Técnicas Selectas para el Modelado Matemático en la IPMyM

Técnicas Selectas para el Modelado Matemático en la IPMyM
Semestre 2014-1
Transporte de energía térmica por conducción
Flujo 2D en estado estacionario, sin generación
Dr. Bernardo Hernández Morales
En ocasiones es de interés calcular el campo térmico en un sistema con flujo en dos dimensiones
para un conjunto de cargas (condiciones a la frontera y, en su caso, generación de calor) tal que se
ha alcanzado el estado estacionario. Por estado estacionario se entiende la condición para la cual
el campo térmico ya no cambia con el tiempo, aunque exista flujo de energía térmica.
Desde el punto de vista de la solución numérica de la ecuación gobernante se tienen dos
alternativas:
 Implementar en una computadora un algoritmo desarrollado para el sistema bajo
condiciones de estado no estacionario y ejecutarlo hasta que los valores nodales de la
temperatura ya no cambien significativamente con el tiempo. Desde luego, en este caso
queda en manos del analista la selección de un criterio para determinar en qué momento
se ha alcanzado el estado estacionario.
 Generar un algoritmo para un sistema donde no se considere acumulación, es decir que
opere bajo condiciones de estado estacionario.
Caso de estudio
Considera el caso de un paralelepípedo de sección cuadrada (10 cm por lado) y 1 m de largo
(Figura 1 (a)). Con referencia a la sección transversal que se muestra en la Figura 1(b), la superficie
del lado izquierdo se mantiene a 100 °C mientras que las otras superficies se mantienen a 0 °C.
Ly
Lz
Lx
(a)
(b)
Figura 1. El sistema bajo estudio: a) vista en 3D, b) vista en 2D.
Objetivo
El objetivo es calcular el campo térmico bajo condiciones de estado estacionario mediante el
método numérico de diferencias finitas.
Alcance





Flujo de calor en 2D por conducción
Sin generación
Propiedades termofísicas constantes
Temperaturas especificadas en las cuatro fronteras
Malla regular tanto en x como en y
Desarrollo de las ecuaciones nodales
Discretización espacial (mallado)
Para una malla con 4 nodos en la dirección x y 4 nodos en la dirección y se tiene:
(1,1)
(1,4)
(4,1)
(4,4)
Figura 2. Malla de diferencias finitas para la sección cuadrada de la Figura 1(b).
Discretización de la ecuación gobernante (ecuaciones nodales)
Para las cuatro fronteras, la condición de frontera es de temperatura especificada, por lo que se
puede escribir directamente:
Para cualesquier nodo interno, la ecuación nodal tipo correspondiente se construye, con
referencia a la Figura 3, a partir de balances de energía de la forma:
∑
∑
∑
Qk (i,k+1)→ (i,k)
Qk (i-1,k)→ (i,k)
Qk (i+1,k)→ (i,k)
Qk (i,k-1)→ (i,k)
Figura 3. Volumen de control para el nodo genérico interno (i,k).
Considerando el objetivo y el alcance, así como la convención de escribir todos los flujos como de
entrada, se tiene:
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
Donde las áreas pendiculares al flujo son:
(
)
(
)
(
)
(
)
Como las propiedades termofísicas son constantes (de acuerdo al alcance) y
es constante:
(
)(
)
(
)(
)
)(
(
Proponiendo una malla regular de 4 × 4 nodos se tiene:
)
(
)(
)
.
Entonces, la ecuación nodal tipo para los nodos internos es:
Para el ejemplo, las ecuaciones nodales (nodos internos) son:
Para aplicar cualesquiera de los métodos iterativos, la ecuación nodal tipo para los nodos internos
se re-escribe como una ecuación residual:
(
)
Insertando los datos del caso de estudio:
La secuencia de solución, aplicando los métodos de Jacobi y de Gauss-Seidel, se muestra en
archivos anexos.
La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es (después de 22 iteraciones con el método de
Gauss-Seidel):