Evolución Diferencial para el Control de un Motor de Corriente

Centro de enseñanza LANIA
Evolución Diferencial para el Control de un Motor de Corriente
Directa Bajo Incertidumbre Paramétrica
TESIS
Que presenta:
I.S.C. José Yaír Guzmán Gaspar
Para obtener el grado de
Maestro en Computación Aplicada
Dirigido por:
Dr. Efrén Mezura Montes
Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes
Dra. Cora Beatriz Excelente Toledo
Xalapa, Veracruz, México
Febrero, 2015.
Agradecimientos
A Dios, por darme la vida y acompañarme en cada momento.
A mis padres, Gustavo y Felicitas, por su gran apoyo, por su paciencia, y por sus consejos
y enseñanzas que me han dado siempre para salir adelante.
A mi hermano Gustavo, por su conanza y su apoyo.
A mis hijos, Narayani y Yaír, por esa alegría, esa luz que aportan a mi vida y ser la razón
para superarme día tras día.
A mi esposa, Fabiola, por acompañarme e impulsarme durante toda mi carrera para la
culminación de la misma.
Al doctor Efrén y al doctor Miguel, por compartir su conocimiento, sus ideas, así como
por todo el apoyo y el tiempo que me brindaron para poder concluir esta tesis.
A la Doctora Cora por el tiempo brindado y sus observaciones realizadas durante la
elaboración de la tesis.
A mis compañeros de la MCA, por su amistad y por haber compartido una experiencia
muy grata durante la carrera.
A LANIA, por las facilidades en el desarrollo de mi investigación.
Finalmente, se agradece el apoyo del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología bajo
el proyecto 182298 y de la Secretaría de Investigación y Posgrado del Instituto Politécnico
Nacional bajo el proyecto 20151212.
iii
Resumen
En este trabajo de investigación se propone un control adaptable de un motor de
corriente directa bajo incertidumbre paramétrica basado en un algoritmo bio-inspirado.
Esta propuesta se encuentra basada en un algoritmo de evolución diferencial.
En esta investigación se demuestra la disminución del error de seguimiento de la velocidad
deseada, utilizando un controlador basado en un algoritmo bio-inspirado, en comparación con
el error obtenido utilizando técnicas clásicas de control, particularmente con el controlador
proporcional-integral.
Para los experimentos realizados en este trabajo se utilizan dos problemas clásicos de
control (regulación y seguimiento).
v
Lista de acrónimos
CAED: control adaptable basado en evolución diferencial
CD: corriente directa
CE: computación evolutiva
CIEA: criterio de integridad de error absoluto
CIEAT: criterio de integridad de error absoluto por tiempo
CIEC: criterio de integridad de error cuadrático
CTBP: current-to-best/penalización
CTBRD: current-to-best/regla de Deb
ED: evolución diferencial
PI: proporcional-integral
vii
Índice general
1. Introducción
1.1.
1.1.1.
1.2.
1
Planteamiento del problema
Formulación del problema
Objetivos
1.2.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Objetivo general
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.
Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4.
Justicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5.
Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2. Análisis dinámico y sistema de control del motor de CD
2.1.
2.2.
2.3.
7
Estructura física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Modelo dinámico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1.
Análisis del circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2.
Análisis dinámico de momentos
2.2.3.
Modelo dinámico del motor en variables de estado . . . . . . . . . . .
Sistema de control por dinámica inversa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Formulación del problema de control adaptable
10
11
12
13
3.1.
Variables de diseño
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.
Función objetivo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3.
Restricciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4.
Planteamiento del problema de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4. Computación Evolutiva
4.1.
4.1.1.
4.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos del Algoritmo Evolutivo
Evolución diferencial
4.2.1.
4.3.
17
Introducción a la computación evolutiva
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variantes de la ED
17
17
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Manejo de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5. Resultados
25
5.1.
Diseño experimental
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.
Análisis de comportamiento del algoritmo de optimización
. . . . . . . . . .
27
5.3.
Análisis de resultados comparativos con otra técnica de control . . . . . . . .
31
ix
25
x
ÍNDICE GENERAL
5.3.1.
5.3.2.
Control proporcional-integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Comparativa entre el controlador PI y el controlador CAED basado en
el algoritmo CTBRD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Conclusiones y Trabajo Futuro
31
37
6.1.
Observaciones nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.2.
Trabajos Futuros
38
Bibliografía
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Índice de guras
1.1.
Diagrama eléctrico del motor
1.2.
Diagrama mecánico del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.
Diagrama del sistema dinámico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.
Motor de CD de imán permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.
Diagrama del circuito del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.
Momentos del motor
3.1.
Diagrama del sistema dinámico
4.1.
Pseudocódigo de un algoritmo evolutivo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.
Cruza Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3.
Recombinación y mutación.
20
4.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
10
13
Algoritmo DE/rand/1/bin. randint(min,max) es una función que regresa un
numero entero entre min y max. rand[0,1] es una función que regresa un número
real entre 0 y 1. NP, MAX_GEN, CR y F son parámetros denidos por el
usuario. D es la dimensión del problema.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.1.
Grácos comparativos entre algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.2.
Problema de Regulación 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
5.3.
33
0s ≤ t ≤ 6s.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Problema de Seguimiento 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
5.5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema de Regulación 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
5.4.
2s ≤ t ≤ 4s.
2s ≤ t ≤ 4s.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Problema de Seguimiento 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
0s ≤ t ≤ 6s.
xi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Índice de tablas
3.1.
Límites de los parámetros del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.
Principales modelos de la ED
22
5.1.
Parámetros nominales del motor, donde
constante de par,
de armadura,
ke
b0
TL
ke
Ra
es la carga o par del motor.
Parámetros reales dinámicos del motor, donde
de armadura,
b0
J0
La
es la
. . . . . . . . . .
Ra
es la carga o par del motor.
es la
es la resistencia
km
26
es
es la resistencia
es la constante de la fuerza contra-elctromotriz,
TL
km
es la inercia del motor,
es el coeciente de fricción viscosa,
inductancia de armadura y
5.4.
es la inercia del motor,
es la constante de la fuerza contra-elctromotriz,
la constante de par,
5.3.
J0
es el coeciente de fricción viscosa,
inductancia de armadura y
5.2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La
es la
. . . . . . . . . .
27
Parámetros calibrados por la herramienta i-Race . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Tabla de resultados: a)Regulación 1, b) Regulación 2, c) Seguimiento 1, d)
Seguimiento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.5.
Resultados de las pruebas de Kruskall Wallis y Friedman
29
5.6.
Resultado de la prueba de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.7.
Resultados de los criterios de desempeño de los controladores PI y CAED . .
32
xiii
. . . . . . . . . . .
xiv
ÍNDICE DE TABLAS
Capı́tulo
1
Introducción
En diversas aplicaciones es de vital importancia considerar sistemas de control con un alto
desempeño en sus actuadores. El motor de corriente directa (CD) es una parte crucial para
el movimiento de sistemas electromecánicos, como por ejemplo en robots manipuladores [1],
en mesas xyz [2], etc. El estudio de estrategias de control en los motores de CD que logran
alta precisión y alta exactitud ha sido siempre de interés [3], [4].
Una de los problemas que presenta todo sistema de control en un sistema electromecánico
es el de compensar adecuadamente las incertidumbres paramétricas en el sistema, tales
como, la carga a manejar por un robot, supercies rugosas a pulir, valores de parámetros
que cambian con la temperatura, cambios en la masa del sistema (vehículos), etc. En un
amplio sentido, las incertidumbres paramétricas se pueden agrupar en
i)
Aquellas dadas por
inexactitudes en el modelo (no se consideran algunas dinámicas no lineales) y
ii)
aquellas en
donde se desconocen con exactitud algunos parámetros físicos del sistema. En este documento
de tesis se está considerando la segunda opción, es decir, no se conocen con exactitud los
parámetros físicos y donde además, que éstos podrían variar con respecto al tiempo.
Los esquemas de control adaptable en donde se incorpora alguna estrategia de estimación
de parámetros de la planta en la ley de control se han estudiado ampliamente desde hace
algunas décadas atrás, con el propósito de mejorar el desempeño del controlador, ante
incertidumbres paramétricas [5], [6], [7], [8]. La estimación o actualización de los parámetros
en línea se obtiene a través del uso de la propiedad de linealidad paramétrica en el modelo
del sistema y considerando métodos de estimación basados en el gradiente o en mínimos
cuadrados [9], [10], [11]. Una referencia actual en donde se aplica este tipo de control se
encuentra en [12], en donde el esquema de control adaptable se implementa a un robot
paralelo con el propósito de mejorar el desempeño en el error de posición cuando maneja
diferentes cargas.
Sin embargo cuando el sistema presenta un alto grado de incertidumbre, la actualización
de los parámetros en línea del esquema de control adaptable tiende a converger a mínimos
locales, lo que resulta en un error considerable en el posicionamiento del sistema.
Por otra parte, recientemente, la computación bio-inspirada como algoritmos evolutivos o
algoritmos de inteligencia colectiva han sido aplicados con éxito en problemas del mundo real
en el área de control automático. El incremento en el uso de algoritmos bio-inspirados en la
sintonización óptima del sistema de control se debe a que éstos trabajan con una población
de individuos (posibles soluciones), la convergencia hacia un valor cercano al óptimo suele ser
1
2
CAPÍTULO 1.
