EJERCICIOS 6 (1) Considere R 3 con el producto
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EJERCICIOS 6
(1) Considere R3 con el producto interno canónico. Encontrar el complemento ortogonal M ⊥ ⊂ R3 del subespacio
M = hx1 , x2 i de R3 generado por
1
1
x1 := 1 ,
x2 := 2 .
2
3
(2) Considere R5 con el producto interno canónico. Encontrar una base ortonormal para el subespacio W =
hx1 , x2 , x3 , x4 i de R5 , donde
1
2
0
2
0
−1
1
1
x1 := 0 ,
x2 := 0 ,
x3 := 0 ,
x4 := 1 .
0
−1
−1
−1
1
1
0
−1
(3) Considere R4 con el producto interno canónico. Sea W := hx1 , x2 , x3 i el subespacio de R4 generado por los
vectores
1
2
4
2
1
2
x := ,
y := ,
z := .
3
−1
3
4
1
1
Encontrar un vector w ∈ W tal que hw, xi = hw, yi = 0.
(4) Sea V el subespacio de polinomios R[x] con grado a lo más 3. Dótese V con el producto interno
Z 1
h f (t), g(t)i :=
f (x)g(x) dx.
−1
(1) Hallar el complemento ortogonal del subespacio de polinomios escalares;
(2) Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a la base {1, x, x2 , x3 }.
(5) Sea V un espacio producto interno de dimensión finita y sea {v1 , . . . , vn } una base ortonormal de V. Demostrar
que para vectores v, w cualesquiera de V
n
X
hv, wi =
hv, vk ihw, vk i.
k=1
1
2
EJERCICIOS 6
(6) Sea W el subespacio de R2 generado por el vector (3, 4). Usando el producto interno canónico, sea E la
proyección ortogonal de R2 sobre W. Hallar
(1) la matriz de E en la base ordenada canónica;
(2) W ⊥ ;
(3) una base ortonormal en que E está representada por la matriz
"
#
1 0
.
0 0
(7) Sea W el subespacio de R2 generado por el vector (3, 4) y sea E la proyección ortogonal de R2 sobre W. Use el
producto interno cuya forma cuadrática está definida por
k(x1 , x2 )k2 = (x1 − x2 )2 + 3x22 .
Hallar
(1) la matriz de E en la base ordenada canónica;
(2) W ⊥ ;
(3) una base ortonormal en que E está representada por la matriz
"
#
1 0
.
0 0
(8) Considere la matriz siguiente:
#
5 1+i
A :=
.
1−i 2
(1) Probar que A tiene valores propios positivos.
Sea σ : C → C el automorfismo de conjuaction compleja. Sea f la forma σ-sesquilineal tal que A es la matriz asociado
a f con respecto al base ordenada canónica.
(2) Probar que f es un producto interno.
(3) Encuentre una base B tal que [ f ]B = I, la identidad.
"
(9) Sea V = M(2, C) con producto interno
h·, ·i : V × V → C, (A, B) 7→ tr(A∗ B).
Sean
"
#
*"
# "
#+
1 2
3 0
2i 3
v=
y W=
,
.
3 4
i 2 1+i 0
Encontrar la mejor aproximación de v por vectores de W.
(10) Este es un conjectura: Sea V un espacio vectorial finitodimensional y sea B una base de V. Probar que hay
un producto interno V × V → F tal que B es ortogonal. Probar que hay un producto interno V × V → F tal que B es
ortonormal.
Si el conjectura es verdadero, ¡demuéstrelo! Si no, ¡Deme un contraejemplo!
