geometría analítica - Temas Años anteriores FIUNA CPI

GEOMETRÍA
ANALÍTICA
182 Ejercicios
Temas de examen
CPI- FIUNA
Teórico y Práctico
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
Año 2000
1. Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones
(GRÁFICO)
12𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0 y 12𝑥 − 5𝑦 + 37 = 0
2. Verificar si el triángulo de vértices L(1 ; 1) , M (2 ; 3) y N(5 ; −1) es rectángulo. (GRÁFICO)
3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene a los puntos M(5 ; −1) y N(−3 ; 7) como
extremos de uno de sus diámetros (GRÁFICO)
4. Una parábola con vértice en el origen de coordenadas, tiene su foco en el punto F(−10 ; 0).
Hallar su ecuación, la longitud del Latus rectum y la ecuación de la directriz (GRÁFICO)
5. Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas, focos en el eje de
ordenadas, eje menor igual a 12 unidades y distancia focal igual a 16 unidades (GRÁFICO)
6. Calcular el área del triángulo determinado por las asíntotas de la hipérbola de ecuación
9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36 = 0 y la recta de ecuación 9𝑥 + 2𝑦 − 24 = 0 (GRÁFICO)
Año 2001
7. El área de un triángulo es igual a 8 unidades cuadradas; dos de sus vértices son A(1 ; −2) y
B(2 ; 3) y el tercer vértice C está en la recta de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. Hallar las coordenadas
del vértice C. (GRÁFICO)
8. Hallar la ecuación de la mediana relativa al lado AC del triángulo cuyos vértices son A(3 ; 2),B(5 ;
−2) y C(1 ; 0). (GRÁFICO)
9. Hallar la distancia del centro de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0 a la
recta de ecuación 𝑦 = −𝑥 + 8. (GRÁFICO)
10. Una parábola de vértice en el origen de coordenadas y foco en el eje de abscisas pasa por
P(−3 ; 6). Hallar el Latus rectum y las ecuaciones de la parábola y su directriz. (GRÁFICO)
11. Determinar ay b en la ecuación de la elipse
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, sabiendo que la misma pasa por los
puntos P(2 ; 1) y Q( 2 ; 2). (GRÁFICO)
12. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértice en V(±6 ; 0) y asíntotas 𝑦 = ±𝑥. (GRÁFICO)
Cursillo π
2
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
13. Determinar las coordenadas de un punto que equidista de los puntos A(−1 ; 10) y B(6 ; 9) y
cuya ordenada es el triple de su abscisa (GRÁFICO)
14. El área de un triángulo es igual a 4 unidades de área, dos de sus vértices son los puntos A(2 ; 1)
y B(3 ; −2) y el tercer vértice C está situado en el eje de abscisas. Hallar las coordenadas del
vértice C. (GRÁFICO)
15. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro O’(−2 ; 3) y tangente a la recta de ecuación
3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 (GRÁFICO)
16. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en origen de coordenadas, foco en el eje de
ordenadas y pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuación 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 y
𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 (GRÁFICO)
17. Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas, eje mayor sobre el eje de
abscisa y pasa por los puntos P(4 ; 3) y Q(6 ; 2) (GRÁFICO)
18. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen de coordenadas, un vértice en A(3 ; 0)
y ecuación de una de sus asíntotas 2𝑥 − 3𝑦 = 0 (GRÁFICO)
Cursillo π
3
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
Año 2002
19. El punto medio de un segmento de recta 𝐴𝐵 , cuyos extremos A y B están respectivamente en
cada uno de los ejes de coordenadas, es M(2 ; 3). Calcular la pendiente de la recta AB (GRÁFICO)
20. Calcular la altura relativa al lado 𝐵𝐶 del triángulo ABC, cuyos vértices son los puntos A(3 ; −4) ;
B(9;8) y C(−3 ; −1). (GRÁFICO)
21. Hallar las ecuaciones de las circunferencias de radio igual a 5 unidades, centros en la recta de
3
