Sistemas de ecuaciones lineales

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Bloque: Álgebra Lineal
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Tema: Sistema de ecuaciones lineales
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Índice
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Conceptos básicos
Expresión matricial
Resolución de SEL
Clasificación
de SEL
Clasificación de SEL
Discusión con
parámetros
Discusión con parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Conceptos básicos
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
b1
b2
..
.
bm
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
b1
b2
..
.
bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1 , . . . , xn , que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
HEDIMA
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
b1
b2
..
.
bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1 , . . . , xn , que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1
5
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
HEDIMA
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
b1
b2
..
.
bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1 , . . . , xn , que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1
5
Solución: x = 1, y = 2
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
HEDIMA
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
b1
b2
..
.
bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1 , . . . , xn , que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1
5
Solución: x = 1, y = 2
1
1
3·1
+
−
+
2
2
2
=
=
=
3
−1
5
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
0
0
..
.
0
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
0
0
..
.
0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
HEDIMA
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
0
0
..
.
0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x
3x
−
−
2y
6y
=
=
0
0
Conceptos básicos
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
HEDIMA
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
+
..
.
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
..
.
+
...
...
..
.
...
+
+
..
.
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
..
.
=
0
0
..
.
0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x
3x
−
−
2y
6y
=
=
0
0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Expresión matricial
Expresión matricial
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Un SEL se puede

a11
 a21

 .
 ..
am1
representar en forma de productos de matrices como

 

a12 . . . a1n
x1
b1

 

a22 . . . a2n 
  x2   b2 
..
..   ..  =  ..  ,
..
.
.
.  .   . 
am2 . . . amn
xn
bm
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
Expresión matricial
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Un SEL se puede

a11
 a21

 .
 ..
am1
representar en forma de productos de matrices como

 

a12 . . . a1n
x1
b1

 

a22 . . . a2n 
  x2   b2 
..
..   ..  =  ..  ,
..
.
.
.  .   . 
am2 . . . amn
xn
bm
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


 .
 = (A|b), conA ∈ Mm×n (k), b ∈ Mm×1 (k)
..
..
..
 ..

.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
Expresión matricial
Un SEL se puede

a11
 a21

 .
 ..
am1
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
representar en forma de productos de matrices como

 

a12 . . . a1n
x1
b1

 

a22 . . . a2n 
  x2   b2 
..
..   ..  =  ..  ,
..
.
.
.  .   . 
am2 . . . amn
xn
bm
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


 .
 = (A|b), conA ∈ Mm×n (k), b ∈ Mm×1 (k)
..
..
..
 ..

.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ;
5
Expresión matricial
Un SEL se puede

a11
 a21

 .
 ..
am1
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
representar en forma de productos de matrices como

 

a12 . . . a1n
x1
b1

 

a22 . . . a2n 
  x2   b2 
..
..   ..  =  ..  ,
..
.
.
.  .   . 
am2 . . . amn
xn
bm
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


 .
 = (A|b), conA ∈ Mm×n (k), b ∈ Mm×1 (k)
..
..
..
 ..

.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=

1
3
−1 ;  1
3
5



1
3
x
−1 
=  −1  ;
y
1
5
Expresión matricial
Un SEL se puede

a11
 a21

 .
 ..
am1
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
representar en forma de productos de matrices como

 

a12 . . . a1n
x1
b1

 

a22 . . . a2n 
  x2   b2 
..
..   ..  =  ..  ,
..
.
.
.  .   . 
am2 . . . amn
xn
bm
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


 .
 = (A|b), conA ∈ Mm×n (k), b ∈ Mm×1 (k)
..
..
..
 ..

.
.
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=

1
3
−1 ;  1
3
5


 
1
3
1
x
−1 
=  −1  ;  1
y
1
5
3
1
−1
1

3
−1 
5
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Resolución de SEL
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x
+
y
2
=
=
4/2
3
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x
+
y
2
=
=
4/2
3
y
x
=
=
2
1
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
x
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
y
2
=
=
4/2
3
Ejemplo (Triangular inferior)
2y
y
+
x
=
=
4
3
y
x
=
=
2
1
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
x
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
y
2
=
=
4/2
3
y
x
=
=
2
1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y
y
+
x
=
=
4
3
2
1
0
1
y
x
=
4
3
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
x
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
y
2
=
=
4/2
3
y
x
=
=
2
1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y
y
+
y
2
+
x
x
=
=
=
=
4
3
4/2
3
2
1
0
1
y
x
=
4
3
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x
+
y
2y
=
=
3
4
1
0
1
2
x
y
=
3
4
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
x
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
+
y
2
=
=
4/2
3
y
x
=
=
2
1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y
y
+
y
2
+
x
x
=
=
=
=
4
3
4/2
3
2
1
0
1
y
x
=
y
x
=
=
4
3
2
1
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
HEDIMA
Definición
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
HEDIMA
Definición
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
HEDIMA
Definición
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
HEDIMA
Definición
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-ésima su fila l-ésima multiplicada por λ ∈ k.
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mı́n{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
HEDIMA
Definición
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-ésima su fila l-ésima multiplicada por λ ∈ k.
Ası́, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en el
sentido que tienen las mismas soluciones, y es más sencillo de resolver.
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
1
−1
1

