TALLER DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO OCTAVO Eliana Elizabeth Valencia Espinosa

TALLER DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
GRADO OCTAVO
Eliana Elizabeth Valencia Espinosa
EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Trabajar en algebra consiste en manejar relaciones numéricas en las cuales una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de
las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar aéreas y volúmenes.
LENGUAJE ALGEBRAICO:
El lenguaje algebraico utiliza letras números y signos de operaciones para expresar
informaciones.
Con el lenguaje algebraico las informaciones se expresan de forma mas sencilla.
LENGUAJE ORDINARIO
LENGUAJE ALGEBRAICO
El triple de un número
(a+b)
n, n+1
El cuadrado de la suma de dos números
Dos números naturales consecutivos
Hoy tengo 15 años ¿cuántos años tendré cuando
pasen x años?
Hoy tengo 15 años ¿cuántos años tenía hace y años?
Un número par
Área del triangulo de base b y altura h
La mitad del resultado de sumarle 3 a un número
La tercera parte del área de un rectángulo en el que
la base mide el doble que la altura
El cuadrado de la suma de dos números enteros
consecutivos.
La cuarta parte de un número entero más el
cuadrado de su siguiente.
La suma de un número con el doble de otro
El área de un círculo de radio x.
La suma de tres números enteros consecutivos.
El triple del resultado de sumar un número con su
inverso.
La suma de un número con el doble de otro.
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TÉRMINO:
Un término, es una expresión algebraica que está compuesta de signo, coeficiente
numérico, coeficiente(s) literal(es), variable(s) y exponente.
Partes de un término:
Signo
+, -, x, ÷
Coeficiente
numérico
Coeficiente
literal
3
a
Variable
x
Exponente
3
El signo puede ser más o puede ser menos, el coeficiente y exponente 1 no se escribe, el
coeficiente literal puede ser uno sólo o varios o no existir.
Otros ejemplos de término o monomio: 3x 2, 2x, -5, 37p4, 0
1
x
no es un monomio porque la variable aparece en el denominador.
TÉRMINOS SEMEJANTES:
Son términos que solamente difieren en el signo y en el coeficiente. Por ejemplo, -6b y
3b son semejantes.
1 4
ax es semejante con  2ax4 .
3
denominador.
1
x
no es un monomio porque la variable aparece en el
Los términos semejantes se pueden sumar y/o restar (se le dice reducir términos
semejantes):
Ejemplos: 3x + 2x = 5x ; 5ax2  6ax2  ax2
signos
Basta operar los coeficientes con sus
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TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO: Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término
ejemplo: 2x2
BINOMIO: En la expresión 2x2 - 7x, 2x2 es un término, 7x es otro término, el
segundo está restando al primero; a esta expresión con dos términos separados con más o
con menos se le llama binomio.
Una constante es un término que no está combinado con variables, solamente posee
coeficiente.
TRINOMIO:
Si tenemos 3y2 + 9y + 8, en este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin
variables (término independiente). A esta expresión como tiene tres términos se le llama
trinomio.
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Otros ejemplos de trinomio: 6rs - 2r2s + 4r ; 5a + 2b – 5; ax  bx  c
A la suma o resta de varios términos se le denomina, en general, polinomio.
Los términos de un polinomio se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la
variable principal estén en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. A este
arreglo se le llama orden descendente.
Por ejemplo, 4x3 - 3x2 + 6x - 1 y 5y4 - 2y3 + y2 - 7y + 8 están ordenados
descendentemente por las potencias de la variable principal.
El grado de un polinomio corresponde al mayor exponente de la variable.
El Polinomio 4z3 -3z2 + 6z - 1 es de grado 3 , 5w4 – 2w3 + w2- 7w + 8 es un polinomio de
grado 4.
OPERACIONES CON LOS POLINOMIOS:
Los Polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier
potencia real.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS (suma algebraica):
Sea P(x): 2y2 + y – 1 y Q(y): 3y3 + 4y2 – 5. Hallar: P(y) + Q(y)
Primero ordenemos descendentemente por las potencias de y:
En orden vertical los términos semejantes de ambos polinomios quedan:
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P(y):
Q(y):
P(y) + Q(y):
2y2 + y - 1
+ 3y3 + 4y2
-5
3
2
3y + 6y + y – 6
Realizar (3x3 - 7x + 2) + ( 7x2 + 2x - 7) usando el modo horizontal.
Pasos:
1) Usando las propiedades conmutativas
(3x3 - 7x + 2) + (7x2 + 2x -7)
y asociativas de la adición de agrupar
los términos semejantes.
3x3 + 7x2 + (-7x + 2x) + (2 + -7)
(Este paso se puede hacer mentalmente)
2) Reducir términos semejantes.
3) Escribir el polinomio en orden descendente de las potencias de x: 3x3 + 7x2 - 5x -5
Ejemplo:
Realizar ( 2x2 + 4x -3 ) - ( 5x2 - 6x ). Usar el formato vertical.
El signo menos afecta a los términos del sustraendo:
2x2 + 4x - 3
MINUENDO
2
- 5x + 6x
SUSTRAENDO
_____________
-3x2 + 10x + 3 DIFERENCIA
Puede verse que para restar dos polinomios deben cambiarse todos los signos al
sustraendo y sumar algebraicamente.
Ejemplo:
Efectuar ( -4x2 - 3xy + 2y 2 ) - ( 3x2 - 4 y2 ). Usar el modo horizontal.
En este tipo de suma algebraica se escriben horizontalmente los polinomios cuidando de
cambiar el signo a los términos del sustraendo.
Solución:
( -4x2 - 3xy + 2y 2 ) - ( 3x2 - 4 y2 ) = - 4x2 - 3xy + 2y 2 - 3x2 + 4 y2
= - 4x2 - 3x2 - 3xy + 2y2 + 4y2
[Cálculo mental]
= - 7x2 - 3xy + 6y2
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Multiplicación de una constante por un polinomio:
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El resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por la constante.
Multiplicación de un monomio por un polinomio:
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
11 x3 · (2x5 - 4x2 + 5x - 12) = 22x8 - 44x5 + 55x4 - 132x3
Multiplicación de polinomios:
P(z) =
1
2
z2 - 3
Q(z) = 2z3 – 3z2 + 4z
Para multiplicar dos polinomios entre sí, se multiplica cada término del primer polinomio
por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio con sus correspondientes
signos.
Modo horizontal:
= z5 –
3
2
z4 + 2z3 – 6z3 + 9z2 – 12z
Se reducen los términos semejantes:
= z5 –
3
2
z4 - 4z3 + 9z2 – 12z
Por lo tanto, se consigue un nuevo polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se han multiplicado.
También podemos multiplicar polinomios del modo vertical:
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Ejemplo:
Si P(a) = 3a4 + 5a3 -2a + 3 y Q(a) = 2a2 - a +3
Efectuar por el modo horizontal y el modo vertical: P(a) · Q(a)
Modo horizontal:
P(a) · Q(a) = (3a4 + 5a3 -2a + 3) · (2a2 - a +3) =
= 6a6 – 3a5 + 9a4 + 10a5 – 5a4 + 15a3 –
- 4a3 + 2a2 – 6a + 6a2 – 3a + 9 =
= 6a6 + 7a5 + 4a4 + 11a3 + 8a2 – 9a + 9
Modo vertical:
Ejercicios propuestos de Polinomios (tomados de físicanet).
Problema n° 1) Sumar los siguientes polinomios:
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Restar los siguientes polinomios:
Efectuar las siguientes multiplicaciones
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