Solución Unidad 4: Variables aleatorias con nombres propios

Cartilla 2
Solución Unidad 4: Variables aleatorias con nombres propios
1) X~b(8,0.8)
Proceso de Bernoulli:
• Se realizan n=8 ensayos.
• Hay sólo dos resultados posibles: o es menor de 21 años, o no lo es.
• La probabilidad de éxito es constante: P(el robo es cometido por menor de 21 años)
= p = 0.80
• Los robos reportados son independientes unos de otros.
a) P(X=6) = 0.2936
b) P(X ≤ 6) = 0.4967
c) P(X=8) = 0.1678
2) a) P(X>0.5) = 1 – P(X ≤ 0.5) = 0.25
b) Sea Y=Nro. de automóviles con utilidad superior a $5000.
Y~b(10,0.25) ya que cumple con las hipótesis de un Proceso de Bernoulli:
• Se realizan n ensayos: se prueban 10 autos.
• Hay sólo dos resultados posibles, la utilidad es mayor a $5000 o no.
• La probabilidad de éxito es constante: P(obtener una utilidad mayor a
$5000)=p=0.25
• Independencia: se considera que la utilidad obtenida con cada auto es independiente.
P(Y ≥ 3) = 0.47
3)
a) X = “Número de avalanchas por año en una cierta región”
X ~ P (0.5)
Hipótesis Proceso de Poisson:
• Independencia: El número de avalanchas que ocurren en un intervalo de tiempo
específico, es independiente del número que ocurren en otro intervalo de tiempo
disjunto.
• Homogeneidad y Proporcionalidad: La probabilidad de observar una avalancha en un
intervalo de tiempo [t, t +h) es λh + o(h), donde λ es una constante independiente de t
y o(h) tiende a 0 cuando h tiende a 0.
Es decir: La probabilidad de observar una avalancha es proporcional a la longitud del
intervalo de tiempo observado, e independiente de donde esté ubicado.
• Regularidad: La probabilidad de observar dos o más avalanchas en un intervalo de
tiempo pequeño es despreciable.
b) Y = “Número de avalanchas en 5 años”
Y ~ P (2.5)
P(Y ≥ 2) = 0.713
c) P(X ≤ 1) = 0.91
[P(X ≤ 1)]2 = 0.828 por independencia.
4)
a) X =”número de paneles que duran por lo menos 6 años”
X ~ b (10, 0.95)
P(X=7)= 0.01
b) Y ~ b (30, 0.05)
Como np>1 y p<0.1 entonces Y~ P(1.5) (aproximada)
P(X=5) = 0.014
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5)
a) X= “ número de grietas por viga”, Y~ P(1.5)
b) P(X ≥ 1)= 0.777
c) Y~ b(5, 0.223)
P(Y=2) = 0.2333
6) X~ P(5) al año
a) P(“ocurran en tres años sucesivos 5 accidentes en cada año”) = P(ocurran 5 accidentes
el 1er. año, 5 accidentes el 2do. año, 5 accidentes el 3er. año”) = [P(X=5)]3
= (0.1755)3=0.0054
b) T~ E(5) en años. 6 meses= ½ año.
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P(“6 meses sin accidentes”) = P(T>1/2) = 1- P(T≤1/2)= 1- ∫ 5e −5 t dt =0.082
0
7) a) N =”no encuentra petróleo”; S=”si encuentra petróleo”
P(NNNS) = 0.73*0.3=0.1029
b) X=”Número de pozos explorados hasta encontrar petróleo”
P(X≤5)=P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
= 0.3 + 0.7*0.3 + 0.72*0.3 + 0.73*0.3 + 0.74*0.3 = 0.83
8) X ~ N(50, 5)
a) P(X>60) = 1-P(X≤60) = 1-Φ(2) =1-0.9773 = 0.0227
b)
P(-d <X-50< d)=0.95
Φ(d/5)-[1- Φ(d/5)]=0.95
Φ(d/5)=0.975
d/5=1.96
d=9.8
c) Se realizan n ensayos: se observan diez resistores.
Hay sólo dos resultados posibles: es aceptable o no.
La probabilidad de que sea aceptable es constante: P(Resistor aceptable)=0.95
Cada resistor es independiente de otro.
Definimos Y ~ b (10, 0.95)
E(Y)=n p=10*0.95=9.5
9) X ~ N(31.9, 5.4)
a) P(X>c)=0.1
c=38.81
b) P(X<k)=0.1
k=24.99
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