Ecuaciones diferenciales

Herramientas computacionales para la
matemática
MATLAB: Ecuaciones diferenciales.
Verónica Borja Macías
Junio 2012
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Matlab
Ecuaciones diferenciales
 Las ecuaciones diferenciales contienen tanto variables
dependientes como la derivada de la variable
dependiente con respecto a la variable independiente.
Por ejemplo:
dy
=y
dt
 Aunque cualquier símbolo se puede usar para la variable
independiente o para la variable dependiente, la variable
independiente por defecto en MATLAB es t (y es la
elección usual para la mayoría de las formulaciones de
ecuación diferencial ordinaria).
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Matlab
Ecuaciones diferenciales
dy
=y
dt
 Es necesario buscar una función tal que su derivada con
respecto a t sea la misma función. Una posible solución
es:
y = et
dy
t
y
= e=
dt
 Por lo general, las ecuaciones diferenciales tienen más de
una solución. La siguiente familia de funciones de t se
podría expresar mediante la misma ecuación diferencial
es:
y = Cet
 Tratemos de resolver la ecuación previa:
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Matlab
Ecuaciones diferenciales
 Puede especificar la ecuación particular de interés al
especificar una condición inicial.
Por ejemplo, si y (0) = 1
Entonces C = 1
 Una función ligeramente más complicada de t puede ser:
dy 2 y
=
dt
t
En este caso y = t
Ya que dy
2t 2 2 y
= 2=
t
=
dt
t
t
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Matlab
Graficación simbólica
 Usando el Symbolic Math Toolbox la tarea es bastante
sencilla empleando la función dsolve:
Ejemplo:
>> dsolve('Dy=y ' , ' y (0)=1 ')
ans =
exp(t)
>> dsolve( 'Dy=2*y/t ' , ' y( -1 ) =1 ' )
ans =
t^2
>> dsolve( 'Dy=2*y/x ' , ' y( - 1 ) = 1 ' , ' x ' )
ans =
x^2
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Matlab
Ecuaciones diferenciales
 Si una ecuación diferencial incluye sólo una primera
derivada, se llama ecuación diferencial de primer orden.
 Las ecuaciones diferenciales de segundo orden incluyen
una segunda derivada; las ecuaciones de tercer orden,
una tercera derivada, etcétera.
 Para especificar una derivada de orden superior en la
función dsolve, ponga el orden inmediatamente después
de la D.
d2y
= −y
2
dt
Ejemplo:
>> dsolve( ' D2y=-y ' )
ans =
C1*sin(t)+C2*cos (t)
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Matlab
Ecuaciones diferenciales
 NOTA: No use la letra D en los nombres de sus variable
en ecuaciones diferenciales. La función interpretará la D
como especificación de una derivada.
 La función dsolve también se puede usar para resolver
sistemas de ecuaciones diferenciales. Primero mencione
las ecuaciones a resolver, y luego las condiciones. La
función dsolve aceptará hasta 12 entradas
dy
=x
dt
dx
=y
dt
Ejemplo:
>> [x , y] =dsol ve ('Dx=y ' , ' Dy=x ' )
x=
C1*exp (t) -C2*exp(-t)
y=
C1*exp(t) +C2*exp (-t)
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Matlab
Ejercicios
 Intentemos resolver estas ecuaciones diferenciales muy
simples de manera manual y comprobemos nuestro
resultado con MATLAB.
dy
1)
= sen5 x
dx
4) dx − x 2 dy =
0
dy
2) = ( x + 1) 2
dx
dy
x+6
5) ( x + 1) =
dx
3) dx + e dy =
0
dy
6) e
= 2x
dx
3x
x
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