Documento 845216

FUNCIÓN CUADRÁTICA
CONCEPTO:Se llama función cuadrática a toda expresión que tenga la forma:𝒚 =
𝑭(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ; ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ ; 𝒂 ≠ 𝟎.
La gráfica correspondiente a una función cuadrática se denomina Parábola, está
puede abrirse hacia arriba (cóncava hacia arriba) ó abrirse hacia abajo (cóncava
hacia abajo), según “a” sea positiva ó negativa.
Para graficar una función cuadrática, se puede realizar una tabulación (darle
valores al azar a la “x”) ó buscar el vértice y los interceptos ó cortes con los ejes,
siendo este último el método más recomendado.
El vértice (v) de la parábola es el punto más alto de ella (Máximo) si ésta es
cóncava hacia abajo ó el punto más bajo (Mínimo) si ella es cóncava hacia arriba.
Ejemplos
Grafique las siguientes funciones cuadráticas hallando su vértice (v) e interceptos
con los ejes.
𝟏. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8
Se tiene que:
𝑎 = −1 , 𝑏 = 2 𝑐 = 8
𝑣: 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
Luego;
𝑥=−
2
=𝟏
2(−1)
Como:𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8
Al reemplazar “x” por 1, obtenemos que:
𝑦 = −(1)2 + 2(1) + 8
𝑦 = −1 + 2 + 8
𝒚=𝟗
Entonces el vértice es el punto (1,9)
Interceptos
a) 𝑬𝒋𝒆𝒙 ⟹ 𝑦 = 0
Por tanto:
−𝑥 2 + 2𝑥 + 8 = 0
Multiplicación por – 𝟏
𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0
Factorizando el trinomio
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0
Igualando cada factor a cero y despejando, obtenemos:
𝑥−4=0⟹𝒙=𝟒
𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝒙 = −𝟐
Se tienen los puntos:
(−𝟐, 𝟎) , (𝟒, 𝟎)
b) 𝑬𝒋𝒆 𝒚 ⟹ 𝑥 = 0,
Reemplazando, obtenemos que:
𝑦 = 02 + 2(0) + 8 ⟹ 𝒚 = 𝟖
Se tiene el punto (𝟎, 𝟖)
Graficando, se tiene que:
Y
𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖
X
𝟐. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 9
En este caso:
𝑎 =4,
𝑏 = 0,
𝑐 = −9
Por tanto:
𝑽: 𝑋 = −
𝑏
0
⟹𝑥=−
⟹𝑥=0
2𝑎
2(4)
Luego el vértice (v) es el punto:
𝑉(0, −9) ∶ 𝑦 = 4(0)2 − 9 = −9
Interceptos
a) 𝑬𝒋𝒆𝒙 ⟹ 𝑦 = 0
4𝑥 2 − 9 = 0 ⟹ (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) = 0
2𝑥 + 3 = 0 ∨ 2𝑥 − 3 = 0
3
2
𝑥 =− ∨𝑥 =
2
3
3
3
(− , 0) ∨ ( , 0 )
2
2
b) 𝑬𝒋𝒆 𝒚 ⟹ 𝑥 = 0
𝑦 = 0 − 9 ⟹ 𝑦 = −9
Nota:Puede observarse que el vértice (v) es el corte con el eje y.
Graficando obtenemos que:
Y
X
Toda función cuadrática como la anterior, de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 ; 𝒂 ≠ 𝟎,
cuando𝒃 = 𝟎, se dice que es simétrica con respecto al eje “y” (el valor de “x”
puede ser positivo o negativo, y el valor de “y” se conserva:
𝟐
𝟐
( , 𝟎) , (− , 𝟎)
𝟑
𝟑
Ecuación cuadrática
Se denomina ecuación cuadrática ó de segundo grado a toda expresión que
tenga la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 , ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐 ℝ , 𝒂 ≠ 𝟎.
Puede observarse que una ecuación cuadrática es una función cuadrática donde
𝒚 = 𝟎, por tanto, una ecuación cuadrática representa los puntos donde la parábola
respectiva intercepta al eje “x”. Estos puntos se denominan Raíces ó soluciones
de la ecuación.
Cuando la parábola correspondiente corte al eje “x”, las soluciones ó raíces de la
ecuación cuadrática son números reales, si no corta al eje “x”, las raíces son
números complejos (ℂ).
