Medidas de tendencia central. Ejercicios resueltos

“Medidas de tendencia central. Ejercicios resueltos”
Autor: M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez
Febrero 2014
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
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INTRODUCCIÓN
Las medidas de tendencia central son valores numéricos que localizan, en algún
sentido, el centro de un conjunto de datos. Es frecuente que el término promedio
se asocie con todas las medidas de tendencia central.
Media (Media aritmética).
Es el promedio con el que probablemente estés más familiarizado. La
media de una muestra (media muestral) se representa por X . La media se
encuentra al sumar todos los valores de la variable X (denotada por
X ) y
dividir el resultado entre la cantidad de valores utilizados (n).
X
X
n
La media poblacional,  , es la media de todos los valores de la población.
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto
poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de
frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media
aritmética.
Ejemplo 1 (Datos no agrupados).
Un conjunto de datos consta de los cinco valores 6, 3, 8, 6 y 4. Encuentra la
media.
Solución.
Con la fórmula X 
 X , encontramos
n
2
X
X
n

6  3  8  6  4 27

 5.4
5
5
Por lo tanto, la media de esta muestra es 5.4.
Ejemplo 2. (Datos no agrupados)
El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas
finales de 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:
7.2 8.1 6.4 9.0 8.5 9.0 7.5 8.8 4.2 10.0
¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?
Solución.
Aplicando la fórmula tenemos:
X
 X  7.2  8.1  6.4  9.0  7.5  8.8  4.2  10.0  78.7  7.87
n
10
10
El promedio de los alumnos es de 7.87.
Excel presenta la función PROMEDIO para el cálculo de la media aritmética:
PROMEDIO: Permite calcular la media aritmética (o promedio simple) de un
conjunto de datos.
Formato: PROMEDIO(número1;número2;…)
Categoría: Estadísticas
En una hoja nueva, copia los siguientes datos a partir de la celda B2:
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Para insertar una función en Excel, es necesario dar clic sobre el ícono “Insertar
función” que se encuentra junto a la “barra de fórmulas”.
Esto abrirá un cuadro de diálogo en el que se encuentran todas las funciones
predefinidas que puedes utilizar en Excel. Observa que se agrupan de acuerdo a
su función. Nosotros nos basaremos principalmente en las estadísticas.
Ubícate en la celda B9 e inserta, mediante lo explicado en el párrafo anterior, la
función PROMEDIO. Después selecciona el rango de celdas que contiene los
datos en la caja de texto correspondiente a “Número 1”.
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Finalmente, pulsa el botón Aceptar para mostrar el resultado en la celda B9.
=PROMEDIO(B2:D7)
Ejemplo 3. (Datos agrupados en tablas de frecuencias)
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81
encuestados sobre un Test que consta de sólo seis preguntas.
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Preguntas acertadas Número de Personas
1
15
2
13
3
8
4
19
5
21
6
5
Solución.
Paso 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su
frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15
veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, y así sucesivamente hasta
llegar a la última clase:
 X  (1*15)  (2*13)  (3*8)  (4*19)  (5*21)  (6*5)  276
Paso 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
X
 X  276  3.41
n
81
En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es
3.41) preguntas acertadas.
Para obtener la media en Excel, el procedimiento varía cuando tenemos tablas de
frecuencia. Copie la siguiente tabla en una hoja nueva a partir de la celda B2:
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Recordemos que el primer paso es calcular la sumatoria del producto entre clase y
frecuencia, empleando la siguiente función:
SUMAPRODUCTO: Calcula la suma de los productos entre datos.
Formato: SUMAPRODUCTO(matriz1;matriz2;matriz3;…)
Categoría: Matemáticas y trigonométricas
Activemos esta función desde la celda B11, considerando al campo matriz 1 como
las clases y matriz 2 como las frecuencias.
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Al pulsar en Aceptar, tendremos el valor de la sumatoria.
=SUMAPRODUCTO(B3:B8;C3:C8)
Necesitamos ahora dividir el resultado de la sumatoria sobre los 116 datos
incluidos en el ejercicio. Modifiquemos la fórmula actual y agreguemos:
Donde C9 es la celda que muestra el total de los datos. El resultado final es
