única influencia de la pendiente es para calcular la tensión de corte
sobre el fondo. Sin embargo el esquema de fuerzas que pueden actuar sobre una planta
varia mucho en función de la pendiente, especialmente en el punto de aplicación.
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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
γ ·y
Y
1
· I1
h = Altura Planta
Tensiones totales
γ ·y
2
· I2
τ
Esquema 4.1 Tensiones en función de la pendiente motriz
Podemos ver en el esquema como los dos casos poseen unas tensiones totales
iguales a pesar de poseer distribuciones completamente diferentes. Por otra parte las
tensiones que actuan sobre la planta no son lineales ya que lo hacen en una dirección
que depende de la deformación de la planta de manera que un cálculo real de la
deformación de la planta debería desarrollar un modelo algo más complejo de calculo.
Podemos realizar el esquema de fuerzas aplicadas sobre la planta, haciendo las
siguientes hipótesis:
-Todas las tensiones de corte son absorbidas por las plantas antes de llegar al
lecho.
-Las Tensiones de Reynolds son nulas a mitad de altura de la planta.
-La absorción de tensiones de Reynolds se realiza con un valor constante en la
mitad superior de la planta.
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Conceptos teóricos
Lechos vegetados
hp/2
P1 = (hc-hp)·2 / hp · γ·I + γ·I
hp/2
P1 = γ·I
Ilustración 4.4 Cargas sobre la planta
Donde I es la pendiente motriz γ es el peso específico del agua hp es la altura de
la plante y hc el calado. Este esquema posee errores importantes como la existencia de
un salto discreto en las tensiones, lo cual no es posible ya que los valores de los que
dependen las tensiones de drag son continuos en el espacio (velocidad, área de
oposición de la planta al flujo y numero de Reynolds). Con este esquema de cargas y
usando las ecuaciones de grandes deformaciones es posible encontrar la longitud final
de la planta. Se trata de un proceso iterativo ya que del valor final de la longitud
depende el valor de las cargas, de manera que hay que realizar una serie de iteraciones
hasta que los valores converjan.
Una vez calculada la deflexión de la planta hay que calcular un Manning
relacionado con el valor final de la altura, para ello Kowen propone la siguiente
formulación:
y 
= a + b log  n 
f
 k 
1
(4.2)
Donde yn es el calado y k es la altura de la planta flectada, a y b son dos
coeficientes experimentales. Sobre esta formula se podría decir que el termino del
logaritmo es equivalente a la rugosidad relativa, usada en otros modelos de calculo de
resistencia al flujo (Moody), igual que en estas otras formulaciones de resistencia,
podría aparecer el numero de Reynolds del flujo. Aunque no debe olvidarse que las
características del flujo ya están implícitas en k de manera que si a y b dependen las
características de la vegetación entonces k aportará la información sobre el flujo que
circula.
45
Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
5.Medidas de turbulencia:
La turbulencia es un fenómeno físico derivado del comportamiento caótico de
las ecuaciones que rigen el comportamiento de los fluidos para números de Reynolds
elevados. Toda una ciencia se desarrolla para su descripción, de manera que solo
comentaremos algunos aspectos simples de su fundamentos.
5.1 Correlaciones y funciones de espectro
La turbulencia por ser de base caótica e impredecible se mide con parámetros
estadísticos, es decir se trabaja con series de datos sobre velocidades y presiones y se
manipulan buscando comportamientos organizados.
Una de las herramientas más utilizadas es la correlación. Esta se basa en la
relación entre dos series de datos buscando comportamientos correlacionados entre
ambas series. Sin embargo una de las correlaciones que aporta más información es la
autocorrelación, se tata de la correlación de una serie consigo misma. Evidentemente la
correlación de una serie consigo misma es muy alta. Se trata de estudiar pues como
evoluciona un parámetro relacionado consigo mismo transcurrido un cierto tiempo o
una cierta distancia. Son lo que se conoce como correlaciones espaciales o correlaciones
temporales.
Muestra de longitud L
Ilustración 0.1 Velocidades medidas sobre una linea recta
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Ahora esta serie espacial de datos que tenemos la relacionaremos consigo misma
desfasada una cierta distancia dx.
dx
Ilustración 0.2 Correlaciones espaciales
Esta relación es lo que se conocería como una autocorrelación espacial. Pedemos
hacer lo mismo con una serie temporal. Se trata de medir las velocidades en un punto
durante un cierto tiempo de manera que obtendríamos una serie temporal de datos.