Y
𝑨
Los valores de 𝒙 en los puntos A
cuadrática
𝑩
y
B,
X
representan raíces de la ecuación
Y
Y
X
X
𝒂)
Y
𝒃)
En las dos gráficas anteriores la ecuación cuadrática correspondiente a cada
función posee soluciones ó raíces complejas. Puede observarse que en la gráfica
a),“y” toma siempre valores negativos, mientras que en la b), “y” toma solo
valores positivos.
Una ecuación cuadrática puede resolverse por factorización y por fórmula general.
a) Solución por Factorización: Cuando se resuelve una ecuación por
factorización, se iguala ésta a cero, luego se factoriza (por factor común,
diferencia de cuadrados ó trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄), se iguala
cada factor a cero y se despeja en cada factor la variable.
Ejemplos
Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas
𝟏.
5𝑥 − 1 𝑥 − 2
−
=3
3
𝑥
En este caso lo más práctico es eliminar los denominadores, entonces se
tiene:
𝒎𝒄𝒎 = 𝟑𝒙
𝑥(5𝑥 − 1) − 3(𝑥 − 2) = 9𝑥
5𝑥 2 − 𝑥 − 3𝑥 + 6 − 9𝑥 = 0
5𝑥 2 − 13𝑥 + 6 = 0
Factorizando, obtenemos:
(5𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
Igualando cada factor a cero y despejando, tenemos que:
3
5𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 = } 𝑹𝒂í𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏
5
𝑥−2=0⟹𝑥 =2
𝟐.
7𝑥 + 1
𝑥−2
2𝑥 − 1
− 2
=
2𝑥 + 1 6𝑥 − 7𝑥 − 5 3𝑥 − 5
Factorizando el segundo denominador:
6𝑥 2 − 7𝑥 − 5 = (3𝑥 − 5)(2𝑥 + 1)
Luego:𝑚𝑐𝑚 = (3𝑥 − 5)(2𝑥 + 1)
(7𝑥 + 1)(3𝑥 − 5) − (𝑥 − 2) = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
21𝑥 2 − 35𝑥 + 3𝑥 − 5 − 𝑥 + 2 = 4𝑥 2 − 1
21𝑥 2 − 32𝑥 − 5 − 𝑥 + 2 − 4𝑥 2 + 1 = 0
17𝑥 2 − 33𝑥 − 2 = 0
(17𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0
17𝑥 + 1 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
𝒙=−
𝟏
∨ 𝒙=𝟐
𝟏𝟕
Ejercicio
Hallar soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización
𝟏.
4𝑥 − 3 8𝑥 − 6
−
=1
𝑥
𝑥2
𝟐.
𝑥+1
𝑥−2
𝑥−5
−
=
2𝑥 2 − 13𝑥 + 21 2𝑥 − 7 𝑥 − 3
𝑥+1
5𝑥 + 1
3𝑥 + 7
− 2
=
3𝑥 − 1 6𝑥 + 7𝑥 − 3 2𝑥 + 3
6𝑥 + 5 1 − 2𝑥
10𝑥 + 11
𝟒.
−
=
6𝑥 − 1 2𝑥 + 1 12𝑥 2 + 4𝑥 − 1
𝟑.
𝟓.
6𝑥 + 2 9𝑥 − 2
18𝑥 − 3
=
+
3𝑥 + 1 6𝑥 − 1 18𝑥 2 + 3𝑥 − 1
b) Solución por Fórmula General (F.G)Toda ecuación cuadrática ó
de segundo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒂 ≠ 𝟎, puede resolverse mediante la
expresión:
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
Dicha expresión se denomina fórmula general ó formula del bachiller ó del
estudiante.
Deducción de la fórmula general
Sea la ecuación:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Dividiendo por “a”, obtenemos:
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑥 + = 0
𝑎
𝑎
𝒃 𝟐
Sumando a ambos lados de la ecuación (𝟐𝒂) para completar trinomio
cuadrado perfecto, obtenemos:
𝑏
𝑏 2 𝑐
𝑏 2
𝑥 + 𝑥+( ) + =( )
𝑎
2𝑎
𝑎
2𝑎
2
Factorando y transponiendo términos, se tiene que:
𝑏 2
𝑏2
𝑐
(𝑥 + ) = 2 −
2𝑎
4𝑎
𝑎
Eliminando el exponente y sumando, se obtiene:
𝑏
𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥+
= ±√
2𝑎
4𝑎2
Despejando “x” y simplificando el radical, tenemos que:
𝑥=−
𝑏
𝑏 2 − 4𝑎𝑐
±√
2𝑎
2𝑎
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
∴𝒙=
𝟐𝒂
Cabe recordar que cuando se soluciona una ecuación cuadrática por fórmula
general y se obtiene un radical (un número irracional), esto significa que esta
ecuación no se puede resolver por la factorización normal: Factor común,
diferencia de cuadrados ó trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.
