Solucionario INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

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1. Hacemos 3-1x + 2-1x + 6-1x > 5
x x x
+ + >5
3 2 6
2x + 3x + x
6x
>5→
>5→x >5
6
6
2.
Resolvemos 3(x + 1) −
1 x−2
≥
+ 3x − 5
2
4
1 x−2
≥
+ 3x − 5
2
4
12 x + 10 ≥ 13 x − 22
3x + 3 −
x ≤ 32 ......................... Respuesta
3. Resolviendo
x 1 3(x + 3 )
− >
4 3
2
3 x − 4 3x + 9
>
12
2
18 x − 3 x < −4 − 54
15x < - 58
x<−
3 x − 4 > 18 x + 54
/////////
//////////
– 58 / 15
58
................... Respuesta D
15
+
/
0
4. Hacemos:
x +1
≤ x+2
3
x + 1 ≤ 3x + 6
−5 ≤ 2 x
5
x≥−
--------(1)
2
x+3
≤x
2
x + 3 ≤ 2x
-----------(2)
x≥3
x<
2x + 9
4
4x < 2x + 9
2x < 9
x<
9
------------(3)
2
Observando las tres soluciones en la recta numérica:
/
0
/////////
//////////
3
9/2
- 5/2
9
x ∈ [ 3, > ......................... Respuesta A
2
5.
Resolvemos ambas inecuaciones:
2x − 5 1− x
≤
+5
3
3
2 x − 5 1 − x + 15
≤
3
3
3x ≤ 21
x≤7
x + 1 3x + 1
2x + 1
+
≥ 4−
3
2
6
2 x + 2 + 9 x + 3 24 − 2 x − 1
≥
6
6
11x + 5 ≥ 23 – 2x
13x ≥ 18
x≥
18
3
Graficando:
/
0
18 / 3
7
 18 
, 7 ........................ Respuesta A
3

