Equilibrio General

Equilibrio General
Paula Jaramillo
26 de octubre de 2015
¿Qué es un consumidor?
x1
R1
ω21
ω1
ω11
x1
¿Qué es un consumidor?
x1
R1
ω21
ω1
ω11
x1
¿Qué es una firma?
y2
Yj
y1
Economı́a de intercambio
x2
x2
ω2
ω22
R1
ω21
R2
ω1
ω11
x1
ω12
x1
Economı́a de intercambio
ω12
x1
x2
R1
R2
ω1
ω22
ω2
ω21
x2
ω11
x1
Economı́a de intercambio
x1
ω12
x2
R1
ω21
R2
ω1
ω11
x1
ω2
ω22
x2
Economı́a de intercambio
x1
ω12
x2
R1
ω21
R2
ω1
ω11
x1
ω2
ω22
x2
Economı́a de intercambio
x1
ω12
x2
R1
ω21
R2
ω1
ω11
x1
ω2
ω22
x2
Economı́a de intercambio
x1
ω12
R1
ω
ω21
ω22
R2
ω11
x1
Economı́a de intercambio
x12
x1
x21
ω12
x
x22
R2
R1
ω21
ω
x11
ω11
ω22
x1
Economı́a de producción
Una economı́a con producción es:
(R, ω, Y , s) ≡ ((Ri )i∈N , (ωi )i∈N , (Yj )j∈J , (sij )i∈N,j∈J ).
¿Cuál es el total que hay en la economı́a del bien l?
P
1. ∀l ∈ L, i∈N ωli .
P
2. ∀l ∈ L, j∈J ylj .
P
P
3. ∀l ∈ L, i∈N ωli + j∈J ylj .
P
P
P
4. ∀l ∈ L, i∈N ωli + j∈J ylj − i∈N xli .
5. Ninguno de los anteriores.
Economı́a de producción
x2
x2
R1
y2
Y
l1
−y1 = l1
l1
24
ω1
o1
Economı́a de producción
x2
x2
R1
y2
Y
l1
−y1 = l1
l1
24
ω1
o1
Economı́a de producción
x2
x2
R1
y2
Y
l1
−y1 = l1
ω1
24
o1
División igualitaria
DI12
x1
R2
DI21
DI22
DI
R1
ω
DI11
x1
División igualitaria
DI12
x1
R2
DI21
DI22
DI
R1
ω
DI11
x1
Esto significa que en una economı́a de intercambio cada persona
recibe lo siguiente:
1. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) =
2. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) =
3. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) =
ωl
|N| .
ωl +yl
|N| .
yl
|N| .
4. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) = ωli .
Dictatorial
x1
D≺
R2
R1
ω
x1
Dictatorial
x1
D≺
R2
R1
ω
x1
¿Quién es el dictador en este caso?
1. 1
2. 2
3. Ninguno
4. Depende del bien
Dictatorial
D≺
x1
R2
R1
ω
x1
¿Quién es el dictador en este caso?
1. 1
2. 2
3. Ninguno
4. Depende del bien
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a de intercambio
(p, x) ∈ RL+ × RL×N
que cumple las 2 condiciones siguientes:
+
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a de intercambio
(p, x) ∈ RL+ × RL×N
que cumple las 2 condiciones siguientes:
+
1. ∀i ∈ N,
xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi .
x∈RL+
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a de intercambio
(p, x) ∈ RL+ × RL×N
que cumple las 2 condiciones siguientes:
+
1. ∀i ∈ N,
xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi .
x∈RL+
2. ∀l ∈ L,
X
i
xli = ωl .
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a de intercambio
R1
2
p
w
1
R2
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a de intercambio
R1
2
w
x
p
1
R2
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
¿Cuál es el conjunto presupuestal al que se enfrenta cada
consumidor? ∀i ∈ N, Bi (p, p · ωi , sij , p · yj )
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
¿Cuál es el conjunto presupuestal al que se enfrenta cada
consumidor? ∀i ∈ N, Bi (p, p · ωi , sij , p · yj )
n
xi
n
2. xi
3. xi
4. xi
1.
o
P
P
p
w
+
s
p
·
y
ij
j
j
l
li
l
j∈J
l∈L
o
P
∈ RL+ | p · xi ≤ p · wi + j∈J sij (p · yj )
∈ RL+ | p · xi ≤ p · wi
P
P
∈ RL+ | l pl xli ≤ l pl wli
∈ RL+ |
P
l pl xli ≤
P
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
(p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N
× RL×J que cumple las 3 condiciones
+
siguientes:
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
(p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N
× RL×J que cumple las 3 condiciones
+
siguientes:
1. ∀i ∈ N,
xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi +
x∈RL+
X
j∈J
sij (p · yj ).
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
(p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N
× RL×J que cumple las 3 condiciones
+
siguientes:
1. ∀i ∈ N,
xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi +
x∈RL+
2. ∀j ∈ J,
yj ∈ arg máx p · y
y ∈Yj
X
j∈J
sij (p · yj ).
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
(p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N
× RL×J que cumple las 3 condiciones
+
siguientes:
1. ∀i ∈ N,
xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi +
x∈RL+
2. ∀j ∈ J,
yj ∈ arg máx p · y
y ∈Yj
3. ∀l ∈ L,
X
i
xli = ωl +
X
j∈J
ylj
X
j∈J
sij (p · yj ).