Ejemplos:
Resuelva las siguientes ecuaciones por fórmula general
𝟏.
5𝑥 − 4 𝑥 − 2
−
=1
7𝑥 − 8 2𝑥 + 3
Se tiene que:𝒎𝒄𝒎 = (7𝑥 − 8)(2𝑥 + 3)
(5𝑥 − 4)(2𝑥 + 3) − (𝑥 − 2)(7𝑥 − 8) = (7𝑥 − 8)(2𝑥 + 3)
Realizando las operaciones indicadas, tenemos que:
10𝑥 2 + 7𝑥 − 12 − 7𝑥 2 + 22𝑥 − 16 = 14𝑥 2 + 5𝑥 − 24
Transponiendo términos para igualar a cero, se tiene:
10𝑥 2 + 7𝑥 − 12 − 7𝑥 2 + 22𝑥 − 16 − 14𝑥 2 − 5𝑥 + 24 = 0
Simplificando, se tiene:
−11𝑥 2 + 24𝑥 − 4 = 0
Multiplicando por – 𝟏, tenemos:
11𝑥 2 − 24𝑥 + 4 = 0
En este caso:𝑎 = 11 , 𝑏 = −24 , 𝑐 = 4
Aplicando la fórmula general:
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
Reemplazando se obtiene:
𝑥=
24 ± √576 − 176
22
𝑥=
24 ± √400
22
𝑥=
24 ± 20
22
𝑥1 =
24 + 20
44
⟹
⟹ 𝒙𝟏 = 𝟐
22
22
𝑥2 =
24 − 20
4
𝟐
⟹
⟹ 𝒙𝟐 =
22
22
𝟏𝟏
Nota: Como no hubo radical, esta ecuación puede resolverse también por
factorización así:
11𝑥 2 − 24𝑥 + 4 = 0
(11𝑥 − 2)(𝑥 − 2) = 0
11𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
𝒙=
𝟐
∨ 𝒙=𝟐
𝟏𝟏
𝟐. 4𝑥 −
2𝑥 − 1
=2
4𝑥 + 3
Hallando el m.cm y efectuando las operaciones:
𝒎𝒄𝒎 = 4𝑥 + 3
16𝑥 2 + 12𝑥 − 2𝑥 − 1 = 8𝑥 + 6
Igualando a cero y simplificando, obtenemos:
16𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 0
𝒂 = 𝟏𝟔 , 𝒃 = 𝟐 , 𝒄 = −𝟓
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
𝑥=
−2 ± √4 + 320
2(16)
𝑥=
−2 ± √324
32
𝑥=
−2 ± 18
32
𝑥1 =
−2 + 18
16
𝟏
⟹
⟹ 𝒙𝟏 =
32
32
𝟐
𝑥2 =
−2 − 18
−20
𝟓
⟹
⟹ 𝒙𝟐 = −
32
32
𝟖
Ejercicio propuesto n°23
Resuelva las siguientes ecuaciones por fórmula general y factorización
𝟏. 6𝑥 −
3𝑥 − 1
=2
5𝑥 + 2
𝟐.
3𝑥 + 2
𝑥−2
9𝑥 + 6
− 2
=
2𝑥 − 3 2𝑥 − 𝑥 − 3
𝑥+1
𝟑.
3𝑥 + 1
𝑥−3
9−𝑥
−
=
𝑥 2 − 4 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6
𝟒. 4𝑥 −
2𝑥 + 1
= −2
2𝑥 + 3
𝟓. 3𝑥 −
𝑥−4
= 12
5𝑥 − 7
Problemas de aplicación sobre
ecuaciones cuadráticas
INTRODUCCIÓN: Para resolver está clase de problemas, tenga en cuenta las
mismas recomendaciones que para la solución de problemas con sistemas de
ecuaciones, pero además cerciórese que las soluciones que ofrece la ecuación
cuadrática tengan coherencia tanto con la magnitud como en el signo del dato
requerido, particularmente en las distancias y el tiempo
EJEMPLOS:
1. El perímetro de un rectángulo mide 150 𝑚. Si su área es de 1400 𝑚2. ¿Cuáles
son sus dimensiones?