Calculamos la correlación de esta serie sobre si misma con un cierto retardo dt.
dt
Ilustración 0.3 Correlaciones en el tiempo
Obtendríamos una autocorrelación temporal. Para la definición matemática de
los cálculos se parte la covarianza de los datos, que es un parámetro estadístico típico,
en forma de matriz donde cada uno de los componentes tiene el siguiente valor:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
t
1
1
covij (t ) =
× ∫ vi (τ ) × v j (τ + t ) dτ
t1 − t0 t0
Donde vi , t ,τ son las series de velocidades, el tiempo y el desfase
respectivamente. Podemos ver rápidamente que si hacemos t=0 llegamos al término
conocido como tensiones de Reynolds (ver capítulo 1).
t
1
1
× ∫ vi (t ) × v j (t ) dt = ui u j
covij (0) =
t1 − t0 t0
Así que las tensiones turbulentas responsables del equilibrio de fuerzas en
canales son el término que en estadística se conoce como la covarianza. Además
podemos ver que para t=0 los términos de la diagonal de la matriz son la energía
cinética turbulenta. Ahora a partir de esta covarianza se puede definir la función de
correlación:
cor (t ) =
covij (t )
σV × σV
i
=
ui (t0 )u j (t0 + t )
vi ' × v j '
j
De igual manera que antes podemos suponer que el retardo es cero, obteniendo
que la correlación es el resultado de dividir las tensiones de Reynolds entre la media
cuadrática de las velocidades turbulentas.
cor (o) =
covij (o)
σV × σV
i
j
=
ui u j
vi ' v j '
La autocorrelación resulta pues:
corii (t ) =
covii (t ) ui (t0 )ui (t0 + t ) ui (t0 )ui (t0 + t )
=
=
vi ' × vi '
σ Vi × σ Vi
(vi ') 2
La autocorrelación para t=0 es siempre 1 ya que numerador y denominador son
lo mismo. Esta autocorrelación tiene la forma típica siguiente:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Autocor
Ilustración 0.4 Funcion de autocorrelación
Para t=0 tiene un máximo de valor 1. A la vista de la gráfica podemos definir un
nuevo parámetro característico de la turbulencia, conocido como la escala integral, es la
integral de nuestra función de autocorrelación, nos da una idea de la dimensión que
tienen los elementos periódicos de mayor tamaño que contiene nuestra señal.
∞
Li = ∫ cor (t ) dt
0
Este elemento es muy importante ya que nos define una escala para los
fenómenos de mayor tamaño.
Es necesario realizar aquí una serie de consideraciones estadísticas. Estas
descripciones de han realizado en base a la suposición de que contábamos con unos
datos continuos en el tiempo. pero no es el caso, disponemos de unas muestras finitas
con un número N de datos. Esto nos lleva a que no encontramos los valores reales de las
covarianzas y correlaciones sino que encontramos unos estimadores de estas. Así si
partimos de la definición original de la covarianza:
t
covij (t ) =
1
1
× ∫ vi (τ ) × v j (τ + t ) dτ
t1 − t0 t0
Para una serie discreta y finita de datos se puede escribir de la siguiente forma:
covij (δ ) =
δ=
1
β
N −t
× ∑ vi (k ) × v j (k + δ )
k =1
t
periodo de muestreo
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Podemos ver que se trata de un sumatorio, ahora en el caso de tener o no tener
convergencia hacia la solución correcta se tratará de un estimador sesgado o insesgado.
Para obtener el primero hacemos β = N − t , el problema reside en los extremos de las
series, en los que se acumula error debido a que se trata de series menores. Para
solucionar ese problema se pueden utilizar estimadores insesgados en los que haríamos
β = N . En último lugar se pueden utilizar estimadores normalizados en los que
N
haríamos β = ∑ vi (k ) × v j (k ) . Si utilizamos este estimador en los elementos de la
k =1
diagonal vemos que hallamos las funciones de autocorrelación:
covii (δ ) =
N −t
1
N
β = ∑ vi (k ) × vi (k )
× ∑ vi (k ) × vi (k + δ )
k =1
k =1
N −t
covii (δ ) =
∑ v (k ) × v (k + δ )
k =1
i
i
N
β = ∑ vi (k ) × vi (k )
= corii (δ )
k =1
Es decir la función autocorrelación es el resultado de la normalización de las
funciones de covarianza.
Derivada de esta autocorrelación se obtiene otra de las funciones de mayor
importancia en los trabajos de turbulencia, la función de densidad espectral de energía.
Se trata de un cálculo muy extendido entre los tratamientos de señal. Consiste en
determinar que parte de la energía de una señal está asociada con eventos de una cierto
periodo. Es decir que frecuencias son las que aportan más energía a nuestra señal.