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
x2
y2
x2
π(p)
p2
Y
l1
−y1
ω1
x1
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
x2
y2
x2
π(p)
p2
Y
l1
−y1
x1
ω1
¿Es este un equilibrio competitivo?
1. No, porque el consumidor no está maximizando su utilidad.
2. No, porque la firma no está maximizando sus ganancias.
3. No, porque los mercados no se vacı́an.
4. Si, es un equilibrio competitivo.
Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una
economı́a con producción
x2
x2
π(p)
p2
Y
l1
x1
ω1
Participación voluntaria
x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi .
Participación voluntaria
x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi .
x1
R1
x4
x3
x2
ω1
x1
x1
¿Cuál de las siguientes asignaciones satisface participación
voluntaria?
1. x1
2. x2
3. x3
4. x4
5. Ninguna de las anteriores.
Participación voluntaria
x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi .
x1
R1
ω1
x1
Eficiencia en el sentido de Pareto
x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que
∀i ∈ N xi0 i xi
∃i ∈ N xi0 i xi
y
Eficiencia en el sentido de Pareto
x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que
∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi .
R1
2
x
1
R2
¿Es x eficiente en el sentido de Pareto ?
1. Si.
2. No.
3. Depende de donde este ω.
Eficiencia en el sentido de Pareto
x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que
∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi .
R1
2
x
x′
1
R2
¿Es x 0 eficiente en el sentido de Pareto ?
1. Si.
2. No.
3. No sabemos.
Eficiencia en el sentido de Pareto
x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que
∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi .
R1
x
2
1
R2
¿Es x eficiente en el sentido de Pareto ?
1. Si.
2. No.
3. No sabemos.
Eficiencia en el sentido de Pareto
x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que
∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi .
R1
x
2
x′
1
R2
¿Es x 0 eficiente en el sentido de Pareto ?
1. Si.
2. No.
3. No sabemos.
Eficiencia en el sentido de Pareto
El conjunto de asignaciones que son eficientes en el sentido de
Pareto se llama curva de contrato.
Eficiencia en el sentido de Pareto
El conjunto de asignaciones que son eficientes en el sentido de
Pareto se llama curva de contrato.
R1
2
1
R2
Eficiencia en el sentido de Pareto con producción
(x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si
@(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que
∀i ∈ N xi0 i xi
∃i ∈ N xi0 i xi
y
Eficiencia en el sentido de Pareto con producción
(x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si
@(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que
xi0 i xi .
x′ = y ′
Y
x=y
R1
¿Son x = y y x 0 = y 0 eficientes en el sentido de Pareto ?
1. Si.
2. No.
3. Solo uno de los dos.
Eficiencia en el sentido de Pareto con producción
(x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si
@(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que
xi0 i xi .
Y
x=y
R1
El núcleo
x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y
L×N 0
0
@xi∈N
tal que:
0 ∈ R+
El núcleo
x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y
L×N 0
0
@xi∈N
tal que:
0 ∈ R+
P
P
1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli ,
El núcleo
x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y
L×N 0
0
@xi∈N
tal que:
0 ∈ R+
P
P
1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli ,
2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y
El núcleo
x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y
L×N 0
0
@xi∈N
tal que:
0 ∈ R+
P
P
1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli ,
2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y
3. ∃i ∈ N 0 , xi0 i xi .
El núcleo
x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y
L×N 0
0
@xi∈N
tal que:
0 ∈ R+
P
P
1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli ,
2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y
3. ∃i ∈ N 0 , xi0 i xi .
R1
2
w
1
R2
Propiedades sobre las reglas
x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi .
Propiedades sobre las reglas
x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi .
¿Cómo definimos que la regla satisfaga participación voluntaria?
1. ∃(, ω), ϕ(, ω) satisface participación voluntaria.
2. ∀(, ω), ϕ(, ω) satisface participación voluntaria.
3. ∀(, ω), ϕi (, ω) i ωi .
4. Ninguno de los anteriores.
Eficiencia en el sentido de Pareto
La regla es eficiente si
1. ∀(, ω), ϕ(, ω) es eficiente en el sentido de Pareto.
2. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación que es eficiente en el
sentido de Pareto.
3. ∀(, ω), ϕ(, ω) está en la curva de contrato.
4. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación en la curva de contrato.
5. ∀(, ω), @x ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi i ϕi (, ω) y
∃i ∈ N tal que xi i ϕi (, ω).
6. Ninguna de las anteriores.
Núcleo
La regla recomienda una asignación en el núcleo si
1. ∀(, ω), ϕ(, ω) ∈ C (, ω).
2. ∃(, ω), ϕ(, ω) ∈ C (, ω).
3. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación en el núcleo.
4. Ninguna de las anteriores.
Sin monotonicidad estricta
R1
ω
1
2
R2
Sin convexidad estricta
R1
2
ω
1
R2
Teorema del punto fijo de Brawer
g(x) = f (x) − x = 0
1
0
1
Teorema del punto fijo de Brawer
g(x) = f (x) − x = 0
1
0
1
Teorema de existencia
R1
2
ω
1
Diga si en esta economı́a existe un equilibrio competitivo.
1. Si.
2. No.
3. Depende.
Teorema de existencia
R1
2
ω
x
1
R2
Con producción sin convexidad en la función de producción
x2
y2
Y
x∗
ocio
ω =tiempo