INTRODUCCIÓN
mejor en comparación con técnicas basadas en el gradiente y no presentan inconvenientes al
utilizarlos en problemas discontinuos. Algunos trabajos al respecto son: en [13] se incorporan
algoritmos evolutivos para sintonizar fuera de línea los parámetros de un controlador PID
en una planta de columna de destilación. En [14] se propone un control de búsqueda de
extremo basado en el algoritmo de optimización de cúmulo de partículas. En [15] se establece
formalmente el enfoque de diseño integrado robusto para sistemas mecatrónicos. El caso de
estudio al que se le aplicó este enfoque es a un robot de cinco eslabones planar con un
controlador PID. Se considera encontrar la estructura mecánica y las ganancias del sistema
de control de tal manera que el diseño resultante sea tan insensible como sea posible a
incertidumbres en la carga que soporta el efector nal. Se utiliza el algoritmo de evolución
diferencial para resolver el problema. En [13] se han implementado algoritmos evolutivos para
sintonizar fuera de línea los parámetros de un controlador PID. En [16] se aplica un algoritmo
de forrajeo de bacterias para la identicación y control de un motor de corriente continua.
En [17] se presenta un controlador difuso basado en un algoritmo genético para el control de
velocidad de un motor síncrono de imán permanente.
Por tal motivo, en este trabajo se propone un esquema de control adaptable de un motor
de CD en donde se utiliza un control por dinámica inversa y se estiman los parámetros del
sistema de control en línea a través de la solución de un problema de optimización con base
en el algoritmo de evolución diferencial. Las principales aportaciones de este trabajo son:
i)
se establece formalmente el problema de optimización dinámica para estimar los parámetros
del controlador en línea, en donde el error entre el sistema real y estimado sea el menor,
sujeto a límites en la señal de control,
ii)
se realiza un análisis empírico comparativo entre
diferentes variantes de evolución diferencial con el propósito de observar el más adecuado que
garantice que el error sea mínimo en el seguimiento de una trayectoria ante variaciones en los
parámetros de la planta, y
iii)
se realiza un comparativo de desempeño entre el controlador
PI y la variante de evolución diferencial que obtuvo el mejor resultado.
1.1. Planteamiento del problema
El modelo dinámico de un motor de corriente directa (CD) puede ser representado
mediante ecuaciones diferenciales, en el cual una serie de variables de estado intereren
directamente a su funcionamiento. En las Figuras 1.1 y 1.2 se muestra el diagrama eléctrico
y mecánico que compone un motor de CD.
1.1.
3
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Figura 1.1: Diagrama eléctrico del motor
Figura 1.2: Diagrama mecánico del motor
Las ecuaciones diferenciales que lo representan se encuentran expresadas en la Ec. (1.1)
donde
Vin
es el voltaje de entrada de armadura,
la inductancia de armadura,
corriente de armadura,
b0
ke
Ra
es la resistencia de armadura,
es la constante de la fuerza contra-electromotriz,
es el coeciente de fricción viscosa referido a la echa,
inercia del motor referida a la echa del motor,
τL
es el par de carga, y
qm , q̇m
ia
J0
La
es
es la
es la
son las
posiciones, velocidades y aceleraciones angulares del rotor respectivamente.
dia
+ Ra ia + ke q̇m = Vin
dt
dq̇m
+ bo q̇m + τL = km ia
Jo
dt
La
p6 =
τL
, el modelo dinámico se puede
J0
dia
+ p4 ia + p3 q̇m = p5 Vin
dt
dq̇m
+ p1 q̇m + p6 = p2 ia
dt
(1.2)
b0
k
k
, p2 = m , p3 = e ,
J0
J0
La
representar como en la Ec. (1.2)
Si
p1 =
(1.1)
p4 =
Ra
,
La
p5 =
1
,
La
4
CAPÍTULO 1.
Sea el estado
x = [qm q̇m ia ]T
INTRODUCCIÓN
u = Vin , el modelo dinámico del motor CD
ẋ = f (x(t), u(t), p) mostrado en la Ec.(1.3).
y la entrada
variables de estado, queda expresada como
  
     
ẋ1
0 1
0
x1
0
0
ẋ2  = 0 −p1 p2   x2  − p6  +  0  u
ẋ3
0 −p3 p4
x3
0
p5
El sistema de control por dinámica inversa se muestra en la Ec. (1.4), donde
ė = ẇr − x̄2
y
wr , ẇr, ẅr
en
(1.3)
e = wr − x¯1 ,
es la trayectoria deseada en velocidad, aceleración y la derivada de
la aceleración respectivamente.
J0 La
ũ =
km
1.1.1.
b0
ẅr + kp e + kd ė +
J0
km
b0
τL
x3 − x2 −
J0
J0
J0
+ ke x2 + Ra x3
(1.4)
Formulación del problema
El problema de optimización dinámica en línea (ver Figura 1.3) trata de encontrar los
parámetros estimados
de salida del sistema
p̄ de un motor de CD en línea tal que minimice el error e entre la señal
real x y del sistema estimado x̄, sujeto a la restricción propia de la
dinámica del sistema real y el sistema estimado, así como los límites en la señal de control,
para así proporcionar un buen desempeño en el sistema de control.
En el problema presentado se busca minimizar la diferencia entre los parámetros reales
y estimados del motor de CD, sujeto a las restricciones propias del sistema real y estimado,
así como las condiciones iniciales y los límites de la señal de control.
Figura 1.3: Diagrama del sistema dinámico
1.2. Objetivos
1.2.1.
Objetivo general
Desarrollar y aplicar al menos una técnica metaheurística en la estimación óptima de los
parámetros del sistema de control, enfatizando la ecacia del algoritmo para obtener una
solución competitiva y su eciencia en el tiempo computacional.
1.3.
HIPÓTESIS
5
Objetivos especícos
Aplicar una técnica metaheurística en el problema.
Incorporar alguna modicación para mejorar el desempeño del algoritmo.
Analizar los resultados obtenidos desde el punto de vista computacional .
Analizar los resultados desde el punto de vista ingenieril.
1.3. Hipótesis
Se podrá mejorar el desempeño del sistema de control de un motor de corriente directa
bajo el efecto de incertidumbres en los parámetros de la planta, con respecto a técnicas clásicas
de control, al utilizar un controlador que requiera la estimación de sus parámetros mediante
la solución de un problema de optimización por medio de un algoritmo evolutivo llamado
evolución diferencial, entendiéndose con mejorar el desempeño del sistema de control como
mantener la velocidad deseada en el motor.
1.4. Justicación
Los problemas de optimización multiobjetivo no son problemas que se resuelven fácilmente
por métodos clásicos de optimización. Este tipo de problemas puede ser resuelto mediante
métodos aproximados como las metaheurísticas [18]. En el presente trabajo se va a utilizar
un algoritmo evolutivo llamado evolución diferencial, dada la no linealidad presente en el
problema optimización que se aborda y dado que estos algoritmos pueden encontrar soluciones
satisfactorias a problemas complejos. Cabe destacar que el algoritmo que se implementará
trabajará en línea, lo cual es todo un reto, ya que los algoritmos evolutivos no suelen ser muy
usados de esa manera, puesto que requieren de tiempo para trabajar y obtener sus resultados
competitivos [19].
1.5. Organización del documento
En el capítulo 2 se presenta el análisis dinámico y sistema de control de un motor
de corriente directa CD. En el capítulo 3 se plantea la formulación del problema de
diseño de control adaptable. En el capítulo 4 se realiza una breve introducción a la
computación evolutiva y a la evolución diferencial. En el capítulo 5 se observan los resultados
experimentales. En el capítulo 6 se proporcionan las conclusiones pertinentes en este trabajo
de investigación, además, se proporcionan algunas perspectivas para trabajos futuros.
6
CAPÍTULO 1.
INTRODUCCIÓN
Capı́tulo
2
Análisis dinámico y sistema de control del
motor de CD
El motor de corriente directa CD es un transductor que convierte la energía eléctrica en
energía mecánica. En general el campo magnético de un motor de CD se puede producir por
bobinas o imanes permanentes [20].
2.1. Estructura física
En la Figura 2.1 se muestran las partes que conforman a un motor de CD de imán
permanente.
Figura 2.1: Motor de CD de imán permanente
Como se menciona en [21] físicamente la estructura del motor consta de dos partes: el
7
8CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DINÁMICO Y SISTEMA DE CONTROL DEL MOTOR DE CD
estátor o parte estacionaria y el rotor que es la parte rodante.
El estátor contiene imanes proyectados hacia adentro para proveer el ujo magnético en
la máquina.
El rotor, también llamado armadura consiste en un eje maquinado de acero y un núcleo
1
montado sobre él. El núcleo aloja a la bobina
las cuales se disponen en las ranuras de éste.
El colector, se encuentra sobre el eje del rotor, en un extremo del núcleo y se encuentra
dividido en segmentos. Las escobillas son generalmente elaboradas con material que presenta
alta conductividad y bajo coeciente de rozamiento, como carbón o grato.
2.2. Modelo dinámico
El modelo dinámico del motor se debe estudiar desde dos perspectivas diferentes, la
eléctrica y la mecánica. Desde el punto de vista eléctrico, el motor de CD se debe modelar
como un circuito eléctrico con base en la ley de voltaje de Kirchho. Por otra parte, desde
el punto de vista mecánico, el motor de CD se debe modelar realizando un análisis dinámico
de momentos en el eje de salida.
2.2.1.
