Momento angular

Chapter 1
MOMENTO ANGULAR
La teorı́a del momento angular en mecánica cuántica es de gran importancia tanto
por el número como por la variedad de sus consecuencias. A partir de la espectroscopı́a rotacional, que depende del momento angular de las moléculas, se consigue
información acerca de las dimensiones y formas de moléculas. Utilizando los espectros de resonancia magnética nuclear y de resonancia paramagnética electrónica,
cuyo origen es el momento angular de espı́n de núcleos y electrones, se consigue
información sobre la estructura y configuración de moléculas. El momento angular
orbital de los electrones en los átomos define las forma de los orbitales atómicos los
cuales, a su vez, determinan la orientación de los enlaces y la estereoquı́mica de las
moléculas.
De especial importancia es el momento angular de un sistema cuando es una
constante de movimiento, o sea, cuando se conserva, porque en este caso sirve para
clasificar los niveles de energı́a del sistema.
1.1
DEFINICIÓN CLÁSICA DEL MOMENTO ANGULAR
En mecánica clásica el momento angular de un cuerpo puntual con respecto al origen
de coordenadas es, por definición, el producto vectorial del vector posición ~r con el
momento p~:
~ = ~r × p~
L
(1.1)
~ cuyo origen es el centro de la órbita y cuya
El momento angular es un vector L
dirección viene dada por la regla de la mano derecha. Sus componentes:
Lx = ypz − zpy
1
Ly = zpx − xpz
(1.2)
Lz = xpy − ypx
y su módulo es:
|L| =
q
L2x + L2y + L2z
Las unidades de momento angular son:
cm × g
1.2
1.2.1
cm
= erg · seg
seg
OPERADORES DE MOMENTO ANGULAR:
PROPIEDADES
Los operadores de momento angular
En mecánica cuántica los operadores de momento angular orbital se obtienen a partir
de las expresiones clásicas aplicando las reglas del Postulado II y son:
∂
∂
= −ih̄ y
−z
∂z
∂y
∂
∂
= −ih̄ z
−x
∂x
∂z
∂
∂
= −ih̄ x
−y
∂y
∂x
L̂x
L̂y
L̂z
(1.3)
L̂2 = L̂ · L̂ = L̂2x + L̂2y + L̂2z
donde la constante h̄ es igual a 1 en unidades atómicas.
Para poder aplicar estos operadores sobre funciones del tipo Ψ(r, θ, φ) es necesario expresarlos en coordenadas polares. Utilizando las relaciones:
r 2 = x2 + y 2 + z 2
z
cosθ =
(x2 + y 2 + z 2 )1/2
y
tanφ =
x
2
y recordando que las derivadas con respecto a x, y, z son:
∂
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
=
·
+
·
+
·
∂x
∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ
y expresiones análogas para
∂
∂y
y
∂
∂z ,
se obtiene:
∂
∂
+ cotθcosφ
∂θ
∂φ
∂
∂
= −ih̄ cosφ
− cotθsenφ
∂θ
∂φ
∂
= −ih̄
∂φ
L̂x = +ih̄ senφ
L̂y
L̂z
2
L̂
= −h̄
2
1
∂
∂
1 ∂2
·
senθ
+
senθ ∂θ
∂θ sen2 θ ∂φ2
(1.4)
!
Es importante notar que sólo se utiliza el operador L̂2 o sus componentes, pero
~ y no un
nunca el operador L̂ directamente pues el momento angular es un vector L
escalar.