ecuación 𝑦 = 𝑥, que pasan por el origen de coordenadas. (GRÁFICO)
4
22. Sabiendo que la directriz de una parábola es la recta de ecuación 𝑥 + 4 = 0 y el foco es el
punto F(2 ; 3), calcular las coordenadas del vértice y hallar la ecuación de la parábola. (GRÁFICO)
23. Dada la elipse de ecuación 9𝑥 2 + 6𝑦 2 − 36𝑥 + 96𝑦 + 36 = 0, hallar a) las coordenadas del
centro; b) el semieje mayor; c) el semieje menor y d) las coordenadas de los focos. (GRÁFICO)
24. Hallar la ecuación de la hipérbola que cumple las siguientes condiciones: el centro se encuentra
en el origen de coordenadas; los focos en el eje de abscisas; pasa por el punto M(6 ; −1); la
ecuacion de una de las asíntotas es 2𝑦 − 𝑥 = 0. (GRÁFICO)
25. Determinar el área comprendida entre la recta PQ y los ejes coordenados, siendo P(4 ; 6) y
Q(16 ; −3). (GRÁFICO)
26. Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo ABC, que tiene uno de sus vértices en
A(2 ; −3) y sabiendo que los puntos M(5/2 ; −5/2) y N(3/2 ; −2) son puntos medios de los
lados AB y AC, respectivamente. (GRÁFICO)
27. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en P(11 ; 15) y tangente exterior a la
circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 4 = 0. (GRÁFICO)
28. Determinar las coordenadas del vértice, coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la
parábola de ecuación 𝑦 2 + 6𝑥 − 6 = 0. (GRÁFICO)
29. Determinar las coordenadas de los focos y la ecuación de la elipse de centro en O’(4 ; 6); focos
sobre una recta paralela al eje de abscisas, eje mayor 20 unidades y excentricidad 3/5.
(GRÁFICO)
30. Determinar la excentricidad de la hipérbola de ecuación 16𝑥 2 − 9𝑦 2 + 144 = 0. (GRÁFICO)
Cursillo π
4
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
Año 2003
31. Dados los puntos M(2 ; 2) y N(5 ; −2), hallar un punto P en el eje de abscisas de modo que el
ángulo MPN sea recto. (GRÁFICO)
32. El área del triángulo de vértices A(3 ; 6), B 𝑥2 ; 𝑦2 y 𝐶 5 ; 𝑦3 es igual a 14 unidades de área.
Hallar las coordenadas de los vértices B y C, sabiendo que pertenecen a la recta de ecuación
9𝑥 − 5𝑦 − 25 = 0. (GRÁFICO)
33. Hallar las ecuaciones de las circunferencias con centro en recta de ecuación 𝑦 − 3 = 0 y
tangente a la recta de ecuación 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 en el punto T(4 ; 0). (GRÁFICO)
34. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto V(2 ; 4), sabiendo que la ecuación de la
directriz es 𝑦 − 3 = 0. Hallar la ecuación de la parábola
35. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, focos en el eje de
abscisas, distancia focal igual a 8 unidades de longitud y que pasa por el punto P
(GRÁFICO)
15 ; −1 .
36. El punto M(1 ; 0) pertenece a una hipérbola cuyos focos son 𝐹1 13 ; 0 y 𝐹2 − 13 ; 0 .
Hallar la ecuación de la hipérbola, su excentricidad y las ecuaciones de sus asíntotas. (GRÁFICO)
37. El triángulo de vértices 𝐴 2 ; 3 ; 𝐵 𝑥 ; −2
del vértice B. (GRÁFICO)
y 𝐶(7 ; 5) es rectángulo en A. Calcular la abscisa
38. Dados los vértices del triángulo 𝐴 −10 ; −13 ;𝐵 −2 ; 3 y 𝐶(2 ; 1), calcular la distancia del
vértice B a la mediana relativa al lado 𝐴𝐵 . (GRÁFICO)
39. Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias que pasan por el punto 𝑃(2 ; 1) y son tangentes
a los ejes de coordenadas. (GRÁFICO)
40. Dada la parábola de ecuación 𝑥 2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0, hallar: a) las coordenadas del vértice; b)
las coordenadas del foco y c) la ecuación de la directriz. (GRÁFICO)
41. Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen de las coordenadas, focos en el eje de las
ordenadas, eje menor igual a 12 unidades y que pasa por el punto 𝑃 2 ;
20 2
3
. (GRÁFICO)
42. Hallar la ecuación dela hipérbola con centro en el punto O’( 4 ; 8), sabiendo que la distancia
focal mide 10 unidades, la excentricidad es igual a
5
4
y que los focos están situados en una recta
paralela al eje de abscisas. (GRÁFICO)