3
−1 
5
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
−1
1

3
−1 
5
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden

1
OE 1: Primera fila menos segunda fila  0
3
1
−1
1

3
−1 
5
2
1
2
1

3
4 
5
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden

1
OE 1: Primera fila menos segunda fila  0
3

3
−1 
5
1
−1
1
2
1
2
1

3
4 
5
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
1
2
2

3
4 
4
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden

1
OE 1: Primera fila menos segunda fila  0
3

3
−1 
5
1
−1
1
2
1
2
1

3
4 
5
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
Interpretación
geométrica de
SEL
x
SEL equivalente
+
y
2y
2y
=
=
=
3
4
4
1
2
2

3
4 
4
Resolución de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden

1
OE 1: Primera fila menos segunda fila  0
3

3
−1 
5
1
−1
1
2
1
2
1

3
4 
5
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
Interpretación
geométrica de
SEL
x
SEL equivalente
+
y
2y
2y
=
=
=
3
4
4
Solución
x
y
1
2
2
=
=

3
4 
4
1
2
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Clasificación de SEL
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5
Solución
x
y
=
=
1
2
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5
Solución
x
y
SEL Compatible determinado
=
=
1
2
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
HEDIMA
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
−1
−2
−5

3
6 
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
5
−1
0
−5

3
0 
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
5
−1
0
−5

3
0 
15
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila  0
0
−1
0
0

3
0 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=

1
Matriz ampliada  2
5
3
6 ,
15
−1
−2
−5

3
6 
15
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
5
−1
0
−5

3
0 
15
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente x
−
y
=
3
−1
0
0

3
0 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=

1
Matriz ampliada  2
5
3
6 ,
15
−1
−2
−5

3
6 
15
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
5

3
0 
15
−1
0
−5
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

−1
0
0
1
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente x
−
y
=
3
Solución
x
y
=
∈

3
0 
0
3+y
R
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=

1
Matriz ampliada  2
5
3
6 ,
15
−1
−2
−5

3
6 
15
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
5

3
0 
15
−1
0
−5
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

−1
0
0
1
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente x
−
y
=
3
Solución
x
y
=
∈

3
0 
0
3+y
R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
HEDIMA
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
−1
−2
−3

3
6 
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
3
−1
0
−3

3
0 
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
3
−1
0
−3

3
0 
10
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
−1
0
0

3
0 
−1
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
3
−1
0
−3

3
0 
10
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente
x
−
y
0
=
=
3
−1
−1
0
0

3
0 
−1
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
3
−1
0
−3

3
0 
10
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente
x
−
y
0
=
=
3
−1
−1
0
0

3
0 
−1
No exisite solución
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

1
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila  0
3
−1
0
−3

3
0 
10
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL

1
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila  0
0
SEL equivalente
x
−
y
0
=
=
3
−1
SEL incompatible
−1
0
0

3
0 
−1
No exisite solución
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n (k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mı́n{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n (k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mı́n{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  1
3
1
−1
1

3
−1 
5
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n (k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mı́n{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  1
3
1
−1
1


3
1
−1  aplicando OE  0
5
0
1
2
0

3
4 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n (k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mı́n{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  1
3
1
−1
1


3
1
−1  aplicando OE  0
5
0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
1
2
0

3
4 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5


3
1
6  aplicando OE  0
0
15
−1
0
0

3
0 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5


3
1
6  aplicando OE  0
0
15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
−1
0
0

3
0 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5
Conceptos
básicos
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL


3
1
6  aplicando OE  0
0
15
Ejemplo

1
(A|b) =  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
−1
0
0

3
0 
0
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5
Conceptos
básicos
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
−1
0
0

3
0 
0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Expresión
matricial
Resolución de
SEL