Como se trata de un rectángulo sus dimensiones son base (largo) y altura
(ancho).
Sea:
{
𝑥 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑚)
𝑦 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎(𝑚)
Se sabe que el perímetro (𝑷), es la suma de las longitudes de los lados.
Para el rectángulo:𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦
Es decir:2𝑥 + 2𝑦 = 150 ⟹ 𝑥 + 𝑦 = 75 𝟏)
Área:Es el producto de la base por la altura
𝐴 = 𝑏∗ℎ
Luego;
𝑥𝑦 = 1400 𝟐)
Se tiene un sistema 𝟐𝒙 𝟐. Empleando el método de sustitución:
𝑑𝑒 1) → 𝒚 = 𝟕𝟓 − 𝒙𝟑)
𝟑) 𝒆𝒏𝟐) → 𝑥(75 − 𝑥) = 1400
75𝑥 − 𝑥 2 = 1400
Igualando a cero y multiplicando por −𝟏, se tiene:
𝑥 2 − 75𝑥 + 1400 = 0
Factorizando:
(𝑥 − 35)(𝑥 − 40) = 0
𝑥 − 35 = 0 ∨ 𝑥 − 40 = 0
𝑥 = 35𝟒) ∨ 𝑥 = 40 𝟓)
𝟒) 𝒆𝒏𝟑)
𝑦 = 75 − 35 ⟹ 𝒚 = 𝟒𝟎
𝟓) 𝒆𝒏𝟑)
𝑦 = 75 − 40 ⟹ 𝒚 = 𝟑𝟓
Como en un rectángulo la base ó largo es mayor que al altura, se puede
tomar como respuesta:
𝑹/ {
𝑩𝒂𝒔𝒆 ⟹ 𝟒𝟎𝒎
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 ⟹ 𝟑𝟓𝒎
2. Una manicurista atiende en promedio 90 clientes cada semana, cobrando una
tarifa de $ 12000 a cada uno. Si por cada incremento de $ 1000 en la tarifa,
pierde 10 clientes; ¿Qué precio deberá fijar para obtener ingresos semanales
de $ 680.000?
Puede observarse que en este caso las variables son el número de
clientes y la tarifa por cliente.
Sea:
{
𝑥 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑤 = 𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 ($)
Perder 10 clientes por cada $ 1000 equivale a perder 1 cliente por cada
$ 100.
Luego;
𝑥 = 90 −
𝑤
; 𝑪𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒂𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂
100
12000 + 𝑤 = 𝑻𝒂𝒓𝒊𝒇𝒂𝒂𝒄𝒐𝒃𝒓𝒂𝒓
Por tanto;
(90 −
𝑤
) (12000 + 𝑤) = 680000
100
𝑤2
1080000 + 90𝑤 − 120𝑤 −
= 680000
100
Multiplicando por 100, obtenemos:
108000000 + 9000𝑤 − 12000𝑤 − 𝑤 2 = 68000000
Igualando a cero, simplificando y multiplicando por −𝟏. Se tiene que:
𝑤 2 + 3000𝑤 − 40000000 = 0
Factorizando el trinomio e igualando a cero cada factor, tenemos que:
(𝑤 + 8000)(𝑤 − 5000) = 0
𝑤 + 8000 = 0 ∨ 𝑤 − 5000 = 0
𝒘 = −𝟖𝟎𝟎𝟎 ∨ 𝒘 = 𝟓𝟎𝟎𝟎
Como 𝒘 representa un aumento, este debe ser positivo;
Por tanto;
𝑤 = 5000
Luego la tarifa a cobrar será de:
12000 + 5000 = 17000
𝑹/ $ 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎
Miscelánea
1. Encontrar las dimensiones de un rectángulo si su área es de 168 m 2 y su diagonal tiene
una longitud de 25 metros.
R/ 7 y 24 metros
2. Dos números no nulos tienen su producto, su suma y la diferencia de sus cuadrados
iguales entre sí. Hallar los números.
