Prácticas Matlab

 Ecuaciones Diferenciales Curso 15‐16 Cálculo II Prácticas Matlab Práctica 11 (3/05/2016) Objetivos o
o
Representar las soluciones de una e.d.o. Resolver con Matlab ecuaciones diferenciales ordinarias de forma simbólica. Comandos de Matlab 1.‐ Para resolver ecuaciones diferenciales de forma simbólica dsolve('eq', 'cond', 'var') Ejemplo: Resolver x '' x '  3 x >> dsolve('D2x+Dx = -a*x', 't')
 y '  2 y
 y  0   3
Ejemplo: Resolver 
>> dsolve('Dy = 2*y', 'y(0) = 3')
2.‐ Para resolver ecuaciones de forma simbólica solve(ecuacion1,ecuacion2,...,ecuacionn) solve(ecuacion1,ecuacion2,...,ecuacionn,variable1,variable2,…,variablen) Ejemplo: Calculamos las raíces de un polinomio genérico de grado 3 >> syms x a b c d
>> v=solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d)
>> r=subexpr(v(1))
>> s=subexpr(v(2))
>> t=subexpr(v(3))
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MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Ejercicios La ecuación del movimiento forzado de un resorte debido a una fuerza exterior que actúa sobre la masa oscilante sujeta a dicho resorte, aplicando la segunda ley de Newton, viene dado por la ecuación diferencial siguiente en el que se relaciona la posición, x, de la masa con el tiempo, t, m
d 2x
dx
 b  k x  f t  2
dt
dt
donde m es la masa, b es la constante de amortiguación, k la constante del resorte y f la fuerza exterior. 1 Aplicación: Considerando d 2x
dx
 6  10 x  25cos 4t 2
dt
dt
Encontrar la posición del resorte considerando las condiciones iniciales x  0   1/ 2 , x '  0   0 . Código Matlab %Halla la solución general de la e.d.o. de segundo orden
syms x t
r = dsolve('D2x+6*Dx+10*x=25*cos(4*t)','t');
r=simplify(r);
disp('La solución general de la e.d.o. es')
pretty(r)
%Halla la solución particular que verifica las dos condiciones
% iniciales: x(0)=1/2, x'(0)=0
particular = dsolve('D2x+6*Dx+10*x=25*cos(4*t)','x(0)=1/2,
Dx(0)=0','t');
particular=simplify(particular);
disp('La solución particular de la e.d.o. que verifica x(0)=1/2,
x´(0)=0 es')
pretty(particular)
%Representación de la solución particular
ezplot(particular,[0,10])
MATLAB: PRÁCTICA 12 PÁGINA 3 Aplicación a la climatización de edificios Si T  t  es la temperatura de un edificio vacío en un instante de tiempo t y E  t  es la temperatura en el exterior (puede ser variable), la ley de Newton afirma que 2 T ' t   k  E t   T t  donde la constante 1/k se denomina constante de tiempo del edificio y suele medirse en horas. Un valor normal para un edificio cerrado oscila entre las 2 y las 4 horas para la constante 1/k. Aplicación: Supongamos que un día caluroso la temperatura exterior se mantiene constante a 35ºC y que en un local comercial los empleados se encuentran trabajando a una temperatura constante de 20ºC gracias al aire acondicionado. Finalizada la jornada laboral a las 2 de la tarde se apaga el aire acondicionado. Si la constante del edificio es de 4 horas, ¿cuál será la temperatura del edificio a las 2 de la tarde? ¿En qué momento la temperatura en el interior será de 27ºC? Código Matlab La ecuación diferencial es T '  t  
1
 35  T  t   con la condición inicial T  0   20º C 4
syms T t
%Solución general
temperatura = dsolve('DT =1/4*(35-T)','t');
r=simplify(temperatura);
disp('La solución general de la e.d.o. es')
pretty(r)
%Solución particular considerando t=0 las 14 horas
temperatura = dsolve('DT =1/4*(35-T)','T(0)=20','t');
r=simplify(temperatura);
disp('La solución particular de la e.d.o. es')
pretty(r)
%Representación de la solución particular
ezplot(r,[0,20])
%A las 4 de la tarde (será t=2 ya que t=0 es las 14 horas)
subs(r,t,2)
%Para encontrar el instante t en el que la temperatura es 27ºC
%se debera resolver la ecuación r=27
solve(r-27)
Solución: La temperatura a las 4 horas será: 15 e  35  25.9º C La temperatura será 27ºC cuando t  4 log
horas y media. 8
 2.51 horas , aproximadamente a las 4 15
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MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Si el edificio no está vacío se produce un calentamiento adicional debido al calor corporal, luces, máquinas en funcionamiento… cuya razón detonaremos por H  t  . Si adicionalmente el edificio dispone de un sistema de calefacción o de aire acondicionado, se produce un aumento o disminución de la temperatura que denotaremos por U  t  . En este caso la 3 Indicación Observar que: ecuación diferencial queda de la siguiente manera: T ' t   k  E t   T t   H t   U t  Aplicación: Un calentador solar de agua consta de un tangue de agua y un panel solar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel genera 2000 kilocalorías por hora durante el día y el tanque tiene una capacidad calorífica de 2ºC por cada 1000 kilocalorías. Si el agua se encuentra inicialmente a 20ºC y la temperatura ambiente es de 20ºC, ¿cuál será la temperatura del tanque al cabo de 12 horas de luz solar? U  t   2º C / 1000kcal x 2000 Kcal / hora  4º C / h 1
La ecuación diferencial es T '  t  
 20  T  t    4 con T  0   20º C 64
Solución: T 12   72.06 º C Resumen de comandos Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I. 
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Para resolver ecuaciones diferenciales: Para resolver ecuaciones algebraicas: dsolve solve