1.2.2
Constantes de movimiento
La condición para que el operador Ô represente una constante de movimiento de un
sistema es que se cumpla la relación:
ÔĤ = Ĥ Ô
(1.5)
donde Ĥ es el Hamiltoniano del sistema. La relación anterior implica que el conmutador:
[Ô, Ĥ] = ÔĤ − Ĥ Ô
(1.6)
vale cero. En efecto, cuando dos operadores conmutan, existe un conjunto de funciones que son autofunciones de los dos operadores simultáneamente, o sea que la
misma función Ψ que caracteriza el estado del sistema con energı́a E,
ĤΨ = EΨ
también caracteriza el estado del sistema con propiedad Ô igual a o:
ÔΨ = oΨ
Dicho de otra manera, cuando el sistema se encuentra en el estado caracterizado
por Ψ, su energı́a es E y su propiedad Ô es o. Ambos valores E y o son constantes
3
mientras el sistema permanezca en el mismo estado Ψ. La demostración es la siguiente:
Sea Ψ una autofunción del Hamiltoniano,
HΨ = EΨ
Aplicando el operador Ô a ambos miembros de la ecuación anterior:
Ô(ĤΨ) = Ô(EΨ)
y utilizando la propiedad de conmutación de Ô y Ĥ, se tiene:
Ĥ(ÔΨ) = E(ÔΨ)
o sea que (ÔΨ) es una autofunción de Ĥ correspondiente al mismo autovalor E que
Ψ. Esto es posible si, y sólo si, Ψ difiere de ÔΨ en una constante:
ÔΨ = oΨ
En los casos en que Ψ es degenerada, es siempre posible construir una combinación
lineal de autofunciones correspondientes a E tal que sea también autofunción de Ô.
Las reglas de conmutación entre los operadores de momento angular y sus componentes pueden ser deducidas fácilmente utilizando las expresiones en coordenadas
cartesianas y algunas identidades de los conmutadores como:
i
h
i
h
h
i
h
i
 + B̂, Ĉ = Â, Ĉ + B̂, Ĉ
h
i
h
i
Â2 , B̂ = Â, B̂ Â + Â Â, B̂
Se cumple que:
h
i
= ih̄L̂z
h
L̂y , L̂z
i
= ih̄L̂x
h
L̂z , L̂x
i
= ih̄L̂y
L̂x , L̂y
(1.7)
[L̂2 , L̂x ] = [L̂2 , L̂y ] = [L̂2 , L̂z ] = 0
o sea que L̂2 conmuta con cualquiera de sus componentes, pero las componentes no
conmutan entre sı́.
4
Las propiedades de conmutación entre los operadores de momento angular orbital y el Hamiltoniano dependen del sistema y deben ser determinadas para cada
problema. Frecuentemente L̂2 y L̂z conmutan con Ĥ y en estos casos el módulo del
momento angular y la componente sobre el eje z del momento angular son constantes
de movimiento. Por ejemplo, en el caso de átomos hidrogenoides Ĥ y L̂z conmutan:
"
h̄2 1 ∂
∂
∂
1
Ĥ = −
r2
+
2µ r2 ∂r
∂r r2 senθ ∂θ
∂
L̂z = −ih̄
∂φ
Ĥ · L̂z
i
= + h̄3
2µ
L̂z · Ĥ =
i 3
h̄
2µ
(
("
∂
1 ∂
r2
2
r ∂r
∂r
"
∂ 1 ∂
∂
r2
∂φ r2 ∂r
∂r
#
1
∂2
Ze2
+ 2
−
r sen2 θ ∂φ2
r
#
1
∂
∂
Ze2 ∂
1
∂3
+ 2
senθ
+
+ 2
r senθ ∂θ
∂θ
r
∂φ r sen2 θ ∂φ3
#
∂
Ze2
∂
∂3
1
1
senθ
+
+ 2
+ 2
r senθ ∂θ
∂θ
r
r sen2 θ ∂φ3
)
Como
∂ ∂
∂ ∂
=
∂φ ∂r
∂r ∂φ
y
∂ ∂
∂ ∂
=
∂φ ∂θ
∂θ ∂φ
las dos ecuaciones anteriores son iguales y:
[Ĥ, L̂z ] = Ĥ L̂z − L̂z Ĥ = 0
1.3
AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR
¿Cuál es el momento angular de un electrón de un átomo hidrogenoide cuya función
de onda es Ψ? Si Ψ corresponde a un estado puro de momento angular, la función
Ψ es autofunción del operador L̂2 :
L̂2 Ψn`m = cteΨn`m
5
)
y el autovalor es el módulo al cuadrado del momento angular del electrón. Sea, por
ejemplo, la función Ψ210 ó Ψ(2p0 ):
L̂2 Ψ210
1 ∂
∂
1 ∂2
= −h̄2
senθ
+
senθ ∂θ
∂θ sen2 θ ∂θ2
1 ∂
sen2 θ
= +N · R21 h̄2
senθ ∂θ
2
= 2h̄ N · R21 cosθ
!