Luego x ∈ 
6.
Se trata de una INECUACION FRACCIONARIA. Como se desconocen los valores de la “x” no es posible trabajar tal como lo
hacemos con una ecuación, ya que en este caso podría cambiar el sentido de la desigualdad.
Reescribimos la desigualdad
x +1
x +1
>2⇒
−2>0
x−2
x −2
De ahí:
x + 1 − 2(x − 2)
>0
x −2
x + 1− 2x + 4
>0
x−2
−x + 5
>0
x −2
a
>0
b
Entonces a > 0 y b > 0........ (I) caso
O a < 0 y b < 0................... (II) caso
Se sabe que si
I caso
−x+5>0 ∧x–2>0
x<5
∧ x>2
/
/
0
2
x ∈ ( 2, 5 )
II caso
−x + 5 < 0 ∧ x – 2 < 0
x>5
∧x<2
/
0
x=φ
La solución es la UNIÓN de los casos I y II
Luego x ∈ (2, 5) ………… Respuesta B
7.
/
5
Sea “x” el número. Luego, de los datos se tiene:
x −1
− 10 > 14
3
x −1
> 24
3
x +1
+ 10 < 29
4
x +1
< 19
4
x – 1 > 72
x > 73
x + 1 < 76
x < 75
Luego, el número será 74.
8. Se tiene el sistema 2x – 5y > 30............... (I)
x + 3y < – 22.............. (II)
y > – 8................ (III)
Multiplicando (II) por 2: 2x + 6y < 44................ (IV)
(para lograr el “2x”)
Restando (IV) – (I): 11y < – 74
y<–
74
→ y < – 6,7............... (V)
11
/
2
/
5
Como – 8 < y < – 6,7 → y = – 7
Reemplazando “y” en (I):
2x – 5(–7) > 30 → 2x + 35 > 30 → x >– 2,5
Reemplazando “y” en (II): x + 3(–3) < – 22 → x – 21 < – 22 → x < – 1
Entonces –2,5 < x < −1 Luego x = −2
9.
Se tiene x2 – 11x + 28 > 0
Verificando que el primer coeficiente es positivo y la inecuación está reducida,
se factoriza el trinomio y obtenemos (x – 4) (x – 7) > 0
Igualando cada factor a CERO obtenemos los PUNTOS CRITICOS:
x–4=0→x=4
x–7=0→x=7
−
+
///////////////
+
//////////////
7
4
Respuesta: x ∈ < -∞, 4 > ∪ < 7, ∞ > …… Respuesta A
10. Como el coeficiente principal debe ser positivo, multiplicamos por (-1) a los miembros de la desigualdad; y obtenemos:
x2 + 2x – 8 < 0
Factorizando → (x + 4) (x – 2) < 0
Puntos críticos → x = −4 ∧ x = 2
−
+
+
−4
+2
Luego, el conjunto solución estará dado por la zona negativa, por cuanto la expresión es menor que (<).
Respuesta: x ∈ < − 4, 2 > ……… Respuesta C
11. Se tiene x(3x – 1) (x + 5) ≤ 0 que es un polinomio de grado superior (3º grado).
Como ya está factorizado, encontramos los PUNTOS CRITICOS:
x=0
3x − 1 = 0 → x = 1
3
x+5=0→x=
−
−
+
−5
0
+
1/ 3
Donde el conjunto solución estará expresado por la UNION de los intervalos de signo negativo. Es decir:
x ∈ < − ∞, − 5] ∪ [ 0, 1 / 3 ] ………….. Respuesta D
PROBLEMAS PROPUESTOS DE INECUACIONES
12. Se tiene
Es decir
3a – 5 > 3 (a – 5/3) →
3a – 5 > 3a – 5
3a – 3a > 5 – 5
→ 0 > 0 lo cual es FALSO
Entonces, la inecuación es INCOMPATIBLE , es decir: a ∈ φ
13. Resolviendo –5 (x – 1/3) ≤ 3 – 5a ; llegamos a: 1 ≤ 3
Lo cual es verdadero e implica que la desigualdad no va a depender de “a”. Por tanto a ∈ R.
14. 2 – 3xes aplicación del 1er caso: a = 0 → a = 0
Luego 2 – 3x = 0 ↔ 2 – 3x → 3x = 2 → x = 2/3
2
3
Finalmente c. s. =   ………………….Respuesta C
15. 5x − 1 = 6 es aplicación del 2º caso
a = b ⇔ b = 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
Entonces
5x − 1 = 6
↔
5x – 1 = 6
∨
5x – 1 = 6
5x = 7
5x = 5
x=7/5
x = −1
7
Luego: x ∈ { − 1, } …………… Respuesta B
5
16. 5x − 3 = 4x + 1 es aplicación del 2do caso, y se tiene:
5x – 3 = 4x + 1
∨
5x – 3 = − (4x + 1)
x=4
x=2/9
 2
Respuesta: x ∈ 4 ;  ……………….. Respuesta B
 9
17. Se tiene a = b ↔ a = b ∨ a = − b ; o sea:
Aplicando el 3er caso:
5 – 3x = x −1 ↔
5 – 3x = x –1
6 = 4x
x=3/2
3 
Luego, c.s. =  ; 2 …….. Respuesta B
2 
∨
5 – 3x = −( x – 1)
4 = 2x
x=2
18. Se tiene el mismo caso anterior, Luego, aplicando el 3er caso:
x2 - 5 = 3x - 7 ⇔ x2 – 5 = 3x – 7 ∨ x2 – 5 = -3x + 7
1º caso:
x2 – 5 = 3x – 7
2º caso:
x2 + 3x – 12 = 0
x2 – 3x + 2 = 0
x=
− 3 ± 3 2 − 4(1)( −12 )
2(1)
(x – 1) (x – 2) = 0
x=
x=1
− 3 ± 57
2
x=2

− 3 + 57 − 3 − 57 
Entonces: 1 ; 2 ;
;

