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Longitud de arco
Ya sabemos cómo calcular la longitud, L, de una curva C, definida por y = F(x), a ≤
x ≤ b .la fórmula 3 de la sec, 8..1 establece que si F´es continua, entonces .
2
𝑏
𝑑𝑦
L=∫𝑎 √1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥
[1]
Vamos a suponer que C también se puede describir con las ecuaciones
paramétricas x = f(t) y g(t), α ≤ t ≤ β, donde dx/dt = f´(t) >0. Esto quiere decir que C
es recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida que t aumenta desde α
hasta β y f(α) =a, f(β) = b. si colocamos la fórmula 1 y empleamos la regla de
sustitución, obtenemos
2
𝑏
𝛽
𝑑𝑦
𝑑𝑦/𝑑𝑡
L=∫𝑎 √1 + ( ) 𝑑𝑥 = ∫𝛼 √1 + (
)^2
𝑑𝑥
𝑑𝑥/𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Como dx/dt > 0, entonces
2
[2]
2
𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑦
L=∫𝛼 √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡
Aun cuando C no pueda expresarse en la forma y = F(x), la fórmula 2 sigue siendo
válida, pero la deducimos por medio de aproximaciones poligonales. Sea P una
partición de [α,β] en n subintervalos de igual longitud ∆t. si 𝑡0 ,𝑡1 ,𝑡2 , , , , ,𝑡𝑛 , son las
coordenadas de los puntos 𝑝𝑖 (x, y) que están en C y el polígono de vértices 𝑝0 ,𝑝1, ,
, , ,𝑝𝑛 se aproxima a C
Definiremos la longitud de L, de C, como el límite de las longitudes de estos
polígonos de aproximación, cuando n→∞ :
L = lim ∑𝑛𝑖=1|𝑝𝑖−1 𝑝𝑖 |
𝑛→∞
El teorema del valor medio, aplicado a f en el intervalo [𝑡𝑖−1,
𝑡𝑖 *en [𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖 ] tal que f(𝑡𝑖 ) – f(𝑡𝑖−1 ) = f´(𝑡𝑖 *)(𝑡𝑖 -𝑡𝑖−1 )
𝑡𝑖 ],
da un número
Si hacemos ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 -𝑥𝑖−1 y ∆𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 -𝑦𝑖−1 , obtenemos
De igual forma, aplicado a g, el teorema de valor medio da como resultado
un número;
𝑡𝑖 ** En (𝑡𝑖−1 ,𝑡𝑖 ) tal que
∆𝑦𝑖 = g´(𝑡𝑖 *)∆t
Por lo tanto,
|𝑝𝑖−1 𝑝𝑖 | = √(∆𝑡𝑖 )2 + (∆𝑦𝑖 )2
=√[𝑓´(𝑡𝑖 ∗)∆𝑡]2 + [𝑔´(𝑡𝑖 ∗∗)∆𝑡^2]
=√[𝑓´(𝑡𝑖 ∗)]2 + [𝑔´(𝑡𝑖 ∗∗)]2 ∆𝑡
Y así
[3]
L = lim ∑𝑛𝑖=1 √[𝑓´(𝑡𝑖 ∗)]2 + [𝑔´(𝑡𝑖 ∗∗)2 ]∆𝑡
𝑛→∞
La suma de la ecuación 3 nada más es similar a la suma de Riemann para la
función
√[𝑓´(𝑡𝑖 )]2 + [𝑔´(𝑡𝑖 )]2 , pero no es exactamente una suma de Riemann, porque en
general
𝑡𝑖 *≠ 𝑡𝑖 **, sin embargo, cuando f´ y g´ son continuas, es posible demostrar que en el
límite en la ecuación 3 se puede considerar que 𝑡𝑖 * y 𝑡𝑖 ** son iguales es decir, que
𝛽
L = ∫𝛼 √[𝑓´(𝑡)]2 + [𝑔´(𝑡)]2 dt
Así, con la notación de Leibniz llegamos al resultado, que tiene la misma forma
que la ecuación 2.
[4] Teorema si una curva C se describe con las ecuaciones paramétricas x = f(t),
Y = g (t), α ≤ t ≤ β, donde f´ y g´ son continuas en [𝛼, 𝛽] y C es recorrida una sola
vez cuando t aumenta desde 𝛼 hasta β, la longitud de C es
2
2
𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑦
L = ∫𝛼 √( ) + ( ) dt
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Secciones cónicas
En esta parte presentaremos las definiciones geométricas de la parábola, elipse y
la hipérbola; así mismo, deduciremos sus ecuaciones cónicas. Estas curvas se
denominan secciones cónicas (o simplemente cónicas), porque son el resultado
de interpretar n cono con un plano
Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos, en un plano, que equidistan de un punto fijo, F
(foco), y una recta fija (directriz). El punto que está a medio camino entre el foco y la
directriz que pertenece a la parábola se llama vértice. La recta que pasa por el foco
perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola.