Análisis del circuito eléctrico
Figura 2.2: Diagrama del circuito del motor
El circuito eléctrico del motor se puede representar como se muestra en la Figura 2.2, en
donde tomando en cuenta la ley de voltajes Kirchho (ley de mallas) que menciona La suma
algebraica de los voltajes alrededor de una malla cualquiera en un circuito eléctrico es cero,
se puede analizar el circuito dando como resultado la Ec. (2.1), en donde
de entrada,
VRa
es el voltaje en la resistencia,
VLa
Vin
es el voltaje
es el voltaje de la inductancia,
VFke
es el
voltaje dado por la fuerza contraelectromotriz.
−Vin + VRa + VLa + VFke = 0
1 La
(2.1)
bobina es denida por la Real Academia Española como circuito eléctrico formado por un alambre
aislado que se arrolla en forma de hélice con un paso igual al diámetro del alambre.
2.2.
9
MODELO DINÁMICO
Para la obtención del voltaje en la resistencia
VRa ,
según la ley de Ohm [22] establece
que la corriente en un circuito es proporcional a la fuerza electromotriz total (fem) que
actúa sobre el circuito e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito, esto se
encuentra expresado en la Ec. (2.2), donde
(fem) y
R
i es la corriente, VRa
es el voltaje en la resistencia
la resistencia.
i=
V Ra
R
(2.2)
Partiendo de la Ec. (2.2) se deduce que el voltaje
VRa
esta dado por la Ec. (2.3).
VRa = iR
Para obtener el voltaje en la inductancia
VLa ,
(2.3)
se conoce que la inductancia
constante de proporcionalidad entre el voltaje inducido
di
[22], esto se representa en la Ec. (2.4).
corriente
dt
L=
VLa
L
es la
y la razón de cambio de la
VLa
di/dt
(2.4)
De la Ec. (2.4) se puede obtener que el voltaje dado en la inductancia se expresa como
en la Ec. (2.5).
VLa = L
La fuerza contraelectromotriz
VFke
di
dt
(2.5)
se presenta cuando un conductor se mueve en un campo
magnético, ya que genera un voltaje entre sus terminales la cual es proporcional a la velocidad
del eje. Este voltaje tiende a oponerse al ujo de la corriente [20], el cual puede representarse
como en la Ec. (2.6), donde
del motor, y
ke
VFke
es la fuerza contraelectromotriz,
q̇m
es la velocidad del eje
es la constante de la fuerza contraelectromotriz.
VFke = ke q̇m
(2.6)
De acuerdo a lo anterior, sustituyendo las Ec. (2.3), (2.5) y (2.6), en la Ec. (2.1) la
expresión algebraica para representar el circuito eléctrico del motor mostrado en la Figura
2.2 esta dada por la Ec. (2.7).
La
dia
+ Ra ia + ke q̇m = Vin
dt
(2.7)
10CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DINÁMICO Y SISTEMA DE CONTROL DEL MOTOR DE CD
2.2.2.
Análisis dinámico de momentos
Figura 2.3: Momentos del motor
Basándose
establece
que
en
la
la
segunda
suma
de
ley
de
todos
Newton
(del
2
los
pares
movimiento
que
actúan
rotacional)
sobre
un
eje
[22]
que
dado
es
proporcional a la aceleración angular experimentada por el objeto, siendo el momento
de inercia su factor de dicha proporcionalidad, se puede mencionar que
(momento
P
P
P ares =
de inercia) (aceleración angular), o bien, como se expresa en la Ec. (2.8), donde
T es la suma de todos los pares que actúan alrededor del eje del motor,
de inercia del motor referido a la echa, y
q̈m
X
J0
es el momento
es la aceleración angular.
T = J0 q̈m
(2.8)
Como se muestra en la Figura 2.3, los pares que intervienen en la echa de salida del
motor son, el par del motor
τm
, el par de de carga
τL ,
y el par de fricción
τf ,
por lo tanto,
la Ec. (2.8) puede ser expresada como en la Ec. (2.9).
τm − τL − τf = J0 q¨m
Para obtener el par del motor
τm ,
(2.9)
en [20] se menciona que el par desarrollado en el eje
del motor es directamente proporcional al ujo en el campo y a la corriente en la armadura,
2
Se entiende por par o momento de fuerza M como cualquier causa que tienda a producir un cambio en
el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. Es el producto de una fuerza F y la distancia d
perpendicular desde un punto de rotación a la línea de acción de la fuerza, es decir M = F d [22].
2.2.
11
MODELO DINÁMICO
lo anterior se encuentra dado por la Ec. (2.10),donde
magnético, ia es la corriente de armadura, y
τm
es el par del motor,
φ
es el ujo
km es la constante de proporcionalidad (constante
de par).
τm = km φia
Para calcular el par de fricción
τf ,
(2.10)
en [20] se menciona que la fricción viscosa representa
una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. La expresión
matemática de la fricción viscosa se representa en la Ec. (2.11), donde
b0
es el coeciente de
fricción viscosa.
τf = b0 q˙m
(2.11)
Con base en lo anterior, sustituyendo las Ecs. (2.10) y (2.11) en la Ec. (2.9), la dinámica
de momentos que se muestra en la Figura 2.3 puede ser representada como en la Ec.(2.12)
km ia − τL − bo q̇m = Jo q¨m
(2.12)
Reagrupando la Ec.(2.12) se obtiene en la Ec. (2.13) la expresión matemática que rige el
análisis dinámico de momentos.
Jo q¨m + bo q̇m + τL = km ia
2.2.3.
(2.13)
Modelo dinámico del motor en variables de estado
A partir del análisis del circuito eléctrico y de la estructura mecánica, el modelo dinámico
del motor de C.D. se puede resumir en la Ec. (2.14).
dia
+ Ra ia + ke q̇m = Vin
dt
dq̇m
Jo
+ bo q̇m + τL = km ia
dt
T
T
de estado x = qm q˙m ia
= x1 x2 x3
La
Considerando que el vector
entrada
u = Vin ,
(2.14)
y la señal de
la Ec.(2.14) se puede expresar como en la Ec. (2.15).
km x3 − b0 x2 − τL
J0
u − Ra x3 − ke x2
x˙3 =
La
x˙2 =
La Ec.(2.15) se puede expresar como
ẋ = f (x(t), u(t))
(2.15)
mostrándose en las Ecs. (2.16) y
(2.17) , que representa al modelo dinámico del motor en el vector de variable de estado
3
donde x R .
x,
12CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DINÁMICO Y SISTEMA DE CONTROL DEL MOTOR DE CD
  

  
0
1
0
0
0
x1
b0
km   
τL 



x2 + − J0 + 0  u
ẋ = 0 − J0
J0
1
ke
Ra
x3
0 − La − La
0
La
ẋ =
dx
= Ax + Bu + C
dt
(2.16)
(2.17)
2.3. Sistema de control por dinámica inversa
Para desarrollar el sistema de control por dinámica inversa (DI) [23] se realiza el cambio
km x3 −b0 x2 −τL
de coordenadas x˜1 = x2 , x˜2 =
y ũ = Vin , por lo que el modelo dinámico del
J0
motor de C.D. representado en la Ec. (2.16) se puede expresar como en la Ec. (2.18).
x˜˙1 = x˜2
2
km
b0
km ke
b0
km Ra b0 km
˙
x˜2 =
ũ + 2 τL + x˜1
−
+ 2
− x3
J0 La
J0
J02 J0 La
J0 La
J0
Se establece el controlador DI [24] en la Ec. (2.19), donde
ė = ẇr − x˜2 . wr
y
ẇr
(2.18)
v = ẅr + kp e + kd ė, e = wr − x˜1 ,
son la velocidad y aceleración deseada.
J0 La
ũ =
km
b0 km
b0
τL
v+
+ ke x2 + Ra x3
x3 − x2 −
J0 J0
J0
J0
(2.19)
Como se observa en la Ec. (2.19), el control DI requiere el conocimiento de los parámetros
del motor.
Capı́tulo
3
Formulación del problema de control adaptable
En la Figura 3.1 se muestra el esquema en lazo cerrado del sistema de control adaptable
basado en evolución diferencial que se propone en esta tesis y será detallada posteriormente.
Figura 3.1: Diagrama del sistema dinámico
3.1. Variables de diseño
En la Figura 3.1 se observa que el comportamiento del sistema esta determinado por
los parámetros (p) que rigen la dinámica del motor, ya que el controlador requiere del
conocimiento de los parámetros reales del motor para emitir la señal (volts) necesaria que
proporcionará un seguimiento deseado en velocidad. Es por esto que en el presente trabajo
se considera como variables de diseño a los parámetros del sistema de control dado por
T
p = p1 p2 p3 p4 p5 p6 , los cuales, a su vez forman parte de los parámetros dinámicos
del sistema.
13
14
CAPÍTULO 3.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTROL ADAPTABLE
Los valores utilizados en los parámetros se encuentran en los límites descritos en la Tabla
3.1.
Parámetro Mínimo Máximo
P1
0
2
P2
0
1200
P3
0
5
P4
0
100
P5
0
10
P6
0
150
Tabla 3.1: Límites de los parámetros del sistema de control
3.2. Función objetivo
El problema de programación multiobjetivo se puede plantear de manera matemática
como se muestra en la Ec. (3.1), siendo
Ω = {λ ∈ R|λ ∈ [t1 , t] , t1 = t − ∆w}, donde ∆w ∈ R,
es el tiempo de retroceso, es decir, el intervalo de tiempo hacia atrás que se considera para
evaluar el sistema en el problema de optimización.