3
1
6  aplicando OE  0
0
15
Ejemplo

1
(A|b) =  2
3
−1
−2
−3


3
1
6  aplicando OE  0
10
0
−1
0
0

3
0 
−1
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Ejemplo

1
(A|b) =  2
5
−1
−2
−5
Conceptos
básicos
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
−1
0
0

3
0 
0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Expresión
matricial
Resolución de
SEL


3
1
6  aplicando OE  0
0
15
Ejemplo

1
(A|b) =  2
3
−1
−2
−3


3
1
6  aplicando OE  0
10
0
Interpretación
geométrica de
SEL
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
−1
0
0

3
0 
−1
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n (k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1 (k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
HEDIMA
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n (k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1 (k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
HEDIMA
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n (k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1 (k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
HEDIMA
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
1
−1
1

3
−1 
5
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n (k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1 (k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
HEDIMA
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
x
3x
+
−
+
y
y
y
=
=
=
3
−1 ,
5

1
Matriz ampliada  1
3
1
−1
1

3
−1 
5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
Clasificación de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Ejemplo
x
2x
5x
−
−
−
y
2y
5y
=
=
=
3
6 ,
15

1
Matriz ampliada  2
5
−1
−2
−5

3
6 
15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x
2x
3x
−
−
−
y
2y
3y
=
=
=
3
6 ,
10

1
Matriz ampliada  2
3
−1
−2
−3

3
6 
10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Discusión con parámetros
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x
+
ax
+
y
ay
ay
+
+
+
z
az
z
=
=
=
1
2 , con parámetro a ∈ R
1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x
+
ax
+
y
ay
ay
+
+
+
z
az
z
=
=
=

1
2 , con parámetro a ∈ R
1
1
Matriz ampliada  0
a
1
a
a
1
a
1

1
2 
1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
x
+
ax
+
y
ay
ay
+
+
+
z
az
z
=
=
=

1
2 , con parámetro a ∈ R
1
1
Matriz ampliada  0
a
1
a
a
1
a
1

1
2 
1

1
a
0
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila  0
0
1
a
a−1

1
2 
a−1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
Si a = 0, entonces  0
0
1
0
0
1
0
−1

1
2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
−1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
Si a = 0, entonces  0
0
1
0
0
1
0
−1

1
2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
−1
SEL incompatible
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
Si a = 0, entonces  0
0
1
0
0
1
0
−1

1
2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
−1
SEL incompatible

1 1 1 1
Si a = 1, entonces  0 1 1 2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
0 0 0 0

Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
Si a = 0, entonces  0
0
1
0
0
1
0
−1

1
2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
−1
SEL incompatible

1 1 1 1
Si a = 1, entonces  0 1 1 2  , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
0 0 0 0

SEL compatible indeterminado
x = −1, y = 2 − z, z ∈ R (incógnita a fijar)
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
1
Si a 6= 0, 1, entonces  0
0
1
a
0
1
a
a−1

1
2  , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
a−1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
1
Si a 6= 0, 1, entonces  0
0
1
a
0
1
a
a−1

1
2  , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
a−1
SEL compatible determinado para cada valor de a:
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
1
Si a 6= 0, 1, entonces  0
0
1
a
0
1
a
a−1

1
2  , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
a−1
SEL compatible determinado para cada valor de a:
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solución es x = 0, y = 0, z = 1
Discusión con parámetros
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
HEDIMA

Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
1
Si a 6= 0, 1, entonces  0
0
1
a
0
1
a
a−1

1
2  , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
a−1
SEL compatible determinado para cada valor de a:
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solución es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solución es x = 2, y = −2, z = 1
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Interpretación geométrica de SEL
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Resolución de
SEL
Las dos rectas son coincidentes.
Clasificación
de SEL
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dos
ecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Resolución de
SEL
Las dos rectas son coincidentes.
Clasificación
de SEL
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dos
ecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL es
incompatible
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
HEDIMA
Los tres planos se cortan en un único punto común.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
HEDIMA
Los tres planos se cortan en un único punto común.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otro
los corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SEL
compatible indeterminado
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
HEDIMA
Los tres planos se cortan en un único punto común.
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otro
los corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SEL
compatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y el
otro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SEL
es incompatible.
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado
HEDIMA
10
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
5
0
−5
−10
20
40
10
20
0
0
−10
−20
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
Ejemplo
Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado
HEDIMA
Conceptos
básicos
10
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
5
0
10
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
−5
0
−10
−20
0
20
40
−10
Interpretación geométrica de SEL
Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Ejemplo
Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible
10
8
6
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
10
5
0
−5
−10
30
20
10
0
−10
−20
−30