2
2


Luego, la opción que NO es solución es “– 2” ………. Respuesta E.
19. x − 4< 7 corresponde a la aplicación del 1er CASO de INECUACIONES con VALOR ABSOLUTO.
y x − 4 < 7 ⇔ −7 < x – 4 < 7
−7 + 4 < x < 7 + 4
− 3 < x < 11
Luego, x ∈ ⟨−3, 11⟩ ……………… Respuesta A
20. Se tiene
Es decir:
3x
−2 ≤1
5
−1 ≤
3x
−2 ≤1
5
3 x − 10
≤1
5
−5 ≤ 3 x − 10 ≤ 5
5 ≤ 3 x ≤ 15
5
≤x≤5
Luego:
3
1≤
5 
x ∈  ,5  ...................... Respuesta E
3 
21. Este es un caso de aplicación de a > b ⇔ a > b ∨ a < -b
Entonces:
x-1 > 3 ⇔ x – 1 > 3 ∨
x–1<-3
x>4
∨
x < -2
conjunto solución para “x”: x ∈ ⟨−∞, −2⟩ ∪ ⟨4, ∞⟩ ………..Respuesta
22. 3 - x ≥ 3x - 5 es aplicación del caso a < b ⇔ a2 < b2
se resuelve elevando al cuadrado ambos miembros:
(3 – x)2 ≥ (3x – 5) → (3 – x)2 – (3x – 5)2 ≥ 0
(3 – x + 3x – 5)(3 – x – 3x + 5) ≥ 0
(2x – 2)(-4x + 8) ≥ 0
2(x – 1 )(-4)(x – 2) ≥ 0
,
Entonces (x – 1)(x –2) ≤ 0
Puntos críticos
+
+
////////////////
conjunto solución para “x”: x ∈ [1, 2] ………. Respuesta
1
2
23. Se tiene x ≥ x2
O sea x2 – x ≤ 0
Es decir x (x – 1) ≤ 0
Graficando, y puntos críticos
+
24.
////////////
0
+
Observando que
x ∈ [0, 1] ........... Respuesta C
1
4x2 + 1
4x2 + 1
< 4 es igual a
−4 <0
x
x
Es decir
4x2 + 1− 4x
( 2 x − 1)2
< 0 ; o sea
<0
x
x
Como el numerador es SIEMPRE POSITIVO, la expresión será negativa solo si x < 0 (“x” no puede ser cero).
PROBLEMAS PROPUESTOS DE VALOR ABSOUTO
25. x2 - 4 ≤ (x + 2)2
Como (x + 2)2 > 0 ∀ x ∈ Ρ,
Entonces podemos hacer directamente
-(x + 2)2 ≤ x2 – 4 < (x + 2)2
-(x2 + 4x + 4) ≤ x2 – 4 ≤ x2 + 4x + 4
x2 – 4x – 4 ≤ x2 – 4 ≤ x2 + 4x +4
y se tienen dos casos:
-x2 – 4x – 4 ≤ x2 – 4
∧
x2 – 4 ≤ x2 + 4x + 4
2
0 ≤ 2x + 4x
-8 ≤ 4x
2x2 + 4 ≥ 0
x ≥ –2
2x (x + 2) ≥ 0
x=0
x=–2
//////////
–2
+
////////
–
0
+
/////////
x ∈ (-∞, -2] ∪ [0, ∞) ∧ x ∈ [-2, ∞)
La solución será el sector intersectado, es decir: x ∈–2 ∪ [0, ∞) …………. Respuesta
26. En x − 3 ≥ x − 1
Elevamos al cuadrado ambos miembros, y tenemos
x −3
2
≥ x −1
2
2
2
como a 2 = a , entonces ( x − 3) ≥ ( x − 1)
De donde ( x − 3)2 − ( x − 1)2 ≥ 0
( x − 3 + x − 1)( x − 3 − x + 1) ≥ 0
(2 x − 4 )(− 2) ≥ 0
entonces 2 x − 4 ≤ 0
x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2
Conjunto Solución:
x ∈ [−2,2]
........................ Respuesta
3
27. Se tiene x − 3x + 2x > 0
x  x 2 − 3 x + 2  > 0


x (x − 2)(x − 1) > 0
Puntos Críticos
+
/////////////////
0
1
Luego x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞ )
+
////////////
2
......................... Respuesta
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