M in
p̄
Z
2
Z
2
Z
(x2 (t) − x̄2 (t)) dt
(x1 (t) − x̄1 (t)) dt
La Ec. (3.1) es multiobjetivo ya que se busca minimizar la diferencia
reales y estimados dados por
x1 , x¯1 , x2 , x¯2 , x3 , x¯3 ,
(3.1)
t∈Ω
t∈Ω
t∈Ω
T
(x3 (t) − x̄3 (t)) dt
2
e entre los parámetros
los cuales representan la posición angular,
velocidad angular y corriente del motor, reales y estimadas.
En el trabajo se utiliza el método de sumas ponderadas para tratar el problema
multiobjetivo y de esta manera combinar las funciones objetivo escalarmente para ser tratado
como un problema de optimización mono objetivo.
3.3. Restricciones
El sistema se encuentra sujeto a las siguientes restricciones:
a) Sistema real
ẋ = f (x(t), u(t), p) |t ∈ Ω
(3.2)
ẋ = f (x̄(t), u(t), p̄) |t ∈ Ω
(3.3)
b) Sistema dinámico estimado.
c) Condiciones de los estados iniciales
x̄(t1 ) = x(t1 ), x(0) = x0
(3.4)
3.4.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
15
d) Límites en la señal de control
uM IN ≤ u(t) ≤ uM AX
(3.5)
3.4. Planteamiento del problema de optimización
El problema de optimización dinámica en línea consiste en encontrar los parámetros
T
estimados p̄ = p¯1 p¯2 p¯3 p¯4 p¯5 p¯6
de un motor de CD en línea tal que minimice el
error entre la señal de salida del sistema real
x y del sistema estimado x̄ sujeto a la restricción
propia de la dinámica del sistema real (Ec. 3.2) y el sistema estimado (Ec. 3.3) así como los
límites en la señal de control (Ec. 3.5) para así proporcionar un buen desempeño en el sistema
de control.
16
CAPÍTULO 3.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTROL ADAPTABLE
Capı́tulo
4
Computación Evolutiva
4.1. Introducción a la computación evolutiva
El mundo en el que vivimos está en constante cambio. Con la nalidad de sobrevivir en
un entorno que cambia dinámicamente, los individuos deben tener la capacidad de adaptarse
[25]. La computación evolutiva (CE) es un campo del computo inteligente que emula procesos
de la evolución natural, es decir, que la CE se reere a los sistemas de resolución de
problemas basados en computadoras que utilizan modelos computacionales de los procesos
evolutivos como la selección natural, supervivencia del mas apto y la reproducción. Diversos
algoritmos evolutivos han sido desarrollados, entre los cuales se incluyen algoritmos genéticos,
programación genética, programación evolutiva, estrategias evolutivas, evolución diferencial
(ED), evoluciones culturales y coevolución [26].
4.1.1.
Elementos del Algoritmo Evolutivo
El proceso de búsqueda de un algoritmo evolutivo se encuentra constituido por los
siguientes componentes:
Una representación de soluciones al problema.
Una función de evaluación para obtener la aptitud o capacidad de supervivencia de los
individuos.
Inicialización de la población inicial.
Un proceso de selección.
Operadores de variación y reemplazo.
En la Figura 4.1 se muestra el algoritmo evolutivo genérico.
17
18
CAPÍTULO 4.
COMPUTACIÓN EVOLUTIVA
1. Begin
2.
G=0
3.
Crear una población
4.
Mientras no se cumpla la condición de parada hacer
nx − dimensional, X(0),
f (xi (t)),
que consiste de
5.
Evaluar aptitud
de cada individuo,
6.
Realizar la reproducción para crear la descendencia.
7.
Seleccionar la nueva población X(t+1);
8.
Avanzar a la nueva generación, por ejemplo, t=t+1
ns
individuos;
xi (t);
9. Fin
Figura 4.1: Pseudocódigo de un algoritmo evolutivo.
4.2. Evolución diferencial
La ED es una estrategia de búsqueda estocástica basada en población. Fue propuesto
en 1995 por Storn y Price para resolver problemas de optimización con parámetros reales.
La ED utiliza un operador de mutación simple basado en la diferencia de pares de
soluciones (llamadas vectores) con el n de encontrar una dirección de búsqueda basada
en la distribución de soluciones en la población actual. Como mecanismo de reemplazo, el
nuevo hijo (llamado vector trial) compite únicamente contra su padre (vector target) y lo
reemplaza si tiene una mejor aptitud. La recombinación y la mutación son los operadores
de variación usados para generar nuevas soluciones, y un mecanismo de reemplazo provee la
capacidad de mantener un tamaño jo en la población.
La ED utiliza N vectores con D dimensiones, y trata de encontrar ~
x el cual optimiza a
n
T
f (~x), donde ~x R es el vector de soluciones ~x = [x1 , x2 , ..., xn ] , y cada xi , i = 1, ..., n se
encuentra delimitada por
Li ≤ xi ≤ Ui .
La ED se encuentra compuesta por los siguientes
mecanismos:
Mutación
Recombinación
Selección
La mutación tiene como objetivo generar variaciones que desplacen a los vectores solución
en la dirección y magnitud correcta y en su forma más simple se encuentra representado en la
Ec. (4.1), donde
F [0, 1] es el factor de escala que controla la diferencia vectorial ~xr1 ,G −~xr2 ,G .
~v ,G = ~xr3 ,G +F (~xr1 ,G −~xr2 ,G ), r1 6= r2 6= r3 6= i
(4.1)
La recombinación (binomial en este caso) permite el intercambio de información del vector
padre y del vector mutante al descendiente, donde cada uno de los elementos del vector trial
puede ser tomado del vector padre o del vector de mutación con una probabilidad CR, y
4.2.
19
EVOLUCIÓN DIFERENCIAL
j = jrand
se da con la nalidad de asegurar que cuando menos se obtenga un parámetro del
vector de mutación
→
−
xi
como se muestra en la Ec. (4.2), donde
u i ,G
ui ,G =
xi , G
si
randj [0, 1) < CR
o
CR [0, 1].
j = jrand
en otro caso
(4.2)
En la Figura 4.2 se muestra la cruza binomial.
Figura 4.2: Cruza Binomial.
El reemplazo de la ED se realiza con base en la aptitud evaluada en la función objetivo,
para lo cual se compara el vector trial con el vector target y se mantiene aquel que tenga
mejor aptitud, lo anterior se encuentra dado en la Ec.(4.3).
x~i ,G+1
u~i ,G
=
x~i ,G
si
f (~
ui ,G ) < f (~
xi ,G )
en otro caso
(4.3)
En la Figura 4.3 se muestra el esquema del proceso de mutación y recombinación. Las
echas y indican la dirección de desplazo del vector de solución, el tamaño de la echa indica
la magnitud del desplazamiento, los puntos representan la posición actual de los vectores de
solución y el cuadro punteado representa el área donde estará ubicado el vector resultante
después de la recombinación.
20
CAPÍTULO 4.
COMPUTACIÓN EVOLUTIVA
Figura 4.3: Recombinación y mutación.
4.2.1.
Variantes de la ED
La nomenclatura usada para identicar las variantes de la ED se encuentra dada por
DE/a/b/c donde `DE' se reera a Evolución Diferencial, `a' se reere al criterio de selección
de uno de los individuos a usar en el vector de mutación (llamado vector base), `b' se reere
al número de diferencias calculadas en el vector de mutación y `c' se reere al operador de
recombinación elegido [27].
La variante más popular es DE/rand/1/bin (ver Figura 4.4), donde `rand' indica que el
vector base usado en la mutación se obtiene aleatoriamente. El `1' indica que solo un par
de vectores serán usados en la mutación diferencial. La palabra `bin' indica que se utilizará
recombinación binomial.
4.2.
21
EVOLUCIÓN DIFERENCIAL
1. Inicio
2.
G=0
3.
Se crea la población inicial aleatoria
4.
Evaluar
5.
For
6.
f (xi,G )∀i, i = 1, ..., N P
G=1
For
Xi ,G ∀i, i = 1, ..., N P
to MAX_GEN Do
i=1
to
NP
Do
7.
Seleccionar aleatoriamente
8.
jrand= randint(1,D)
9.
For j=1 to D Do
10.
If (randj [0, 1)
< CR
or
r1 6= r2 6= r3:
j = jrand )
Then
ui,j,G = xr3,j,G + F (xr1,j,G − xr2,j,G )
11.
12.
Else
13.
ui,j,G = xi,j,G
14.
End If
15.
End For
16.
If(
17.
f (ui,G ) ≤ f (xi,G )
) Then
xi,G+1 = ui,G
18.
Else
19.
xi,G+1 = xi,G
20.
End If
21.
End For
22.
G=G+1
23.
End For
24. Fin
Figura 4.4: Algoritmo DE/rand/1/bin. randint(min,max) es una función que regresa un
numero entero entre min y max. rand[0,1] es una función que regresa un número real entre
0 y 1. NP, MAX_GEN, CR y F son parámetros denidos por el usuario. D es la dimensión
del problema.
En la Tabla 4.1 se listan las principales variantes de la ED, donde se muestra que
los procedimientos para recombinación utilizados son binomial (bin) y exponencial. En la
recombinación binomial se elige para cada variable en el vector, un número aleatorio entre
[0,1) y si éste es menor o igual que el valor CR entonces la variable se toma del vector de
mutación
~v ,
de lo contrario se toma del vector padre
~x.