Podemos ver dos ejemplos de diferente comportamiento (ilustración 5.5):
Ilustración 0.5 señales con mayor amplitud en las frecuencias bajas y en las frecuencias altas
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
En la primera señal tenemos una componente de baja frecuencia a la que se le
suma una de alta frecuencia, pero es la primera la que transporta más energía, ya esta es
proporcional al cuadrado de la amplitud. Por otra parte en el segundo caso tenemos una
señal de alta frecuencia mucho más energética que la primera, por tanto el transporte de
energía depende mucho más de las altas frecuencias. Las señales turbulentas se parecen
más al primer caso.
La densidad de espectral de energía (psd) se calcula utilizando la transformada
de Fourier. Se puede calcular de dos maneras diferentes, realizando la transformada de
la función de autocorrelación, o calculando la transformada de la señal original y
entonces elevándola al cuadrado, conocido como el Método de Welch (WELCH[67]).
Debemos tener en cuenta que en el caso de trabajar con la función de
autocorrelación estamos usando valores normalizados, es decir el resultado estará a su
vez normalizado, además debe tenerse en cuenta si se usa un estimador sesgado o no a
la hora de hallar los coeficientes de Fourier.
En el caso de trabajar directamente con la señal a través del Método de Welch
debemos tener en cuenta que los coeficientes resultado son por defecto insesgados, y el
sesgo depende de la función de peso utilizada para el cáculo (WELCH[67]).
Es necesario tener en cuenta todos estos elementos para poder comprobar que
por los dos métodos llegamos al mismo resultado.
Podemos poner nuestra función de autocorrelación en función de su espectro.
Según la definición de la transformada de Fourier,
ui (t0 )ui (t0 + t ) ∞
corii (t ) =
= ∫ Eii (kw ) cos(kw × t )dkw
(vi ') 2
0
Eii (kw ) =
2
π
∞
∫ cor (t ) cos(k
ii
w
× t )dt
0
Donde kw el número de onda y Eii(kw) es la función de densidad espectral de
energía normalizada, (ya que partíamos de la función de autocorrelación que es por
definición normalizada), si hacemos t=0 obtenemos:
corii (0) =
∞
ui (t0 )ui (t0 + 0) ∞
=
E
(
k
)
cos(
k
×
0)
dk
=
w
w
∫0 ii w
∫0 Eii (kw )dkw = 1
(vi ') 2
Se trata entonces de un espectro normalizado de la energía, para obtener el valor
real del espectro de energía haríamos:
Eii (k w ) × (vi ') 2 = Espectro de energia
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Ahora tenemos la energía turbulenta de nuestro flujo descompuesta en función
de las frecuencias que la integran. Debemos hacer otra consideración, ya que no se trata
de la energía total, sino que únicamente estamos analizando una de las componentes,
existe una relación entre esta componente y la energía total (BATCHELOR[53],
HINZE[59]):
∂  1 ∂E (k ) 
E (k ) = k 3 ×  × 11
∂k  k
∂k 
Si hacemos un análisis dimensional de la funcion vemos que en el caso de que
Eii(k) sea una función de k, lo será del mismo orden que lo es E(k), de manera que las
diferencias serán unas constantes.
Esto es muy importante ya que la función de densidad espectral que se estudia
en nuestros ensayos es la de la dirección xx. En principio y en las condiciones de
turbulencia isotrópica el valor de la energía total estará relacionado con el de nuestro eje
de estudio por una constante.
Podemos ver un típico espectro de energía de una serie de datos.
Ilustración 0.6 Espectro de energía de una turbulencia desarrollada
Se puede apreciar que se trata de una gráfica logarítmica, en la que el espectro
tiene un aspecto lineal, con lo que ya se adivina que el espectro E(kw) va a tener una
forma del tipo:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
E (kw) = α × Fz k
La frecuencia que aparece en nuestro espectro esta asociada con un tamaño de
vórtice, no con la frecuencia con que este gira, observemos la siguiente figura:
Sensor
Linea de medicion
Ilustración 0.7 Intersección vórtice-instrumento
Se trata de dos vórtices de igual tamaño (D1 = D2) , pero de diferente velocidad,
es decir el primero de ellos gira a mayor numero de revoluciones, es decir con mayor
frecuencia, pero la señal que obtenemos de sus velocidades en el sensor es la siguiente:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Ilustración 0.8 Señales leídas por el instrumento en función de la energía del vórtice
Es decir se trata de dos señales de igual frecuencia pero de diferente amplitud.
