Apuntes cónicas - Facultad de Ciencias Naturales

UNPSJB Asignatura: Matemática 1
Facultad Ciencias Naturales Ciclo Lectivo: 2014
CONICAS
La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente
cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta que se hace girar alrededor de
un eje fijo, de tal modo que la recta siempre pase por un punto fijo sobre el eje, llamado
vértice, y que forme siempre el mismo ángulo con el eje. El cono consta de dos partes o
mantos que se intersectan en el vértice.
Definición:
Una sección cónica, o simplemente CONICAS, es la curva que puede obtenerse de la
intersección de un plano y un cono, como se muestra a continuación:
Circunferencia:
Se obtiene intersecando un cono con un plano perpendicular al eje y que
no contenga al vértice.
Elipse:
Si el plano de corte se inclina ligeramente e interseca solo un manto, la
intersección que resulta es una elipse
Parábola:
Si inclinamos aún más el plano de corte, de tal modo que sea paralelo a
una recta sobre la superficie del cono pero que solo intersecte un manto,
la intersección que resulta es una parábola
(cónica que en este curso no analizaremos)
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Hipérbola:
Si el plano intersecta ambos mantos, pero sin contener al vértice, la
intersección que resulta es una hipérbola.
Para realizar las representaciones gráficas de dichas curvas, necesitamos conocer las
ecuaciones correspondientes a cada cónica, es por esto que estudiaremos otro enfoque, el
cual permite tratar a las cónicas como lugares geométricos, es decir, como conjunto de
puntos que cumplen una propiedad determinada .
La ecuación general de una cónica tiene la forma
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
Los coeficientes A y B determinan el tipo de cónica que dicha ecuación representa:
A = B → CIRCUNFERENCIA
| A | ≠ | B | ( pero A y B de igual signo) → ELIPSE
| A | ≠ | B | ( pero A y B de distinto signo) → HIPERBOLA
Para obtener la ecuación canónica de una cónica, dada la ecuación general, se debe
completar cuadrados.
ECUACION CANÓNICA O REDUCIDA DE UNA CÓNICA
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo,
llamado centro, es constante.
Sea el centro C de coordenadas ( h ; k ) y radio r > 0, la ecuación reducida o canónica es:
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
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Ejemplo : la representación de la circunferencia
con centro (-2; -1) y radio r = 2 es:
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(x + 2)2 + ( y + 1)2 = 4
Ejercicio : Dar la ecuación de la circunferencia de la siguiente figura.
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Ejercicio : Dar la ecuación canónica de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r.
Elipse: es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante.
Caso 1: Eje focal paralelo al eje “x” o coincidente con eje “x”.
Si el centro de la elipse es el punto ( h ; k ) la ecuación reducida o canónica de la elipse es:
( x − h )2 + ( y − k )2
a2
b2
=1
Caso 2: Eje focal paralelo al eje “y” o coincidente con eje “y”.
Si el centro de la elipse es el punto ( h ; k ) la ecuación reducida o canónica de la elipse es:
(x − h )2 + ( y − k )2
b2
a2
=1
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En ambos casos se tiene que :
2.a es la medida del eje mayor,
2 b es la medida del eje menor
Es decir , a y b representan la medida de los semiejes mayor y menor respectivamente de la elipse
por lo que se cumple siempre que a > b.
Los focos F1 Y F2 están siempre sobre el eje mayor y cada uno de ellos se encuentra a una distancia c
del centro (h, k) .
En toda elipse se verifica que a 2 = b 2 + c 2
Ejemplo : la representación gráfica de la elipse
(x − 1)2 + ( y + 3)2 = 1
4
9
Con centro ( 1; -3)
Semieje mayor a = 3
Semieje menor b = 2
es
Ejercicio : Dar la ecuación de la elipse que se indica en el siguiente gráfico.
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Ejercicio : Dar la ecuación canónica de la elipse con centro (0, 0) y semiejes a y b
correspondientes a los casos 1 y 2 mencionados.
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Caso 1 : Eje focal paralelo al eje “x” o coincidente con eje “x”.
(x − h )2 − ( y − k )2 = 1
+
a2
b2
Caso 2 : Eje focal paralelo al eje “y” o coincidente con eje “y”.
2
2
(
x − h) (y − k )
−
+
a2
b2
=1
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En ambos casos :
(h, k) : es el centro de la hipérbola.
a está asociada al término en “x” y b con el término e “y” .
c es la distancia de cualquiera de los focos F1 o F2 al centro de la hipérbola.
Las ramas de la hipérbola se intersectan con el eje focal en dos puntps llamados vértices.
Obsérvese que los lados de los rectángulos dibujados en cada uno de los gráficos miden 2a y 2b. Las
rectas trazadas sobre las diagonales de éstos rectángulos son asíntotas para las ramas de la hipérbola.
En toda hipérbola se verifica que a 2 + b 2 = c 2
Ejercicio : Dar la ecuación canónica de la hipérbola de la figura, Considerar b = 4
Ejercicio : Escribir la ecuación canónica de la hipérbola con centro (0,0) correspondiente a los casos
vistos.
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