En el siglo xvl galileo demostró que la trayectoria de un proyectil disparado al aire,
formando un ángulo con el terreno, es una parábola. Desde entonces, las formas
parabólicas se han empleado para diseñar faros de automóviles, telescopios reflectores y
puentes colgantes se llega a una ecuación especialmente sencilla de la parábola si
colocamos su vértice en el origen, 0, y su directriz paralela al eje x, cuando el foco es el
punto (0,p), la ecuación de la directriz es y = -p, si p(x, y) es un punto de la parábola, la
distancia de p al foco es
|𝑃𝐹| = √𝑋 2 + (𝑌 − 𝑃)2
Y la distancia de p a la directriz es |𝑦 − 𝑝|. L propiedad definitoria de una parábola
es que estas distancias son iguales:
√𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = |𝑦 + 𝑝|
Elevamos al cuadrad, simplificamos y obtenemos una ecuación equivalente:
𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = |𝑦 − 𝑝|2 = (𝑦 + 𝑝)2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦 2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
[1] La ecuación de una parábola con foco en (0, p) y directriz en 𝑦 = −𝑝 𝑒𝑠
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
1
Si combinamos a 𝑎 = (4𝑝), la ecuación cónica 1 de la parábola e transforma en
𝑦 = 𝑎𝑥 2 . se abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0
Si intercambiamos x y y en la ecuación (1), obtenemos
[2]
𝑦 2 = 4𝑝𝑦
Que es la ecuación en (p, 0) y directriz de ecuación x = -p.
(Intercambiar x con y equivale a reflejar x = y en la línea diagonal.) La parábola se
abre hacia la derecha si p > 0 y hacia la izquierda si p < 0. En ambos casos la
gráfica es simétrica con respecto al eje x, que es el eje de la parábola.
EJEMPLO 1 Localice y directriz de la parábola 𝑦 2 + 10𝑥 = 0 describa la grafica
SOLUCION Si escribimos la ecuación en la forma 𝑦 2 = −10𝑥 y la comparamos
con la ecuación 2, vemos que 4p = -10 así p = -5/2. En consecuencia, el foco está
en (p, 0) = (-5/2, 0) y la ecuación de la directriz es x = 5/2, vemos que la parábola
abre hacia la izquierda.
Elipses
Una elipse es el conjunto de puntos en el plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos, 𝐹1 𝑌𝐹2 es constante. Esos dos puntos fijos se llaman focos. Una de
las leyes de Kepler dice que las orbitas de los planetas del sistema solar son
elipses y el sol está en uno de los focos.
A fin de obtener la ecuación más sencilla de la elipse, llamada ecuación canónica,
colocamos los puntos en el eje x en los puntos (-c, 0) y (c,0) para que el origen
quede a medio camino entre ellos, sea 2a > 0la suma de las distancias de un
punto de la elipse a los focos. Entonces p(x, y) es un punto en la elipse si
|𝑃𝐹1 | + |𝑃𝐹2 | = 2𝑎
Esto es, si,
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎
O sea
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos
𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
Que se simplifica y da
𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥
Si elevamos al cuadrado, obtendremos:
𝑎2 (𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 ) = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2
Que se transforma en (𝑎2 − 𝑐 2 )𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 )
En el triángulo 𝐹1 , 𝐹2 𝑃 veamos que 2c < 2a, así que c < a y, por consiguiente,
𝑎2 − 𝑐 2 > 0. Por comodidad, haremos que 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 . De esta manera la
ecuación de a elipse se transforma en 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 o bien, si dividimos
ambos lados entre 𝑎2 𝑏 2 ,
𝑥2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
𝑎2
[3]
En vista de que 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 < 𝑎2 , entonces b < a. las abscisas al origen se
𝑥2
calculan con y = 0. Entonces 𝑎2 = 1 osea, 𝑥 2 = 𝑎2 , así que x = ±𝑎. Los puntos
correspondientes, (a, 0) y (-a, 0) se llaman vértices de la elipse y el segmento que
los une es el eje mayor. Para hallar las coordenadas al origen, hacemos x = 0 y
obtenemos 𝑦 2 = 𝑏 2 , así que 𝑦 = ±𝑏 la ecuación (3) no cambia si x reemplaza a –x
o y sustituye a –y, de modo que la elipse es simétrica respecto a ambos ejes,
observe que si los focos coinciden, c = 0, así a = b y a elipse se transformaa en un
círculo con radio r = a = b
[4]
La elipse
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
𝑎≤𝑏<0
Tiene los focos en (±𝑐, 0) donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 , y sus vértices están en (±𝑎, 0).
