UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II
Examen 18-09-10
En un tubo recto, infinitamente largo y de sección constante, hay un gas ideal (=1.4). Inicialmente el gas en el
tubo está en reposo a la presión pa y temperatura Ta (velocidad del sonido aa) constantes, excepto en una región
del tubo de longitud L, en la que la distribución de velocidades es (véase figura),
u(x,0) = 0 para x < 0 y para x > L
u(x,0) = 2u0(x/L) para 0  x < L/2
u(x,0) = 2u0(1-x/L) para L/2  x  L
y en todas las regiones la distribución de velocidades del sonido está relacionada con la de velocidades
mediante
a(x,0) = aa + ((-1)/2)u(x,0)
Asimismo, inicialmente el flujo es homentrópico para todo x:
s(x,0)=sa
Se pide:
1.- Mostrar que el invariante que se conserva a lo largo de las líneas características dx/dt = u - a, que parten del
eje x es constante. Como consecuencia de ello, mostrar que las líneas características dx/dt = u + a son líneas
rectas. Muestren también que los valores de u y a a lo largo de las líneas citadas, coinciden con sus respectivos
valores en el punto (x,0) de donde arrancan.
2.- En el tramo L/2  x  L la velocidad inicial decrece con x y las líneas características dx/dt = u + a que
parten de esta región son rectas convergentes y la solución es una onda de compresión. Las características
acaban cortándose desarrollándose un punto de pendiente vertical (y posteriormente una onda de choque). Se
trata de determinar el instante tv y la posición xv donde la pendiente de la velocidad es vertical. Representar
gráficamente la velocidad u(x,tv).
3.- En el tramo 0  x  L/2 la velocidad inicial crece con x, de modo que las líneas características dx/dt = u + a
que parten de esta región, son rectas divergentes y la solución es una onda de expansión. Determinen la
velocidad u(x,t) y la velocidad del sonido a(x,t) en cualquier instante t<tv.
u
u0
0
L/2
L
x
SOLUCIÓN
A lo largo de las características
dx
= u − a,
dt
se conserva la cantidad
2a
− u = R− ,
γ−1
(1)
siendo
R− =
2a (x, 0)
− u (x, 0) ,
γ−1
y sustituyendo el valor de a (x, 0) dado en el enunciado, se tiene
R− =
2a (x, 0)
2aa
− u (x, 0) =
= constante.
γ−1
γ−1
Dado que a lo largo de las líneas características
dx
= u + a,
dt
se conserva la cantidad
2a
+ u = R+ .
γ−1
(2)
De las ecuaciones (1) y (2) se deduce
a=
¢ aa γ − 1 +
γ−1 ¡ +
R + R− =
+
R ,
4
2
4
u=
¢ R+
1¡ +
aa
R − R− =
−
.
2
2
γ−1
De acuerdo con los resultados anteriores, tanto a como u son constantes cuando R+ es constante, y esto ocurre a lo
largo de las líneas características
dx
dt
= u + a. Al ser u y a constantes a lo largo de estas líneas, resulta que la ecuación
de dichas líneas es
x = x0 + (u + a) t,
que son líneas rectas de pendiente u + a. Dado que
R+ =
2a (x, 0)
2aa
+ u (x, 0) =
+ 2u (x, 0) ,
γ−1
γ−1
resulta que
u=
R+
aa
−
= u (x, 0) ,
2
γ−1
y que
a=
γ−1
aa γ − 1 +
+
R = aa +
u (x, 0) = a (x, 0) ,
2
4
2
por lo tanto, a lo largo de las líneas características
dx
dt
= u + a, los valores de u y de a coinciden con los valores que
tienen en t = 0, esto es, con los valores u (x, 0) y a (x, 0) respectivamente de donde parte la característica.
Además, haciendo uso de (1), se obtiene
u + a = aa +
γ+1
u(x, 0),
2
y, por lo tanto, la característica que parte de x0 tiene por ecuación
½
¾
γ+1
x = x0 + aa +
u(x0 , 0) t.
2
2.- De acuerdo con la ecuación anterior, las características que en el instante inicial parten del tramo L/2 < x0 < L,
donde u (x0 ) = 2u0 (1 − x0 /L), tienen por ecuación
h
³
x0 ´i
x = x0 + aa + (γ + 1) u0 1 −
t,
L
mientras que la característica que parte de x0 = L, tiene por ecuación
x = L + aa t.
La intersección de todas las características que parten del tramo L/2 < x0 < L ocurre en el instante
tv =
L
,
(γ + 1) u0
que no depende de x0 . La posición en la que ocurre esta intersección es
∙
xv = L 1 +
¸
aa
.
(γ + 1) u0
En el instante tv la distribución de velocidades es la dada en la figura siguiente, donde se observa la pendiente vertical
de la que se habló en el enunciado.
t
tv
x = a at
x=
u
L
2
γ +1
⎛
⎞
+ ⎜a a +
u 0 ⎟t
2
⎝
⎠
u0
x = L + a at
0
L/2
L
xv
x
Los valores anteriores se pueden expresar también en forma analítica. La solución general es
u (x, t) = F [x − (u + a) t] ,
que para t = 0 y L/2 < x < L es
³
x´
u (x, 0) = F (x) = 2u0 1 −
,
L
y, por lo tanto, la solución es
∙
¸
x − (u + a) t
u (x, t) = 2u0 1 −
,
L
y como u + a = aa +
γ+1
2 u,
sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene,
½
¾
L − x − aa t
u (x, t) = 2u0
,
L − (γ + 1) u0 t
y, para t fijo, se tiene
2u0
∂u
=−
,
∂x
L − (γ + 1) u0 t
que tiende a infinito cuando
t = tv =
L
,
(γ + 1) u0
como se había determinado anteriormente.
3.- En el tramo 0 < x < L/2, la velocidad u (x, 0) = F (x) = 2u0 x/L, de modo que la solución general es
"
¢ #
¡
∙
¸
x − aa + γ+1
x − (u + a) t
2 u t
u (x, t) = F [x − (u + a) t] = 2u0
= 2u0
,
L
L
lo que permite determinar
u (x, t) = 2u0
½
x − aa t
L + (γ + 1) u0 t
¾
,
(3)
y la velocidad del sonido está dada por
γ−1
a (x, t) = aa +
u (x, t) = aa + (γ − 1) u0
2
½
x − aa t
L + (γ + 1) u0 t
¾
.
Obsérvese que la ecuación (3) proporciona u (x, t) = 0 a lo largo de la característica x = aa t y el valor u (x, t) = u0
a lo largo de la característica x − aa t =
esto es: u (xv , tv ) = u0 .
1
2
{L + (γ + 1) u0 t}. El mismo valor se obtiene de (3) para el punto (xv , tv );