R/
𝟑+√𝟓
𝟐
𝒚
𝟏+√𝟓 𝟑−√𝟓
𝟐
;
𝟐
𝒚
𝟏−√𝟓
𝟐
3. Un jardín rectangular tiene un área de 150 m2 y está rodeado de una acera de
concreto de 1.5 m de ancho. Encontrar las dimensiones del jardín sabiendo que el área
de la acera es de 98 m2
R/ 6.47 y 23.2 metros
4. Se construye una caja con un volumen de 1440 m3, utilizando una hoja metálica
rectangular en la que se cortan cuadrados de 3 cm de lado en las esquinas y doblando
luego los lados. Encuéntrese las dimensiones de la hojametálica si su área es de 792
cm2.
R/ 22 y 36 cm
5. La suma de los recíprocos de 2 números enteros consecutivos es 15/56
Hallar los números
R/ 7 y 8
6. Dos llaves llenan un depósito en 6 horas. ¿Cuánto necesitará cada llave,
separadamente para llenarlo, sabiendo que la primera tarda 5 horas más que la
segunda?
R/ 10 y 15 horas
7. Un prado rectangular de 50 metros de longitud y 34 metros de ancho, tiene a su
alrededor un camino (exterior) de ancho uniforme; si el área del camino es de 864 m 2.
Hallar el ancho del caminoR/ (𝟑√𝟕𝟑 − 𝟐𝟏) metros
8. Resolver el problema anterior, si el camino es interior y tiene un área de 540m2
9. En un triángulo, la hipotenusa mide 35 y la diferencia entre los catetos es 7. Hallar
éstos
R/ 21 y 28
10. El área de un triángulo rectángulo es 84 m2. Encontrar la longitud de los catetos
sabiendo que difieren entre sí 17 metros
R/ 7 y 24 metros
11. Un patrono y un empleado convienen en lo siguiente: el patrono da al empleado
tantos dólares diarios como días trabaje y el empleado pagará al patrono, tantas veces
el jornal convenido, cuántos días no hubiera trabajado; después de 75 días, el
empleado recibe $1643. ¿Cuántos días trabajó el empleado?R/ 53 días
12. Una ventana tiene forma de un rectángulo rematado por un semicírculo.
Hallar las dimensiones del rectángulo si el perímetro y el área de la ventana son 20
2⁄7 m y 26 2⁄7 m2, respectivamente. Use 𝜋 = 22⁄7.
R/ 4 y 5 m
13. En un trapecio ABCD, las bases AB y DC son perpendiculares a AD; además DC, es 8 cm
mayor que BC y 4 cm menor que AB. Hallar los lados si el perímetro es de 38 cm.
R/ 13 cm, 5 cm, 17 cm
14. La cuidad A está a 768 Km al oeste de la cuidad B. 2 aviones hacen un viaje redondo
entre las 2 ciudades en 7 y 10 horas respectivamente. Durante todo el viaje estuvo
soplando viento del este con velocidad constante. Hallar la velocidad relativa al aire de
cada avión, sabiendo que la del segundo avión fue 5⁄7 que la del primero.
R/ 224 km y 160 km/h
15. Una persona compró un lote de acciones por $11000. Después de un año recibió como
dividendo $220 por cada acción y 20 acciones adicionales. Entonces vendió las
acciones ganando en cada una $2 sobre el precio de compra. Si la utilidad fue de
$1980 en total; hallar el número de acciones y el precio inicial de cada una.
R/ 200 acciones a $55 cada una
16. Las aristas de 3 cubos son números pares consecutivos, al colocar un cubo sobre otro
(de mayor a menor), la suma de las áreas expuestas es de 900 m2. ¿Cuánto mide cada
uno de los lados?R/ 6 m, 8 m, 10 m.
17. Un paquete debe ser trasportado a una distancia de 35 km. Una persona lo lleva
durante 20 km y otra lo lleva el resto, a una velocidad uniforme menor en 2 ½ km/h.
Encontrar cada velocidad, si el tiempo de recorrido total fue de 4 horas. R/10 Km/h y
7.5 Km/h
18.Se va a enmallar un terreno rectangular el cual tiene una división por la
mitad .Si se dispone de 1300m de alambre para cercar todo el terreno,
incluida la cerca del medio, cuales son las dimensiones del terreno de área
máxima que se puede cercar con esa cantidad de alambre ?
19.Se dispone de 40 m de tubería la cual se va a cortar en dos partes: una
se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo
equilátero.¿ Cómo se debe cortar la tubería para que el área de las dos
figuras sea mínima ?