En la recombinación exponencial se
elige de la misma forma que la binomial, con la diferencia de que en cuanto encuentra un
valor aleatorio mayor a CR, las variables restantes se toman del vector padre. Las variantes
best son aquellas donde el vector base es el mejor vector de toda la población actual.
22
CAPÍTULO 4.
Nomenclatura
rand/p/bin
rand/p/exp
best/p/bin
best/p/exp
current − to − rand/p
current − to − best/p
current − to − rand/p/bin
rand/2/dir
Modelo
COMPUTACIÓN EVOLUTIVA
Pp
p
− xrp ,j ) si randj [0, 1) < CR o j = jrand
2
x
,
j
en otro caso
Pp i
xr3 ,j + F k=1 (xrp ,j − xrp ,j ) mientras randj [0, 1) < CR o j = jrand
1
2
ui , j =
en otro caso
Pxpi , j
xbest,j + F k=1 (xrp ,j − xrp ,j ) si randj [0, 1) < CR o j = jrand
1
2
ui , j =
en otro caso
P xi , j
xbest,j + F pk=1 (xrp ,j − xrp ,j ) mientras randj [0, 1) < CR o j = jrand
1
2
ui , j =
xi , j P
en otro caso
p
u~i = x~i + K(x~r3 − x~i ) + F k=1 (~
xrp − ~
xrp )
1
2
P
u~i = x~i + K(xbest
~ − x~i ) + F pk=1 (~
x p −~
xrp )
2
Prp1
~
xi,j + K(~
xr3 ,j − ~
xi,j ) + F k=1 (~
xrp ,j − ~
xrp ,j ) si randj [0, 1) < CR o j = jrand
1
2
ui , j =
xi , j
en otro caso
F
v~i = v~1 + 2 (v~1 − v~2 + v~3 − v~4 ) donde f (v~1 ) < f (v~2 ) y f (v~3 ) < f (v~4 )
ui , j =
xr3 ,j + F
k=1 (xr1 ,j
Tabla 4.1: Principales modelos de la ED
Las variantes de la ED pueden ser agrupados en tres categorías de acuerdo a sus operadores
de recombinación:
Recombinación discreta.
• DE/rand/1/bin
• DE/rand/1/exp
• DE/best/1/bin
• DE/best/1/exp
Recombinación aritmética.
• DE/current − to − rand/1
• DE/current − to − best/1
Recombinación aritmética-discreta.
• DE/current − to − rand/1/bin
• DE/current − to − best/1/exp
4.3. Manejo de restricciones
Los algoritmos evolutivos en general fueron diseñados para resolver problemas sin
restricciones, por lo que la información de factibilidad de soluciones debe incorporarse
mediante técnicas de manejo de restricciones, las cuales conforman un área de investigación
dentro de los algoritmos evolutivos.
En [28] se agrupan los métodos en cuatro categorías:
1. Métodos basados en preservar la factibilidad de las soluciones.
2. Métodos basados en funciones de penalizacion.
3. Métodos en los cuales se distingue claramente la factibilidad y la no factibilidad.
4.3.
23
MANEJO DE RESTRICCIONES
4. Otros métodos híbridos
En este trabajo se realiza el manejo de restricciones mediante funciones de penalización,
el cual se basa en transformar el problema de optimización con restricciones en uno sin
restricciones. Para realizarlo se suma una cantidad a la aptitud del individuo basada en
la magnitud de la violación de las restricciones. Las funciones de penalización pueden ser
clasicadas en dos tipos [29]:
Exterior.
A partir de una solución no factible el proceso se moverá hacia la zona
factible. Esta es la penalización que se utiliza en el presente trabajo de tesis.
Interior. La magnitud de penalización se elige de manera que su valor sea pequeño en
puntos lejanos a los límites de la zona factible y la no factible, y que tienda a innito
para puntos cercanos a ese límite.
Para poder dirigir al algoritmo a un óptimo global factible se necesitan elegir los valores
adecuados para la magnitud de penalización, llamados factores de penalización. Algunas
alternativas enfocadas a este aspecto son las siguientes [29]:
Pena de muerte. Propone asignar una aptitud de cero a los individuos no factibles.
Penalizaciones estáticas.
Asume que los factores de penalización permanecen sin
cambios durante el proceso.
Penalizaciones dinámicas. El grado de penalización depende del tiempo o generación
en la que se encuentre, donde generalmente la penalización es mas severa en etapas
avanzadas.
Penalización basada en factibilidad.
En [30] Kalyanmomoy Deb propone un
método que corresponde a la segunda y tercera categorías descritas en [28]. Un torneo
binario para el operador de selección, donde dos soluciones se comparan siguiendo los
siguientes criterios:
•
Una solución factible es elegida sobre una no factible.
•
Entre dos soluciones factibles, se preere aquella que tenga la mejor aptitud (mejor
valor en la función objetivo).
•
Entre dos soluciones no factibles, se elige la de menor valor de violación.
En el presente trabajo se utilizan dos tipos de penalización que corresponden a su vez
a la clasicación de penalización exterior. La penalización estática, donde si existe una
violación en la restricción de voltaje que se maneja se procede a penalizar aumentando en
1000 unidades el valor de aptitud, esta penalización se menciona en el
variante − ED/penalización . El segundo tipo de penalización utilizado
documento como
es la penalización
basada en factibilidad, para su distinción en las variantes utilizadas en el documento se
nombra como variante
− ED/regla de Deb .
24
CAPÍTULO 4.
COMPUTACIÓN EVOLUTIVA
Capı́tulo
5
Resultados
En este capítulo son analizados los resultados obtenidos. En la sección 5.1 se especican
las herramientas y parámetros utilizados en el sistema de control adaptable, asi como los
parámetros utilizados en los algoritmos para su ejecución. En la sección 5.2 se realiza una
comparativa entre algunas variantes de la ED para identicar al de mejor desempeño. Este
estudio se centró en variantes best de ED, pues en estudios preliminares se observó que
estas variantes fueron mucho más estables que las variantes rand. Las variantes rand se
pretenden retomar como trabajo futuro. En la sección 5.3 se hace una comparación estadística
entre el algoritmo con mejor comportamiento mostrado en la sección anterior contra el
controlador clásico PI. En todos los casos, cada vector de la ED representa el conjunto
de seis parámetros estimados del motor de CD y la función objetivo es aquella expresada en
la Ec. (3.1).
5.1. Diseño experimental
Las pruebas fueron realizadas utilizando una computadora con procesador Intel Core
i5-3317U 1.70 GHz, memoria 4 GB en un sistema operativo Windows 8.1 para 64 bits.
La simulación se llevó a cabo utilizando el programa MATLAB R2013a.
Para las pruebas estadísticas se utilizó el programa XLSTAT desarrollado por Addinsoft
el cual es una herramienta estadística para Microsoft Excel, misma que se utilizó para la
realización de los test de Kruskall-Wallis, Friedman y Wilcoxon en la comparación entre
algoritmos. Las cuales permiten comparar la distribución entre muestras para poder concluir
si existe diferencias signicativas entre ellas.
Los parámetros de los algoritmos fueron calibrados de manera automática utilizando la
herramienta Irace (Iterated Racing Procedure) [31].
Las ganancias utilizadas en el control por dinámica inversa son,
kp = 34524
y
kd = 368.
Para simular el comportamiento dinámico del motor se utilizó el método de Euler con un
−3
paso de integración ∆t = 5 × 10 s, con un tiempo inicial t0 = 0s y tiempo nal tf = 6s, se
toma en cuenta que para el tiempo inicial la posición angular, velocidad angular y corriente
x0 = 0 0 0 . Se toma como restricción de voltaje que debe estar en un
−70volts ≤ u ≤ 70volts. Se eligen los parámetros reales del motor mostrados en la
del motor es cero
rango de
Tabla 5.1.
25
26
CAPÍTULO 5.
Parámetro
J0
km
b0
Ra
ke
La
TL
−4
b0
Valor
3.45 × 10 N ms2
0.3946N m
5.85 × 10−4 N ms2
9.665Ω
0.4133V /rads
102.44 × 10−3 H
0
Tabla 5.1: Parámetros nominales del motor, donde
constante de par,
RESULTADOS
J0 es la inercia del motor, km es la
Ra es la resistencia de armadura, ke
la inductancia de armadura y TL es la
es el coeciente de fricción viscosa,
es la constante de la fuerza contra-elctromotriz,
La
es
carga o par del motor.
1
El sistema de control propuesto se utilizó para el problema de regulación y seguimiento .
Se propone para el problema de regulación la referencia
wr = 40rad/s.
Para el problema
de seguimiento se utiliza la trayectoria mostrada en las Ec. (5.1) - (5.3).
wr = 40sin(2πt)rad/s
wr
˙ = 80πcos(2πt)rad/s2
wr
¨ = −160π 2 sin(2πt)rad/s2
En los casos de prueba que se analizan se realizaron ejecuciones en
(5.1)
(5.2)
(5.3)
0s ≤ t ≤ 6s, donde en
ambos problemas (regulación y seguimiento) se toman en cuenta los parámetros nominales
mostrados en la Tabla 5.1 y para el sistema real se toman como base los parámetros nominales
presentando las variaciones que se detallan a continuación:
Regulación 1 y Seguimiento 1: Se varían los parámetros reales durante el periodo de
tiempo
2s ≤ t ≤ 4s
utilizando la función
sin
con respecto al tiempo y con frecuencias
diferentes para cada parámetro, la cual sumada al parámetro afectado puede aumentar
desde cero hasta un máximo de 10 % de su valor nominal (este comportamiento se
denomina en el documento como parámetros dinámicos y se presentan en la Tabla 5.2).