3,6637931.
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Mediana.
Es el valor que ocupa la posición media cuando los datos están clasificados en
orden de acuerdo con su tamaño. La mediana muestral se representa por x .
Dicho de otra manera. la mediana muestral es el valor de la variable que ocupa
la posición central (si los datos se presentan ordenados en forma ascendente)
cuando el tamaño de la muestra n es impar. Sin embargo. cuando el tamaño de
la muestra es un número par. entonces la mediana muestral es la media
aritmética de los dos valores centrales.
La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un
segmento. Por ejemplo. la mediana del segmento AB es el punto C.
Nota: En distribuciones simétricas respecto al valor central. se cumple que la
media y la mediana coinciden. En distribuciones asimétricas que presentan una
cola larga debido a la existencia de valores atípicos. la mediana es preferible a
la media; mientras que en distribuciones aproximadamente simétricas. la media
es la medida de posición central más aconsejable.
Ejemplo 1. (Muestra impar)
Encontrar la mediana para los siguientes datos. Nota que la cantidad de
elementos en la muestra es 11 (impar).
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
Solución.
Paso 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
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Paso 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
La mediana es 3. dejando 5 datos a cada lado.
Excel posee la función MEDIANA para el cálculo de la mediana en datos no
agrupados.
MEDIANA: Calcula la mediana para una serie de datos.
Formato: MEDIANA(número1;número2;…)
Categoría: Estadísticas
Copia los datos dados en el ejemplo a partir de la celda B2:
Activa la función MEDIANA desde la celda B4 y en el campo “Número1”
selecciona el rango de las celdas que contiene los datos del ejemplo.
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La mediana en este caso es 3:
=MEDIANA(B2:L2)
Ejemplo 2. (Muestra par)
Modifiquemos el ejemplo anterior eliminando el último dato. Encontrar la mediana.
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5
Solución.
Paso 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
Paso 2: Localizar los dos valores del centro.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
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El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la
mediana es 2.5 (se obtuvo el promedio de los dos valores centrales).
Moda
La moda de una población o de una muestra, es aquel valor que se
presenta con mayor frecuencia (aquel que se repite más veces).
En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia. Décimos
que existe un conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas
hablaremos de un conjunto de datos multimodal.
Ejemplo 1.
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la
marca de refresco que más consume a la semana. ¿Cuál es la moda?
Marca1
Marca1
Marca2
Marca1
Marca3
Marca2
Marca3
Marca1
Marca1
Marca1
Marca1
Marca1
Marca3
Marca1
Marca3
Marca1
Marca2
Marca3
Marca3
Marca3
Marca1
Marca1
Marca2
Marca1
Marca2
Marca3
Marca1
Marca1
Marca2
Marca3
Solución.
Paso 1: Determinar las frecuencias de cada valor de la variable.
La marca 1 se repite 15 veces
La marca 2 se repite 6 veces
La marca 3 se repite 9 veces
Paso 2: La moda representa el valor que más se repite. En este caso es la marca
1.
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Con la función MODA que provee Excel podremos calcular el valor que posee
mayor frecuencia en datos no agrupados.
MODA: Determina el valor que más se repite en un conjunto de datos.
Formato: MODA (número1;número2;…)
Categoría: Estadísticas
Calcula la moda a partir de los siguientes datos copiados en una hoja nueva de
Excel:
Inserta la función MODA en la celda B9 y en la caja de texto correspondiente a
“Número1” selecciona los datos del rango.
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La moda del ejercicio es 2.
=MODA(B2:F7)
Esta fórmula sólo muestra una moda correspondiente a la de menor valor. En el
caso de que no exista la moda, es decir, que no se repita ningún valor aparecen
los símbolos #N/A.
Fuentes de información
Johnson, Robert., (2008)., Estadística Elemental: Lo esencial., Editorial Cengage
Learning Editores., México.
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http://bibliotecavirtual.lasalleurubamba.edu.pe/Estadistica/res/pdf/estadisticadescriptivavariable
s2.pdf
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