Si los focos de una elipse están en el eje y 𝑦 en los putos (0, ±c) entonces
podemos hallar una ecuación intercambiando x por y en la ecuación [4].
[5]
La elipse
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
a≤ 𝑏 <0
Tiene los focos en (0, ±c), donde 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 , y sus vértices están en (0, ±a).
Ejemplo: 2, en la grafica 9𝑥 2 + 16𝑦 2 = 144, localice los focos.
Solución: dividimos ambos lados de la ecuación entre 144:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
La ecuación se encuentra ahora en su forma canónica, con lo cual 𝑎2 = 16, 𝑏 2 =
9, así a = 4 y b = 3 las abscisas al origen son ±4 y las ordenadas al origen ±3.
También, 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 = 7, así que c = √7 y los focos están en (±√7, 0).
Ejemplo 3
Escriba una ecuación de la elipse con focos en (0, ±2)y vértices en (0, ±3)
Solución de acuerdo con la notación de la ecuación 5, c = 2 y a = 3 así vemos que
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 =9 – 4 = 5, y la ecuación de la elipse es
𝑥2
5
+
𝑦2
9
=1
Otro modo de escribir a ecuación es 9𝑥 2 + 5𝑦 2 = 45
Al igual que las parábolas, las elipses presentan una propiedad reflectora
interesante, de consecuencias prácticas. Si se coloca una fuente luminosa o
sonora en uno de los focos de una superficie de sección transversal elíptica, toda
la luz o sonido se refleja de la superficie hacia el otro foco.
Hipérbolas
Una hipérbola es el conjunto de puntos en un plano cuyas diferencias de distancia
a dos puntos fijos,𝐹1 𝑌 𝐹2 (los focos), son iguales a una constante.
Observe que la definición de una hipérbola es similar a la de una elipse; el único
cambio es que las sumas de las distancias se transformó en diferencia de
distancias. De hecho, la deducción de la ecuación de una hipérbola también se
parece a la que presentamos para la elipse. Así la ecuación de a hipérbola es
[6]
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = 1
Donde 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 .observe que, otra vez, las abscisas al origen son ±a, y que los
puntos (a, 0) y (-a,0) son los vértices de la hipérbola. Pero si hacemos que x = 0
en la ecuación 6, obtendremos 𝑦 2 = −𝑏 2, que es imposible, así que no hay
ordenada al origen. La hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes.
Para seguir analizando la hipérbola partiremos de la ecuación 6 y obtenemos
𝑥2
𝑎2
𝑦2
= 1 + 𝑏2 ≥ 1
Esto demuestra que 𝑥 2 ≥ 𝑎2 , así que |𝑥| = √𝑥 2 ≥ 𝑎. Por consiguiente 𝑥 ≥ 𝑎 o bien
𝑥 ≤ −𝑎. Lo cual quiere decir que la hipérbola está formada por dos partes
llamadas ramas.
Al trazar una hipérbola, se aconseja dibujar primero las asíntotas, que son las
rectas representadas por y = (b/a)x y 𝑦 = − (b/a)x las dos ramas de la hipérbola
tienden hacia las asíntotas; esto es, se le acercan arbitrariamente. y = (b/a)x es
una asíntota oblicua.
[7]
La hipérbola
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏 2
Tiene sus focos en (±c, 0), donde 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 , sus vértices en (±a,0) , y su
asíntotas tienen ecuaciones y = ±(b/a)x.
Si os focos de una hipérbola estas en el eje y, invertimos 𝑦 y x y obtenemos la
siguiente información
[8]
La hipérbola
𝑦2
𝑎2
𝑥2
− 𝑏2 = 1
Tiene focos (0, ±c), donde 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 , vértices (0,±a), y asíntotas y = ±(a/b)x.
Ejemplo 4, determine los focos y las asíntotas de la hipérbola 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144
Solución si dividimos ambos lados de la ecuación entre 144, obtenemos
𝑥2 𝑦2
−
=1
16 9
Que tiene la forma de la ecuación 7, con a = 4 y b = 3, ya que 𝑐 2 = 16 + 9 = 25,los
3
3
focos están en (±5, 0) las asíntotas son las rectas 𝑦 = 4𝑥 y 𝑦 = − 4𝑥
Sucesiones monótonas y acotadas
Aunque para nosotros sido suficiente entender una sucesión como una lista
interminable de números reales dispuestos en un orden determinado, será
también útil aclarar el concepto formal de sucesión es e siguiente:
Definición una sucesión es una función
𝑓 ∶ ℕ → ℝ.