Regulación 2 y Seguimiento 2: Se utilizan los parámetros del sistema real acordes a los
parámetros nominales (ver Tabla 5.1) y se varían los parámetros de manera dinámica
en el periodo de tiempo
0s ≤ t ≤ 6s
como se muestra en la Tabla 5.2).
1
Los dos problemas de control son el problema de regulación y el problema de seguimiento [24].
El problema de regulación consiste en encontrar la señal de control u de tal forma que lı́mt→∞ qm
˙ (t) = wr ,
donde wr es la velocidad deseada dada como vector constante.
El problema de seguimiento consiste en encontrar la señal de control u de tal forma que lı́mt→∞ e(t) = 0,
donde e(t) = wr (t) − qm
˙ (t) es el error en velocidad.
5.2.
ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTO DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN
Parámetro
Valor
R̆a
k˘e
L˘a
T˘L
J0 + 0.10 × J0 × sin(2Π 31 t)
km + 0.10 × km × sin(2Πt)
b0 + 0.10 × b0 × sin(2Π 12 t)
Ra + 0.10 × Ra × sin(2Π 31 t)
ke + 0.10 × ke × sin(2Πt)
La + 0.10 × La × sin(2Π 12 t)
0
J˘0
k˘m
b˘0
27
J0 es la inercia del motor, km es la
constante de par, b0 es el coeciente de fricción viscosa, Ra es la resistencia de armadura, ke
es la constante de la fuerza contra-elctromotriz, La es la inductancia de armadura y TL es la
Tabla 5.2: Parámetros reales dinámicos del motor, donde
carga o par del motor.
Se dene al error en velocidad como
e(t) = wr (t)−q˙m (t), donde wr es la trayectoria deseada
en velocidad y q˙m (t) es la trayectoria real del sistema. El error promedio se encuentra dado
R tf e(t)
dt para t̆ = 1.6s y tf = 6s, el cual se reere a la media del error en
como ex̄ =
t̆ tf −t̆
velocidad. El error promedio tiene un tiempo inicial
t̆ = 1s
ya que es el tiempo aproximado
en que el controlador PI y el controlador adaptable basado en evolución diferencial CAED
se estabilizan. La desviación estándar del error es representada por
para
t ≥ 1.6s.
eσ
y se toma en cuenta
La señal de control generada en todo el tiempo para cada caso de prueba se
encuentra representada por
kuk.
5.2. Análisis de comportamiento del algoritmo de
optimización
En esta sección se analiza el comportamiento obtenido con el controlador basado en
Best/1/bin/penalización, Best/1/bin/regla de Deb,
Current − to − best/regla de Deb, donde en las variantes
las variantes de la evolución diferencial:
Curret − to − best/penalización
y
mencionadas, la palabra `penalización' se reere a penalización estática, en el presente trabajo
se utiliza una constante de penalización de
1000 unidades las cuales son agregadas al valor de
error obtenido por la función objetivo en caso de que viole la restricción de voltaje propuesta.
Los algoritmos fueron calibrados con la herramienta i-Race, los parámetros utilizados se
describen en la Tabla 5.3, donde CR es la probabilidad de cruza, F es el factor de escala,
NP es el tamaño de la población y tR es el tiempo de retroceso utilizado en el calculo de
integración para obtener el error en velocidad.
28
CAPÍTULO 5.
Algoritmo
Manejo de restricciones
Current − to − best (CTBP)
Current − to − best (CTBRD)
Best/1/bin (B1BP)
Best/1/bin (B1BRD)
RESULTADOS
K
CR
F
NP
tR
Penalización
0.6302
0.5992
Regla de Deb
0.8684
0.6516
0.3567
42
10
0.4281
112
9
Penalización
-
0.8118
0.4019
50
10
Regla de Deb
-
0.8869
0.5639
65
9
Tabla 5.3: Parámetros calibrados por la herramienta i-Race
Se realizaron 10 ejecuciones de cada problema, utilizando los algoritmos que se estudian,
y se obtuvieron los resultados estadísticos mostrados en la Tabla 5.4, donde se anota la norma
de error obtenida en cada una de las ejecuciones. Se registran únicamente las ejecuciones con
comportamiento aceptable, es decir, el error en trayectoria fué menor al
5%
con respecto a
la trayectoria deseada para todo instante de tiempo, se marcan con guión `-' los resultados
no aceptables.
El número de resultados no satisfactorios por algoritmo fueron: 4 con el algoritmo B1BP
(en
regulación 2 ),
regulación 1 y 1 en regulación 2 ), 2 con el
regulación 2 ) y 1 utilizando CTBRD (en regulación
2 utilizando B1BRD (1 en
algoritmo CTBP (1 en
regulación 1
y 1 en
2 ). Con lo anterior se observa que el algoritmo menos able es el B1BP, y el algoritmo mas
able es el CTBRD el cual sólo obtuvo un valor no satisfactorio. El tiempo de respuesta
obtenido por los algoritmos presentó una media de 0.3171 seg. Originalmente se buscaba
bajar la barrera de los 5 milisegundos, lo cual se plantea como un trabajo futuro de esta
tesis.
Corrida
Regulación 1
Algoritmo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Media
Mediana
Desv. Est.
B1BP
2.9641
5.8824
3.4199
3.8861
2.7179
9.6626
7.6951
3.3285
5.3663
3.1186
4.8042
3.653
2.3323
B1BRD
3.4142
4.8499
5.3991
4.679
6.5084
5.5136
5.8719
2.465
4.189
4.7656
4.8499
1.2594
a)
CTBP
2.5048
2.3579
2.3067
5.5118
2.2367
2.7207
3.908
2.8082
2.372
2.9696
2.5048
1.0814
Regulación 2
Algoritmo
CTBRD
Corrida
2.2318
2.19
0.6261
Media
Mediana
Desv. Est.
1.9645
3.8882
1.6994
2.1799
1.7826
2.2266
1.7732
2.3436
2.2602
2.2001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B1BP
6.9538
7.5022
5.9647
5.3584
5.0047
6.4904
6.2425
6.2276
0.9089
B1BRD
6.5687
6.9558
7.7221
5.5069
4.9392
6.9657
7.052
6.1263
5.923
6.4177
6.5687
0.8705
b)
CTBP
5.2931
5.6116
4.6116
5.2807
4.766
4.0889
5.0047
5.5646
5.1967
5.0464
5.1967
0.4890
CTBRD
5.4969
3.2533
4.3257
4.4052
5.2921
5.7081
3.6742
3.7599
3.8898
4.4228
4.3257
0.8820
5.2.
ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTO DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN
Corrida
Seguimiento 1
Algoritmo
B1BP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.0121
1.4333
1.3505
1.3885
1.6834
1.7265
1.4952
1.4968
2.3463
1.4089
1.73415
1.496
0.5361
Media
Mediana
Desv. Est.
B1BRD CTBP
2.2859
1.7801
1.7481
1.7162
2.045
1.5811
1.7379
1.8127
1.6597
1.6173
1.7984
1.743
0.2138
c)
1.3993
1.7366
1.7098
1.6466
1.5854
1.2843
1.3611
1.3826
1.3728
2.0222
1.55007
1.49235
0.2315
Seguimiento 2
Algoritmo
CTBRD
Corrida
1.36619
1.34845
0.0658
Media
Mediana
Desv. Est.
1.3228
1.311
1.4452
1.4091
1.4356
1.3564
1.3405
1.4601
1.2841
1.2971
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B1BP
1.1658
1.2108
2.6003
1.3707
1.0995
1.2115
1.09
1.0643
1.0748
1.3602
1.3248
1.1883
0.4616
B1BRD
1.829
2.6438
1.4769
1.8798
2.0412
1.5632
3.0749
1.7569
3.4493
1.5431
2.1258
1.8544
0.6904
d)
CTBP
1.5768
1.6599
1.6541
1.584
2.3379
2.918
1.3157
1.5017
1.5433
1.4875
1.7579
1.5804
0.4883
29
CTBRD
1.4196
1.1213
1.3897
1.4605
1.3515
1.1315
1.0414
1.6356
1.2986
1.2216
1.3071
1.3251
0.1814
Tabla 5.4: Tabla de resultados: a)Regulación 1, b) Regulación 2, c) Seguimiento 1, d)
Seguimiento 2
En la Tabla 5.5 se muestran los resultados de la prueba de Kruskall Wallis y la prueba
de Friedman. En la Tabla 5.6 se detallan los resultados de la tabla de Wilcoxon aplicada a
pares de algoritmos. Las tres pruebas estadísticas anteriormente plantean la hipótesis nula
de que la distribución entre las muestras comparadas son iguales. Si el llamado p-value es
menor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, que indica que la
distribución entre las muestras comparadas es diferente, por lo que las diferencias observadas
en las estadísticas de las ejecuciones son signicativas.
De acuerdo con los resultados obtenidos, se aprecia en la Tabla 5.5 que en los cuatro
casos (problemas de regulación 1, regulación 2, seguimiento 1 y seguimiento 2) se rechaza la
hipótesis nula en el test de Kruskall Wallis y en el test de Friedman, por lo tanto se acepta
la hipótesis alterna de que las distribuciones entre las muestras son diferentes, por lo que se
concluye que las diferencias observadas en las muestras de ejecuciones son signicativas.
