Análisis Matemático I Actividad 1 Conjuntos ordenados 1. Definición

Análisis Matemático I
Actividad 1
Conjuntos ordenados
1. Definición de orden en un conjunto, y de conjunto ordenado. (Tricotomı́a
y transitividad)
2. Ejemplo de orden en Q. [ p < q si y solo si q − p es positivo, jejeje!]
3. Definición de conjunto acotado superiormente (inferiormente) y de cota
superior (inferior ).
4. Definición de supremo e ı́nfimo.
5. Ejemplo de conjunto de números racionales acotado superiormente (inferiormente) que no tenga supremo (ı́nfimo) en Q.
A = {p ∈ Q+ : p2 < 2}
B = {p ∈ Q+ : p2 > 2}
Si p ∈ A, entonces q =
2p+2
p+2
satisface que p < q y q 2 < 2.
Si p ∈ B, entonces q =
2p+2
p+2
satisface que 0 < q < p y q 2 > 2.
Además, B es el conjunto de cotas superiores de A en Q. Enuncia una
proposición análoga para las cotas inferiores de B.
6. ¿ Si existe α = sup E entonces necesariamente está en E?
7. Definición de conjunto ordenado con la propiedad de la mı́nima cota superior
8. ¿Tiene Q la propiedad de la mı́nima cota superior? ¿Tiene Z la propiedad
de la mı́nima cota superior ?
9. Sea S un conjunto ordenado con la propiedad de la mı́nima cota superior.
Demuestra que si ∅ ̸= B ⊂ S y B está acotado inferiormente entonces
ı́nf B existe en S. [Bosquejo: Sea L el conjunto de cotas inferiores de B en
S entonces L ̸= ∅ y L está acotado superiormente en S. Sea ω = sup L.
Si w < ω entonces existe l ∈ L tal que w < l ≤ ω. Ası́ que w ∈
/ B. Por
tanto, ω es cota inferior de B.
Si w > ω, entonces w ∈
/ L, o sea w no es cota inferior de B. ]
Campos
1. Definición de campo
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2. Proposiciones 1.14-1.16 del Rudin demostrar un inciso de cada una.
Proposición 1.14. Los axiomas de la adición implican lo siguiente:
a) Si x + y = x + z entonces y = z.
b) Si x + y = x entonces y = 0.
c) Si x + y = 0 entonces y = −x.
d ) −(−x) = x.
Proposición 1.15. Los axiomas de la multiplicación implican lo siguiente:
a) Si x ̸= 0 y xy = xz entonces y = z.
b) Si x ̸= 0 y xy = x entonces y = 1.
c) Si x ̸= 0 y xy = 1 entonces y = x−1 .
d ) −(−x) = x.
Proposición 1.16. Los axiomas de campo implican lo siguiente: Para cualquier
x, y, z ∈ F ,
a) 0x = 0.
b) Si x ̸= 0 y y ̸= 0 entonces xy ̸= 0.
c) (−x)y = −(xy) = x(−y).
d ) (−x)(−y) = xy.
3. Definición de campo ordenado.
4. Ejemplo: Q es un campo ordenado.
5. Demuestra dos incisos de la Proposición. En cada campo ordenado se tiene
que:
a) Si x > 0, entonces −x < 0 y viceversa.
b) Si x > 0 y y < z, entonces xy < xz.
c) Si x < 0 y y < z, entonces xy > xz.
d ) Si x ̸= 0, entonces x2 > 0, en particular 1 > 0.
e) Si 0 < x < y, entonces 0 < 1/y < 1/x.
6. Teorema. Existe un campo ordenado R con la propiedad de la mı́nima
cota superior. Además, R contiene a Q como subcampo (Daremos, posteriormente, un bosquejo de la demostración de este teorema que usa lo
que se llaman cortaduras de Dedekind. A los miembros de R se les llama
números reales).
Usa el teorema anterior para demostrar:
7. Teorema.
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a) (La propiedad arquimediana) Si x, y ∈ R y x > 0, entonces existe
n ∈ N tal que
nx > y
[Bosquejo: Si y es cota superior del conjunto A = {nx | n ∈ N},
entonces sea α = sup A. Existe m ∈ N tal que α − x < mx, entonces
α < (m + 1)x, lo cual es una contradicción.]
b) (Q es denso en R) Si x, y ∈ R y x < y, entonces existe q ∈ Q tal que
x<q<y
[Bosquejo: Sea n ∈ N tal que n(y − x) > 1. Toma a m − 1 como el
mayor entero menor o igual que nx. Verifica que x < m
n < y.]
Demuestra el siguiente teorema:
8. Teorema. Para todo número real x > 0 y cada entero n > 0 existe √
un
único número real y > 0 tal que y n = x. (Este número y se escribe n x
1
ó x n )
[Bosquejo: Define E = {t ∈ R+ : tn < x}. Demuestra que
t=
x
1+x
∈ E.
1 + x es cota superior de E.
Sea y = sup E. Caso 1. Si y n < x.
Toma h tal que 0 < h < 1 y h <
x−y n
n(y+1)n−1 .
(???)
Demuestra que
(y + h)n − y n < nh(y + h)n−1 < hn(y + 1)n−1 < x − y n .
Obtén una contradicción.
Caso 2. Si y n > x.
Toma k =
y n −x
ny n−1
(???), demuestra que 0 < k < y.
Si t ≥ y − k entonces
y n − tn ≤ y n − (y − k)n < kny n−1 = y n − x.
Ası́ que t ∈
/ E. Concluye que y − k es cota superior de E.
Obten Contradicción.
¿Por qué y es único?
]
Demuestra el siguiente:
9. Corolario. Si a, b ∈ R+ y n ∈ N, entonces
(ab)1/n = a1/n b1/n
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