Es lo mismo hablar de una sucesión como función o como lista interminable. En
efecto, dada una función 𝑓 ∶ ℕ → ℝ, podemos construir la lista ordenada de
números:
𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3), …
Y viceversa, dada una lista interminable de números reales,
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ,….
Podemos definir una función 𝑓 ∶ ℕ → ℝ con la regla
𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛
En general cuando hablemos de una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ,…., escribiremos: “la
sucesión (𝑎𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ”
Por ejemplo, hablar de la sucesión 2, 4, 8, 16, 32,……,2𝑛 ,…., escribiremos: “la
sucesión (2𝑛 ) 𝑛 ∈ ℕ”.
Nota si n ∈ ℕ, 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 > 𝑁} 𝑦 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ es una función, esta última se
puede considerar como una sucesión, a saber la sucesión: 𝑓(𝑁 + 1), 𝑓(𝑁 + 2),
𝑓(𝑁 + 3) ,…., o sea, la función 𝑔 ∶ ℕ → ℝ tal que 𝑔(1) = 𝑓(𝑁 + 1), 𝑔(2) =
𝑓(𝑁 + 2), 𝑔(3) = 𝑓(𝑁 + 3), … … , 𝑔(𝑛) = 𝑓(𝑁 + 𝑛), …
1
Ejemplo: 𝑓(𝑛) = 𝑛−3 para n > 3 se puede considerar como la sucesión cuyo
1
primer término es 𝑎1 = 𝑓(4) = 1, el segundo término es 𝑎2 = 𝑓(5) = 2 y así
1
sucesivamente, 𝑎𝑛 = 𝑓(3 + 𝑛) = 𝑛.
Para continuar, suplicamos al alumno que repase el concepto de función
monótona (ya sea creciente o decreciente) en un subconjunto de ℝ, porque
nuestra siguiente definición es un caso particular de tales conceptos.
Si solo si ∀𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 < 𝑚 ⇒ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑚 ,
a) Decreciente (monótona decreciente)
Si solo si ∀𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 < 𝑚 ⇒ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑚 ,
b) Estrictamente decreciente
Si solo si ∀𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑛 < 𝑚 ⇒ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑚 .
Esta definición es equivalente, en el caso de las sucesiones,
Una sucesión (𝑎𝑛 )𝑛 ∈ ℕ es:
a) creciente (monótona creciente) si solo si
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ,
b) estrictamente creciente si solos si
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 .
c) decreciente (monótona decreciente) si solo si
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ,
d) estrictamente decreciente si solo si
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 .
Ejemplos:
1. considere la sucesión (𝑎𝑛 )𝑛 ∈ ℕ, donde 𝑎𝑛 = 𝑛. Como para cada 𝑛 ∈
ℕ, 𝑎𝑛 = 𝑛 < 𝑎𝑛+1 , la sucesión es estrictamente creciente.
2. Sean 𝑎1 = 0.3, 𝑎2 = 0.33, 𝑎3 = 0.333, … …en general 𝑎𝑛 =
0.33. . .33(𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠).
Como se ve, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+
3
10𝑛+1
> 𝑎𝑛
Operaciones con conjuntos
Definición: sean X y Y, dos conjuntos. Definimos
La unión de X y Y, denotada por 𝑋 ∪ 𝑌, como
𝑋 ∪ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋 ó 𝑥 ∈ 𝑌}.
Es decir, x puede estar en X ó puede estar en Y o puede estar en ambos
conjuntos.
La intersección de X y Y, denota por 𝑋 ∩ 𝑌, como
𝑋 ∩ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋 𝑦 𝑥 ∈ 𝑌}.
Es decir, ambos conjuntos deben estar en ambos conjuntos.
De las definiciones anteriores, se concluye de inmediato que:
i)𝑋 ⊂ 𝑋 ∪ 𝑌, 𝑌 ⊂ 𝑋 ∪ 𝑌, para cualesquiera dos conjuntos X y Y.
ii)𝑋 ∩ 𝑌 ⊂ 𝑋, 𝑋 ∩ 𝑌 ⊂ 𝑌, para cualesquiera dos conjuntos X y Y.
Ejemplos: sean X = {a, b, c, d} y Y = {c, d, f, g, h}. Entonces 𝑋 ∪ 𝑌 = {a, b, c, d, f,
g, h} y 𝑋 ∩ 𝑌 = {c, d}.