Esto se debe a que la duración de la señal del vórtice en el sensor depende del tiempo
que tarda este en pasar por el sensor. Ese periodo vale:
Tiempo =
D1
Velocidad del flujo
Es decir la relación entre tamaño de vórtice y la velocidad media del flujo sobre
el que circula este vórtice.
Si quisiésemos calcular la frecuencia con la que gira el vórtice, lo podríamos
hacer dividiendo el tamaño del vórtice entre la velocidad con la que gira, más adelante
veremos como a partir del espectro se calcula la velocidad con la que gira.
Se debe hacer otra consideración, el espectro de energía es una función continua,
pero cada vórtice corresponde con una franja de las frecuencias. Existe por tanto una
diferencia clara entre vórtices y ondas, una onda tendría un comportamiento periódico,
que estaría reflejado así mismo en la función de autocorrelación, que debería ser a su
vez periódica. Como esto no ocurre los vórtices no tienen un comportamiento
ondulatorio, sino que cada uno de ellos abarca un rango de frecuencias. Tiene un cierto
sentido considerar que abarca más de una frecuencia, ya que podemos imaginar que al
girar genera otros remolinos de diferentes tamaños, estando todos ellos relacionados con
el vórtice original.
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Vamos a hacer una explicación muy superficial sobre el comportamiento que
cabe esperar de la función de densidad espectral de energía.
Un flujo turbulento define un campo de vorticidad, en este campo a su vez se
define un campo de gradientes de velocidades, estos gradientes de velocidades no son
isótropos, ya que ello resultaría en un flujo con tensiones de Reynolds nulas.
Nuestro flujo posee un campo de gradientes no isótropo, en el que se mueven los
remolinos, de manera que se deforman influenciados por esos gradientes de
velocidades, pero esta deformación será mayor en la dirección en la que son mayores
los gradientes, es lo que se conoce como stretching, el trabajo realizado en esta
deformación se puede calcular, su valor por unidad de masa y unidad de tiempo es:
T = −ui u j × sij
sij =
1  ∂u j ∂ui
×
+
2  ∂xi ∂x j



Siendo sij el campo gradiente, pero la producción turbulenta es de la forma:
T = −ui u j × Sij
Sij =
1  ∂U j ∂U i
×
+
2  ∂xi
∂x j



Por lo tanto la energía que se introduce desde el flujo a la turbulencia lo hace de
la misma forma en que se transmite dentro del campo de la turbulencia de unos vórtices
a otros.
El valor total de la energía absorbida en una deformación será:
T = s(u22 − u12 )
donde u2, u1 son las velocidades finales en los dos ejes, podemos comprobar que
para que haya un absorción de energía el vórtice pierde su simetría, ya que sus
velocidades son diferentes para cada uno de sus ejes, remarcando es carácter anisótropo
de la transmisión de energía.
Podemos ver que las unidades de s son s-1, igual que una frecuencia. En su
interacción con el campo generado por otros vórtices, el intercambio de energía
dependerá de lo parecidas que sean estas frecuencias, por tanto se puede definir un
coeficiente de eficacia si/sj .Ahora nos falta cuantificar la energía absorbida en función
de la frecuencia del vórtice, para hacer esto vamos a empezar por poner s en función del
espectro.
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Sabemos que s es de la forma:
s=
Velocidad
Tamaño
Podemos suponer que la velocidad turbulenta es proporcional a la raiz de la
energía cinética turbulenta, por tanto de nuestro espectro podemos extraer la energía que
posee cada tamaño de vórtice, de esta energía su velocidad y de esta velocidad y su
tamaño obtenemos s(k). La energía de un vórtice de número de onda k la supondremos
de la forma:
E (k ) × k
Donde E(k) es su espectro de energía y k su numero de onda. Esta suposición
tiene varias implicaciones, ya que si a un determinado vórtice le corresponde una
energía del espectro desde (k-a) hasta (k+a), la energía de los siguientes vórtices debe
empezar mas allá de estos límites, es decir suponemos una cantidad discreta de
vórtices. En nuestro caso la banda tiene un ancho de k, quedando un espectro
discretizado de la siguiente manera:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Ilustración 0.9 División del espectro en franjas asociadas a números de onda característicos