[N · R21 (r)consθ]
= 2h̄2 Ψ210
√
El momento angular de un electrón en el estado 2p0 es h̄ 2.
Análogamente la proyección del momento angular sobre el eje z de un electrón
en el estado 2p0 se obtiene haciendo:
L̂z Ψ210 = −ih̄
∂
(N · R12 (r)cosθ) = 0
∂φ
La proyección Lz del electrón del 2p0 es cero. En general, es fácil demostrar que las
funciones Ψnlm de los átomos hidrogenoides cumplen las relaciones:
L̂2 Ψn`m = `(` + 1)h̄2 Ψn`m
(1.8)
L̂z Ψn`m = mh̄Ψn`m
(1.9)
Las funciones Ψn`m son simultáneamente autofunciones de Ĥ, L̂2 y L̂z con autovalores:
!
q
Z 2 e2
− 2
, `(` + 1)h̄, mh̄
2n
a0
respectivamente, es decir que representan estados puros de energı́a, momento angular, y proyección de momento angular sobre el eje z. Estas tres propiedades son
constantes de movimiento para los átomos hidrogenoides.
De las ecs. 1.8 y 1.9 se observa que los números cuánticos ` y m están directamente vinculados al momento angular y √
a su proyección respectivamente. Por
ejemplo, si ` = 1, el momento angular es 2h̄ y su proyección sobre el eje z es
h̄, 0, ó −h̄. Este hecho tiene implicaciones que llaman la atención. Es como si el
~ solo pudiese estar orientado de manera que el ángulo θ que forman con la
vector L
dirección z fuera 135◦ , 90◦ , ó 45◦ . Este fenómeno puramente cuántico se denomina
~ es, en realidad el “momento angular” de
cuantización espacial. Recuérdese que L
∗
una distribución electrónica Ψ Ψ.
6
Si Ψ no corresponde a un estado puro con respecto a una propiedad O,
ÔΨ 6= oΨ
solo se puede determinar el valor medio de esta propiedad. Es el caso por ejemplo
de L̂x y L̂y con las funciones Ψn`m . Las funciones Ψn`m no corresponden a estados
puros con respecto a proyecciones del momento angular sobre los ejes x y y (salvo
cuando ` = 0). El valor medio de dichas proyecciones se puede calcular por la
fórmula:
Ψ∗ L̂x Ψn`m dτ
hL̂x i = R n`m
Ψ∗n`m Ψn`m dτ
R
Las funciones Ψn`m son autofunciones de L̂2 y L̂z pero, en realidad la parte
en r de estas funciones se comporta como una constante con respecto a estos
operadores: las verdaderas autofunciones del momento angular son los armónicos
esféricos Y`m (θ, φ) que son también las autofunciones del rotor rı́gido. En efecto el
operador L̂2 para un electrón viene dado por la ec. 1.4 que es idéntica, salvo por
una constante, a la expresión para el Hamiltoniano del rotor rı́gido.
1.4
Operadores escalera
Los operadores escalera se definen como:
L̂+ = L̂x + iL̂y
L̂− = L̂x − iL̂y
Los armónicos esféricos no son autofunciones de estos operadores. En cambio los
operadores escalera tienen la propiedad de aumentar o disminuir el número cuántico
m del armónico esférico:
q
L̂± Yl,m = h̄ l(l + 1) − m(m ± 1)Yl,m±1
Estos operadores tienen la ventaja de ser aditivos, es decir que, para muchos electrones, L̂+ y L̂− son la suma de los operadores correspondientes para un solo electrón:
L̂+ (1, 2, ...N ) =
N
X
i=1
y
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L̂+ (i)
L̂− (1, 2, ...N ) =
N
X
L̂− (i)
i=1
Lo mismo ocurre para el operador L̂z :
L̂z (1, 2, ...N ) =
N
X
L̂z (i)
i=1
En cambio, el operador L̂2 no es aditivo. Sin embargo es posible utilizar los
operadores escalera para expresar L̂2 en términos de operadores aditivos, mediante
cualquiera de las siguientes expresiones:
2
L̂2 = L̂+ L̂− + Lˆz − h̄L̂z
y
2
L̂2 = L̂− L̂+ + Lˆz + h̄L̂z
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