Geometría Euclideana y No Euclideana

IFD Comenio – Canelones
Magisterio 1er año - Matemática 2014
Geometría Euclidiana y No Euclidiana
Postulados de Euclides
Euclides fue el primero que quiso sistematizar en su libro “Elementos” (300 a.c. aprox.)
definiciones y propiedades de los objetos geométricos. Al tratar de dar definiciones lo
más descriptivas posibles, llegó a la conclusión de que debía partir de algunos postulados
que tomaría como base, como “verdades indiscutibles” que posteriormente tomarían el
nombre de axiomas.
El enunciado de los 5 postulados de Euclides es el siguiente:
1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.
2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de
estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán de ese lado. 1
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier teoría que dejando los cuatro primeros
postulados de Euclides, difiere en el quinto.
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Una formulación más conocida del quinto postulado es: “Por un punto exterior a una recta dada sólo se puede trazar una paralela”
Prof. Teresita Carrión - Prof. Adriana Pintos Álamo
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Si sustituimos el quinto axioma de Euclídes con el supuesto que por un punto dado existen por lo menos dos
rectas paralelas a una recta dada, tenemos una geometría no Euclidiana llamada Geometría Hiperbólica.
Si asumimos que por un punto dado no existen rectas paralelas a una dada, tenemos una geometría no
Euclidiana llamada Geometría Elíptica.
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Consideraciones Generales
Un problema didáctico crucial es que con frecuencia usamos la misma palabra para
referimos a los objetos perceptibles con determinada forma geométrica (“el triángulo
es un instrumento de percusión”) y al concepto geométrico correspondiente (el
triángulo isósceles).
Por lo general, en la clase de matemáticas, y en los textos escolares no se diferencian
el objeto abstracto y la realidad concreta, motivo por el cual encontramos expresiones como: “Dibuja una recta,
un triángulo, etc”.
Como entidades abstractas que son, es claro que no se puede dibujar una recta o un triángulo. Lo que se dibuja
es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente.
La recta, como entidad matemática, es ilimitada y carece de espesor, no así los dibujos que se hacen de ella. Del
mismo modo, un triángulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el
papel: Es una forma controlada por su definición.
Las entidades matemáticas y también las geométricas son creadas en última instancia mediante definiciones,
reglas que fijan el uso de los términos y expresiones. Ciertamente que no serán reglas arbitrarias, sino que se
harán de manera que sean útiles para la descripción del mundo que nos rodea
Debemos tener claro que cuando hablamos de “figuras o formas geométricas” no nos referimos a ninguna clase
de objetos perceptibles
En el esquema adjunto hemos escrito las letras A, B, C junto a una diminuta marca redondeada.
Decimos que dichas marcas son puntos. Igualmente diríamos que se trata de puntos si en lugar de
usar esos puntos para representarlos, hubiéramos utilizado un lápiz con una punta gruesa, o un lápiz
imaginario que dibuja puntos tan finos que sean prácticamente imperceptibles.
El punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para
indicar una posición en el espacio.
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En el esquema adjunto hay representadas dos rectas nominadas con las letras a y b
Pero a la figura geométrica recta se le atribuyen unas características que realmente
no tienen los trazos marcados.
Se considera que las rectas son ilimitadas por ambos extremos, así como que no
tienen ningún espesor, lo que hace imposible "representar" las rectas.
Otras experiencias que sugieren la idea de recta pueden ser un hilo tirante, el borde
de una regla, etc.
Todas las antes citadas son representaciones del objeto abstracto llamado recta.
Se considera que dos puntos determinan una y sólo una recta que contiene a dichos puntos.
Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están contenidos en una recta se dice que son
colineales o que están alineados.
Se considera el espacio como el conjunto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se
considera como una figura geométrica.
El objetivo de la geometría será describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geométricas.
Axiomas de Pertenencia
1) Existe un conjunto infinito llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos.
2) En el espacio existen subconjuntos estrictos llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos.
3) En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos.
4) Determinación de una Recta: dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen.
5) Determinación de un Plano: dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen.
6) Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él.
Observaciones:

Dos rectas secantes son siempre coplanares, es decir siempre existe un plano que contiene a las dos.

Dos rectas coplanares que no son secantes, son paralelas

Si no existiera un plano que contiene a dos rectas dadas, decimos que dichas rectas son no coplanares o que
se cruzan. Dos rectas que se cruzan, se llaman alabeadas
Axioma de Paralelismo (versión moderna del quinto postulado de Euclides)
Dados una recta (r) y un punto P, existe y es única la recta paralela a (r) a la cual P pertenece.
Observaciones:
1) Si dos rectas son paralelas decimos que tienen la misma dirección.
2) Por el axioma de Euclides diremos que por un punto existe y es única la recta de una dirección dada.
Axiomas de orden:
1) En toda recta está definida una relación de orden entre sus puntos, que cumple las siguientes propiedades:
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a) Dados dos puntos A y B de la recta, se cumple una y solo una de las siguientes:
A precede a B, A = B o B precede a A (propiedad de tricotomía)
b) Si A precede a B y B precede a C, entonces A precede a C (propiedad transitiva)
2) Una recta no tiene primer ni último punto.
3) Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella que está comprendido entre ambos. (La recta
es un conjunto denso)
Definición de Semirrecta
Dada una recta r y un punto O perteneciente a ella, llamamos semirrectas de origen O, incluídas en la recta r, a
los subconjuntos formados por O y todos los puntos que le siguen o le preceden.
Definición de Segmento
Dados dos puntos A y B pertenecientes a la recta r, llamamos segmento
por dichos puntos y todos los puntos de r que siguen a A y preceden a B
al conjunto de puntos formado
Otra definición:
A y B reciben el nombre de extremos y los demás puntos se llaman interiores
Llamamos segmento abierto al conjunto de los puntos interiores
Figura
Una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos.
Figura convexa
Una figura es convexa si y solo si, todo par de puntos de la figura, determinan segmentos que están incluidos en
la figura.
Teorema
La intersección de dos figuras convexas, es otra figura convexa.
Semiplano
Toda recta de un plano, determina en él dos regiones. La figura geométrica que resulta de la unión de cada una
de esas regiones con la recta se denomina semiespacio.
La recta es el borde del semiplano.
Para nombrar a la semirrecta de borde r que contiene al punto A usaremos la siguiente notación: r (A)
Bibliografía
http://www.ugr.es/local/jgodino/fprofesores.htm/
Dalcín M, Molfino V, “Geometría Euclidiana en la formación de profesores”, Mastergraf, 2012
Zambra; Rodríguez; Belcredi; “Geometría” ; Colección Mosaicos; Ed. De la Plaza; 1997
Fernández Val; “Geometría Métrica”; Ed. Kapelusz; 2002
fudamentosgeometricos.blogspot.com/2009/04/2-los-cinco-postulados-de-euclides.html
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