Tabla 5.5: Resultados de las pruebas de Kruskall Wallis y Friedman
Problema
Regulación 1
Regulación 2
Seguimiento 1
Seguimiento 2
Signicancia asintótica
Test de Kruskall Wallis Test de Friedman
<0.0001
0.001
0.001
<0.0001
0.0013
0.0406
0.0018
0.0004
30
CAPÍTULO 5.
RESULTADOS
Tabla 5.6: Resultado de la prueba de Wilcoxon
Test de Wilcoxon
Signicancia asintótica
Reg. 1 Reg.2 Seg. 1 Seg.2
CTBRD - CTBP
0.076
0.08
0.032
0.011
CTBRD - B1BP
0.006
0.036
0.019
0.541
CTBRD - B1BRD
0.009
0.021
0.006
0.006
CTBP - B1BP
0.044
0.106
0.683
0.053
CTBP - B1BRD
0.042
0.014
0.041
0.262
B1BP - B1BRD
0.813
1
0.476
0.041
Algoritmos
En la Figura 5.1 se muestra en grácas de caja los resultados que se encuentran en la
Tabla 5.4, donde la línea horizontal que divide cada una de las cajas representa la mediana
obtenida en el conjunto de 10 ejecuciones independientes.
Figura 5.1: Grácos comparativos entre algoritmos
Considerando los resultados en el problema de regulación 1 (ver Tablas 5.4 a) y 5.1 a) ) se
observa que los valores mas bajos se obtuvieron con el algoritmo CTBP y CTBRD, para los
cuales se observan diferencias signicativas con respecto a los algoritmos B1BP y B1BRD.
Observando los resultados en el problema de regulación 2 (ver Tablas 5.4 b) y 5.1 b))
los algoritmos que obtienen los valores más bajos son nuevamente el algoritmo CTBP y
CTBRD, en la cual el algoritmo CTBRD muestra diferencia signicativa con respecto a B1BP
y B1BRD, mientras que el algoritmo CTBP muestra diferencia signicativa con respecto a
B1BRD pero no así al compararlo con B1BP.
Analizando el comportamiento en el problema de seguimiento 1 (ver Tablas 5.4 c) y 5.1
c)) se observa que los algoritmos CTBP y CTBRD obtienen la media y mediana más baja
que los algorimos B1BP y B1BRD, en el test de Wilcoxon se encuentra que CTBP obtiene
5.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS COMPARATIVOS CON OTRA TÉCNICA DE CONTROL31
diferencias signicativas con respecto a B1BRD pero no contra B1BP, sin embargo en B1BP
muestra un valor atípico que es notablemente más grande (3.0121) con respecto al máximo
valor obtenido por el algoritmo CTBP (2.0222). Referente al algoritmo CTBRD se encontró
diferencias signicativas contra los tres algoritmos con los que se compara, siendo éste el que
presenta la media, mediana y desviación estándar mas baja.
Al comparar los resultados obtenidos en el problema de seguimiento 2 (ver Tabla 5.4 c) y
5.1 c)) se aprecia que los algoritmos que obtienen los valores más bajos son B1BP y CTBRD,
sin embargo el algoritmo B1BP presenta un valor atípico mayor que el máximo valor obtenido
por CTBRD. El algoritmo CTBRD presenta diferencia signicativa con respecto a CTBP y
tiene una media, mediana y desviación estándar menores.
Con lo anterior se puede concluir que el algoritmo que genera un mejor comportamiento
para el controlador CAED es el algoritmo CTBRD, ya que presenta la norma de error menor
estadísticamente contra los demás algoritmos contra los que se compara. De igual manera se
nota que de los cuatro algoritmos, es el CTBRD el que presentó únicamente un resultado no
favorable en un instante de tiempo en la ejecución 8 del problema de regulación 2.
Dada esta conclusión, se realizó una comparativa de desempeño entre el controlador clásico
PI, con respecto al control CAED que utiliza la variante CTBRD.
5.3. Análisis de resultados comparativos con otra técnica
de control
Se elige para la comparación al controlador PI ya que es una técnica muy utilizada para
problemas de control automático. En [32] presenta un controlador PI para un motor síncrono
de imán permanente alimentado por un convertidor matricial. En [33] se presenta un esquema
de control PI de autoajuste difuso para los sitemas de control de velocidad con motores
ultrasónicos producidos por Shinsei Corporation en Japón.
5.3.1.
Control proporcional-integral
u es la señal de entrada, kp es la constante
e = wr − q̇ es el error que se da entre la velocidad
En el control PI [34] se utiliza la Ec.(5.4), donde
proporcional,
deseada
wr
ki
es la constante integral,
y la velocidad real
q̇
del motor.
Z
u = kp e + ki
t
e dt
(5.4)
0
Para su implementación se utiliza la Ec. (5.4), con una constante proporcional
y una constante integral
5.3.2.
kp = 0.15
ki = 12.9904.
Comparativa entre el controlador PI y el controlador CAED
basado en el algoritmo CTBRD
La comparación se realiza con base en tres criterios, el criterio de integridad de error
absoluto (CIEA) dado en la Ec. (5.5), criterio de integridad de error absoluto por tiempo
32
CAPÍTULO 5.
RESULTADOS
(CIEAT) representado en la Ec. (5.6) y criterio de integridad de error cuadrático (CIEC)
|e(t)|
1s ≤ t ≤ 6s.
dado en la Ec. (5.7), donde
periodo de tiempo
es la norma de error en velocidad que se evalua en el
6
Z
|e(t)| · dt =
1
Z
6
t · |e(t)| · dt =
1
6
Z
e2 · dt =
1
6
X
i=1
6
X
i=1
6
X
|ei | · dt
(5.5)
ti · |ei | · dt
(5.6)
e2i · dt
(5.7)
i=1
PI
CAED
Regulación 1
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
CIEA
191.7617
191.7617
0
CIEAT
584.7208
584.7208
0
a)
Regulación 2
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
CIEA
484.0223
484.0223
0
CIEAT
1683.209
1683.209
0
c)
Seguimiento 1
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
CIEA
5176.836
5176.836
0
CIEAT
18006.33
18006.33
0
e)
Seguimiento 2
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
CIEA
5161.922
5161.922
0
g)
CIEAT
17909.65
17909.65
0
CIEC
111.1628
111.1628
0
CIEC
288.7147
288.7147
0
CIEC
33078.68
33078.68
0
CIEC
33074.92
33074.92
0
Regulación 1
CIEA
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
34.2405
31.9373
6.0609
b)
CIEAT
102.234
95.6884
20.0381
Regulación 2
CIEA
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
82.6115
81.1991
6.9297
d)
CIEAT
281.7535
281.0921
18.5411
Seguimiento 1
CIEA
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
35.4370
34.3451
3.1482
f)
CIEAT
122.2728
117.4929
12.1586
Seguimiento 2
CIEA
MEDIA
MEDIANA
DESV. EST.
36.61931
36.24145
7.105131
h)
CIEAT
131.2836
125.8612
20.02316
CIEC
8.3504
5.646
5.6044
CIEC
19.9969
15.6258
11.999
CIEC
2.7226
2.1015
1.3390
CIEC
4.72944
2.1403
8.385448
Tabla 5.7: Resultados de los criterios de desempeño de los controladores PI y CAED
Al comparar los resultados obtenidos con el CIEA (ver Tabla 5.7) entre el controlador PI
y el controlador CAED, se aprecia que el error generado con CAED es notablemente menor
en la media y la mediana para los cuatro problemas presentados ( aproximadamente 16.68 %
del error obtenido en regulación y 0.66 % del error obtenido en seguimiento, con respecto al
controlador PI ), lo que nos indica que la respuesta del controlador CAED es satisfactoria ya
que presenta un mejor amortiguamiento ante las incertidumbres presentadas.
Comparando los resultados obtenidos con el CIEAT, el controlador CAED presenta errores
menores que el control PI en los 4 problemas presentados ( aproximadamente 16.69 % del
5.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS COMPARATIVOS CON OTRA TÉCNICA DE CONTROL33
error obtenido en regulación y 0.73 % del error obtenido en seguimiento, con respecto al
controlador PI ), este criterio castiga de manera más severa cuando los errores son producidos
más tarde, sin embargo la diferencia de error entre ambos controladores es muy fuerte, por
lo que se deduce que el control CAED presenta errores muy pequeños durante su ejecución,
en comparación con el control PI.
Observando los resultados obtenidos con el CIEC, el controlador CAED tiene los registros
de error menores ( aproximadamente 7.51 % del error obtenido en regulación y 0.014 % del
error obtenido en seguimiento, con respecto al controlador PI ), dado que este criterio da
una mayor importancia a los errores grandes y menor a los pequeños, la diferencia de error
obtenida entre ambos controladores nos indica que el error presentado en el control PI se ha
disminuido de manera drástica al utilizar el control CAED ya que el error converge a cero
más rápidamente.
En las Figuras 5.2-5.5 se muestra el comportamiento gráco del seguimiento en velocidad
del controlador PI (incisos a y c) y del control CAED (incisos b y d). La línea punteada
de color rojo representa la velocidad deseada y la línea negra es la velocidad real del
2
motor. Las leyendas |e(t)|, t |e(t)| y e (t) representan a los criterios CIEA, CIEAT y CIEC
respectivamente. La leyenda
kvk
representa la norma en volts de la señal de control.