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Si k es el número de onda entonces el tamaño asociado a ese número de onda es:
λ=
2×π
k
Con lo que finalmente ya podremos definir nuestro s de la siguiente manera:
s (k ) =
( E (k ) × k )
2π / k
1
2
1
3 2
=
( E (k ) × k )
(5.1)
2π
Ahora ya hemos puesto el valor de s(k) en función del espectro, ahora
consideraremos la energía que absorbe un vórtice de un determinado tamaño por el
hecho de estar incluido en el campo de gradientes de velocidades de los que son
mayores que él. Hemos visto:
T = s (u22 − u12 )
La s(k) ya sabemos como calcularla, si se trata de medir el transito de energía de
los vórtices de mayor tamaño sobre el de número de onda k0 encontraremos un s(k0) que
sea combinación de todos los números de onda menores que el nuestro (vórtices de
mayor tamaño) y lo llamamos Θ(k0 ) (TENNEKES[72]). Pero hemos visto que la
eficacia del intercambio de energía dependía de la interacción entre los gradientes
espaciales de las velocidades, por lo que podemos definir la eficacia de este intercambio
como:
Grado anisotropia =
Θ( k 0 )
s ( k0 )
Combinando todo estos elementos llegamos a formular el valor de T en función
de k:
T (k0 ) = s × ( v 2 ) = ( Θ(k0 ) × Grado anisotropia ) ×
( k 0 E ( k0 ) )
 Θ( k0 )

Θ( k 0 ) 2
T ( k0 ) = 
× Θ( k0 )  × k 0 E ( k 0 ) =
× k0 E ( k0 )
s ( k0 )
 s ( k0 )

Debido a la relación conocida entre los números de onda podemos simplificar:
T (k0 ) = Const. × s(k0 ) × k0 E (k0 )
Además en virtud de (5.1) podemos poner s(k0) en función del espectro con lo
que nos queda.
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
T (k0 ) = Const. × k05 / 2 E (k0 )3 / 2
Esta es la energía que pasa a través de los vórtices de numero de onda k0 por su
interaccion con los de mayor tamaño, como podemos ver, el flujo de energía depende de
la energía que poseen estos vórtices E(k0) con lo que en una turbulencia completamente
desarrollada donde la disipación se produce en las escalas más pequeñas, el flujo de
energía que circula hacia estas escalas debe ser constante e igual a ε la disipación
viscosa:
ε = T (k0 ) = Const. × k05 / 2 E (k0 )3 / 2
E (k0 ) = Const. × ε 2 / 3 × k0 −5 / 3
Ahora ya tenemos una predicción de que valores debe tomar el espectro en
función del número de onda, esta ley, que la dio Kolmogorov (KOLMOGOROV[41]),
está ampliamente demostrada.
5.2 Funciones de Intensidad Turbulenta en Canales:
De suponer que la producción turbulenta es igual a la disipación viscosa
podemos obtener otra de las relaciones turbulentas que vamos a
aplicar
(TENNEKES[72]):
ε = k×
k3/ 2
L
Donde k es una constante, y k la energía cinética turbulenta, podemos aplicar
esta relación a una de las componentes de la energía:
ε = k×
(u ')3 / 2
Lx
Ahora tenemos la disipación relacionada con una de las componentes de la
velocidad y una longitud característica de esta. Ahora partimos del equilibrio entre
producción y disipación:
ε =G
(5.2)
k×
∂U
k3/ 2
= −ui u j × i
∂x j
L
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Pero podemos aplicar las consideraciones derivadas de que se trate de un canal,
por una parte que todas las tensiones de Reynolds se anulan excepto las uv y por otra
parte el perfil logarítmico de las velocidades (2.6):
U+ =
1
ln( y + ) + A
k
Así que ahora substituimos en (5.2) y obtenemos:
ε = k×
∂U i  −uv   ∂U +
(u ')3 / 2
= −ui u j ×
=
×
∂x j  U *2   ∂ξ
Lx
  U *3 

×
  h 
Donde ξ vale y/h. Pero además sabemos lo que valen las tensiones de Reynolds
en función del calado, por lo tanto podemos escribir:
k×
(u ')3 / 2  1 − ξ
=
Lx
 kξ
  U *3 

×
  h 
La longitud característica Lx se puede también poner en función del calado
(NEZU[93]):
Lx / h = B1ξ 1/ 2
Donde B1 es una constante, así que finalmente podemos escribir:
u'
= B2 × ξ −1/ 6 × (1 − ξ )1/ 3
U*
Donde B2 es otra constante, ahora sabemos cuales deben ser las velocidades
turbulentas en función del calado, supone que las relaciones v/u y w/u son a su vez
constantes, con lo que podemos escribir:
v'
= B3 × ξ −1/ 6 × (1 − ξ )1/ 3
U*
w'
= B3 × ξ −1/ 6 × (1 − ξ )1/ 3
U*
Estos perfiles dan unos resultados del tipo:
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Conceptos teóricos
Medidas de turbulencia
Ilustración 0.10 Perfil de las velocidades turbulentas Vx' Vy'
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