Teorema sean X, Y y Z tres conjuntos. Entonces
1.
2.
3.
4.
5.
𝑋 ∪ ∅ = 𝑋 𝑦 𝑋 ∩ ∅ = ∅. (𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑).
𝑋 ∪ 𝑋 = 𝑋 𝑦 𝑋 ∩ 𝑋 = 𝑋. (𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎).
𝑋 ∪ 𝑌 = 𝑌 ∪ 𝑋 𝑦 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑌 ∩ 𝑋. (𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠).
𝑋 ∪ (𝑌 ∪ 𝑍) = (𝑋 ∪ 𝑌) ∪ 𝑍 𝑦 𝑋 ∩ (𝑌 ∩ 𝑍) = (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ 𝑍. (𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠).
𝑋 ∪ (𝑌 ∩ 𝑍) = (𝑋 ∪ 𝑌) ∩ (𝑋 ∪ 𝑍) 𝑦 𝑋 ∩ (𝑌 ∪ 𝑍) = (𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (𝑋 ∩
𝑍). (𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠).
Demostración. Demostremos las propiedades 1. y 5. Las demás se las
dejamos al lector.
En 1.
𝑋 ∪ ∅ = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋 ó 𝑥 ∈ ∅} = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋} = 𝑋,
𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∅ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠|
En 5. Usando las leyes distributivas del algebra de proposiciones, tenemos que
𝑋 ∪ (𝑌 ∩ 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋 ó 𝑥 ∈ (𝑌 ∩ 𝑍)}
= {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝑋 ó (𝑥 ∈ 𝑌 𝑦 𝑥 ∈ 𝑍)}
= {𝑥 ∈ 𝑈: (𝑥 ∈ 𝑋 ó 𝑥 ∈ 𝑌) 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑋 ó 𝑥 ∈ 𝑍)}
= {𝑥 ∈ 𝑈: (𝑥 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌)) 𝑦 (𝑥 ∈ (𝑋 ∪ 𝑍))}
= {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌) ∩ (𝑋 ∪ 𝑍)}
= (𝑋 ∪ 𝑌) ∩ (𝑋 ∪ 𝑍).
El siguiente teorema nos da una relación entre las operaciones de unión,
intersección de conjuntos y la relación de contención.
Teorema:
sean X y Y dos conjuntos. Son equivalentes
1. X ⊂ Y.
2. 𝑋 ∪ 𝑌 = 𝑌.
3. 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑌.
Demostración. Para demostrar la equivalencia de las tres proposiciones,
demostraremos 1. ⇒ 2., 1.⇒ 3., 2. ⇒ 1, 3. ⇒ 1.
1.⇒ 2. Es claro que 𝑌 ⊂ 𝑌 ∪ 𝑋. Veamos la otra contención. Como X ⊂ Y,
entonces 𝑋 ∪ 𝑌 ⊂ 𝑌 ∪ 𝑌 = 𝑌. Luego se tiene la igualdad.
1. ⇒ 3. Es claro que 𝑋 ∩ 𝑌 ⊂ 𝑋. Veamos la otra contención, sea 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋 ⊂ 𝑌,
entonces x ∈ Y, luego 𝑋 ⊂ 𝑋 ∩ 𝑌.
Las otras dos demostraciones se le dejan al lector.
Definición: sea X y Y dos conjuntos. Definimos
La diferencia de X y Y denotada por X-Y, como
𝑋 − 𝑌 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑋 𝑦 𝑥 ∉ 𝑌}.
SI U es el conjunto universal, la diferencia
𝑈 − 𝑋 = {𝑥 ∈ 𝑢: 𝑥 ∉ 𝑋}.
Se le llama el complemento de X en U, cuando está claro e contexto, simplemente
se denota por 𝑋 𝑐
En particular, si Y ⊂ X, el complemento de Y con respecto a X, denotad por 𝐶𝑥 𝑌, =
𝑋 − 𝑌.
Obsérvese que la operación de complementación está definida únicamente
cuando un conjunto es subconjunto de otro, sin embargo en la operación
diferencia no existe, necesariamente, una relación entre los dos conjuntos. Se
suele denotar a 𝐶𝑋 𝑌 como 𝑌 𝐶 cuando no hay confusión de quien es X. La relación
entre ambas operaciones está dada por el siguiente teorema
Teorema: sea Z un conjunto. Sean X y Y subconjuntos de Z. entonces
𝑋 − 𝑌 = 𝑋 ∩ 𝑌𝐶 .