En las grácas se puede apreciar nuevamente que el controlador CAED presenta un mejor
seguimiento en los cuatro problemas presentados al seguir de manera mas el la trayectoria
deseada, presentando errores mas bajos en los criterios de error evaluados.
Figura 5.2: Problema de Regulación 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 % de
su valor nominal para
2s ≤ t ≤ 4s.
34
CAPÍTULO 5.
RESULTADOS
Figura 5.3: Problema de Regulación 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 % de
su valor nominal para
0s ≤ t ≤ 6s.
Figura 5.4: Problema de Seguimiento 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
2s ≤ t ≤ 4s.
5.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS COMPARATIVOS CON OTRA TÉCNICA DE CONTROL35
Figura 5.5: Problema de Seguimiento 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10 %
de su valor nominal para
0s ≤ t ≤ 6s.
36
CAPÍTULO 5.
RESULTADOS
Capı́tulo
6
Conclusiones y Trabajo Futuro
En este trabajo se presentó una opción basada en un algoritmo evolutivo para mejorar
el seguimiento en velocidad deseada del sistema de control de un motor de CD bajo el
efecto de incertidumbres paramétricas, con respecto a la técnica clásica de control PI.
Para ello se utilizó un controlador basado en evolución diferencial. El estudio se basó en
dos fases principales, primeramente se realizó una comparación entre algunas variantes de
penalización, Best/1/bin/regla de Deb, Curret − to −
Current − to − best/regla de Deb ), y posteriormente una segunda fase
evolución diferencial (Best/1/bin/
best/penalización
y
donde se compara el algoritmo que nos dio un mejor resultado en la fase 1 con respecto al
controlador PI.
6.1. Observaciones nales
Con base en los resultados obtenidos en la fase 1 se observó lo siguiente:
•
El algoritmo que obtuvo el mayor numero de errores durante la trayectoria fue el
B1BP ya que se presentó 4 resultados no satisfactorios durante las ejecuciones.
•
El algoritmo que logro seguir la trayectoria deseada de manera más able fue
el CTBRD, el cual sólo obtuvo un resultado no satisfactorio considerando las
ejecuciones en los 4 problemas (regulación 1 y 2, así como seguimiento 1 y
2), así como también presentó la menor norma de error entre los algoritmos
implementados.
Con base en los resultados obtenidos en la fase 2 se concluyó lo siguiente:
•
El control CAED presenta un mejor amortiguamiento ante las incertidumbres
presentadas.
•
El control CAED obtiene errores mas bajos durante el seguimiento de la velocidad
deseada (menos del
•
17 %
con respecto al controlador PI).
El control CAED converge a cero de manera mas rápida con respecto al control
PI.
37
38
CAPÍTULO 6.
CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO
Los resultados nales de ambas fases permiten validar la hipótesis de investigación
originalmente planteada en el Capítulo 1, pues la ED logra encontrar mejores soluciones que el
método clásico de control. Sin embargo, el tiempo esperado para tal proceso (5 milisegundos)
no fue alcanzado.
6.2. Trabajos Futuros
Tomando en consideración los resultados del algoritmo para dar un mejor seguimiento en
velocidad del motor de CD, se plantean como posibles trabajos futuros los siguientes puntos
con la nalidad de minimizar el tiempo de respuesta del algoritmo:
Implementación de microalgoritmos bio-inspirados. Podría permitir una disminución en
el numero de evaluaciones realizadas al trabajar con pocos individuos, y esto conlleve
a su vez en una disminución al tiempo de respuesta.
Implementación de procesamiento paralelo. Se podría implementar de tal manera que
se puedan paralelizar las evaluaciones realizadas y de esta manera conseguir tiempos
menores.
Probar las variantes rand para analizar su desempeño en este tipo de problemas de
control.
Bibliografía
[1] V.N.
Krovy
Ji-Chul
Ryu
S.K.
Agrawal
C.P.
Thang,
P.T.
Miller.
Dierential
atness-based planning and control of a wheeled mobile manipulator theory and
experiment.
IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 16(4):768773, 2011.
[2] D. Zhang Z. Ma-X. Jing F.Wang, X. Zhao.
Robust and precision control for a
Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part
C: Journal of Mechanical Engineering Science, 225(5):11071120, 2011.
directly-driven xy table.
[3] Sergey
Edward
Lyshevski.
Nonlinear
control
[4] H. Sira-Ramírez R. Morales, J.A. Somolinos.
Adaptive Control.
[6] M. Vidyasagar Mark W. Spong.
with
Measurements, 47:401417, 2014.
Prentice Hall.
Robot Dynamics and Control.
Nonlinear Control Systems.
system
Control of a DC motor using algebraic
derivative estimation with real time experiments.
[7] Alberto Isidori.
mechatronic
Mechatronics, 9(5):539552, 1999.
permanent-magnet dc motors.
[5] Wittenmark B. Astrom K. J.
of
John Wiley & Song.
Springer-Verlag Berlin and Heidelberg
GmbH & Co. K., 1995.
[8] Mark W. Spong Romeo Ortega.
Automatica, 25:877888, 1989.
[9] Jean-Jacques E. Slotine.
[10] Hassan K. Khalil.
Adaptive motion control of rigid robots: A tutorial.
Applied Nonlinear Control.
Nonlinear Systems.
[11] Yang Shi Jiabo Zhang, Feng Ding.
Prentice-Hall, 1991.
Prentice-Hall, 2001.
Self-tuning control based on multi-innovation
stochastic gradient parameter estimation.
System & Control Letters, 58:6975, 2009.
[12] V. Mata-M. Díaz-Rodríguez A. Valera J. Cazalilla, M. Valles.
Adaptive control of a
3-dof parallel manipulator considering payload handling and relevant parameter models.
Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 30(5):468477, 2014.
[13] M. Willjuice Iruthayarajan and S. Baskar.
multivariable pid controller.
Evolutionary algorithms based design of
Expert Syst. Appl., 36(5):91599167, July 2009.
39
40
BIBLIOGRAFÍA
[14] Kong Li Chen Hong.
Swarm intelligence-based extremum seeking control.
Systems with Applications, 38(12):1485214860, 2011.
Expert
[15] Jaime Alvarez-Gallegos Edgar A. Portilla-Flores Miguel G. Villarreal-Cervantes, Carlos
A. Cruz-Villar.
Robust structure-control design approach for mechatronic system.
IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 18(5):15921601, 2013.
[16] Bharat Bhushan and Madhusudan Singh. Adaptive control of DC motor using bacterial
Appl. Soft Comput., 11(8):49134920, December 2011.
foraging algorithm.
[17] Celik Ozturk Ozturk Nihat. Speed control of permanent magnet synchronous motors
using fuzzy controller based on genetic algorithms.
Electrical Power and Energy Systems,
43:889898, 2012.
[18] Kalyanmoy Deb.
Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms.
Wiley,
2002.
Introduction to Evolutionary Computing.
[19] A.E. Eiben J.E. Smith.
[20] Benjamin C. Kuo.
Sistemas de Control Automático.
[21] Stephen J. Chapman.
[22] Katsuhiko Ogata.
Máquinas Eléctricas.
Dinámica de Sistemas.
Prentice Hall, 1996.
Mc Graw Hill, 2003.
Prentice Hall, 1993.
[23] Luigi Villani Giuseppe Oriolo Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco.
Planning and Control.
Springer, 2003.
Robotics: Modelling,
Springer, 2010.
[24] Seth Hutchinson Mark W. Spong and M. Vidyasagar.
Robot Modeling and Control. John
Wiley & Sons, inc., 2005.
[25] Andries P. Engelbrecht.
Computational Intelligence: An Introduction. Wiley Publishing,
2nd edition, 2007.
[26] Agoston
E.
Eiben
and
J.
E.
Smith.
Introduction to Evolutionary Computing.
SpringerVerlag, 2003.
Multi-objective
Optimization Using Dierential Evolution: A Survey of the State-of-the-Art. Springer
[27] Carlos A. Coello Coello Efrén Mezura-Montes, Margarita Reyes-Sierra.
Berlin Heidelberg, 2008.
[28] Zbigniew Michalewicz and Marc Schoenauer. Evolutionary algorithms for constrained
parameter optimization problems.
[29] Efrén Mezura-Montes.
Evolutionary Computation, 4:132, 1996.
Uso de la Técnica Multiobjetivo NPGA para el Manejo de
Restricciones en Algoritmos Genéticos.
Master's thesis, Universidad Veracruzana,
Septiembre 2001.
[30] Kalyanmoy Deb.
An ecient constraint handling method for genetic algorithms.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, pages 311338, 1998.
In
41
BIBLIOGRAFÍA
[31] Manuel López-Ibañez, Jérémie Dubois-Lacoste, Thomas Stützle, and Mauro Birattari.
The irace package, iterated race for automatic algorithm conguration. Technical Report
TR/IRIDIA/2011-004, IRIDIA, Université Libre de Bruxelles, Belgium, 2011.
[32] Youcef Sou.
PI control of permanent magnet synchronous motor fed by a matrix
Power Electronics and Motion Control Conference and Exposition (PEMC),
2014 16th International, pages 889892, 2014.
converter.
[33] Wen-Li Xu Yi-Sheng Zhong Yu Cheng, Fu-Rong Lei. Speed control of ultrasonic motors
by auto-tuning fuzzy pi control.
Intelligent Control and Automation, 2002. Proceedings
of the 4th World Congress on, 3:18821886, 2002.
[34] Katsuhiko Ogata.
Ingeniería de control moderna.
Pearson, 2010.