Cursillo π
5
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Año 2004
43. Deducir la ecuación de la recta en coordenadas polares.
44. Transformar al sistema cartesiano rectangular la ecuación polar 𝜌2 − 8𝜌 cos 𝜃 − 60° + 12 =
0, considerando que el polo coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar con el
eje de abscisas. (GRÁFICO)
45. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en la recta de ecuación 2𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 y que
pasa por los puntos 𝑃(1 ; 2) y 𝑄(3 ; 4). (GRÁFICO)
46. Determinar el foco, la directriz y la distancia del foco a la directriz de la parábola con vértice en
el punto V 4 ; 8 y que pasa por el origen de coordenadas. El eje de simetría es paralelo al eje
Oy. (GRÁFICO)
47. Dada la elipse de ecuación
𝑥−2 2
16
+
𝑦−4 2
25
= 1, determinar los focos, los semiejes, la distancia
focal y la excentricidad. (GRÁFICO)
48. Dados el punto 𝑂′ 2 ; −1 y la elipse de ecuación 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 8𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0 en el sistema
xOy, hallar la ecuación de esta elipse en el sistema x’O’y’. (O’x’ es paralelo a Ox y O’y’ es
paralelo a Oy). (GRÁFICO)
49. En la hipérbola de ecuación 𝑥 2 − 𝑦 2 = 16 se da el punto P de abscisa 5 y ordenada positiva.
Hallar la ecuación de la perpendicular a la asíntota de pendiente positiva que pasa por el punto
P. (GRÁFICO)
50. Determinar la longitud de la cuerda de la circunferencia de ecuación 𝑥 − 2
cuyo punto medio es 𝑃(1 ; 2). (GRÁFICO)
2
+ 𝑦−4
2
= 10,
51. Dadas las circunferencias de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 5 = 0 y 𝑥 + 4 2 + 𝑦 + 6
36, hallar la ecuación de la recta que pasa por los centros de las mismas. (GRÁFICO)
2
=
52. Hallar los puntos de intersección de la hipérbola de ecuación 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 144 y la recta de
ecuación 5𝑥 − 4𝑦 − 16 = 0. (GRÁFICO)
53. Sabiendo que una parábola tiene su foco en el punto 𝐹(6 ; 4) y directriz de ecuación 𝑦 = −2,
determinar su ecuación. (GRÁFICO)
54. Dada la elipse de ecuación 9𝑥 2 + 16𝑦 2 = 576, hallar el semieje mayor, el semieje menor, la
excentricidad, las coordenadas de los focos y la ecuación de las directrices.
55. Hallar 𝑚 y 𝑛 para que los puntos P(3; 1; −2); Q 1; 5; 1
recta.
Cursillo π
6
y R(𝑚; 𝑛; 7)estén en la misma
Ing. Raúl Martínez
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56. Determinar las coordenadas de los extremos del segmento de recta que es dividido en tres
partes iguales por los puntos P 2; 0; 2 y 𝑄 5; −2; 0
57. Calcular el área del triángulo de vértices en los puntos M 1; 0; 1 ; P(4; 2; 1) y Q(1; 2; 0)
58. Hallar los valores de 𝑎 de modo que las rectas de ecuación
𝑎 + 2 𝑥 + 4𝑦 − 11𝑎 − 18 = 0 sean concurrentes.
(1 − 𝑎)𝑥 − 10𝑦 + 3 = 0
y
59. Hallar la proyección del punto P(−6; 4) sobre la recta de ecuación 4𝑥 − 5𝑦 + 3 = 0.
(GRÁFICO)
60. Los vértices de un triángulo son los puntos A(5; 2); B(1; −3) y C(−3; 4). Hallar la ecuación de la
recta paralela a la mediana relativa al lado 𝐴𝐵 y que pasa por el punto B. (GRÁFICO)
61. Hallar los dos valores de𝑘 de modo que las rectas de ecuación
2𝑥 + 5𝑦 − 17 = 0 formen un ángulo de 45°.
3𝑥 − 𝑘𝑦 − 8 = 0
y
62. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 = 0, sabiendo que son
paralelas a la recta 4𝑥 − 3𝑦 + 32 = 0. (GRÁFICO)
63. Dada la hipérbola de ecuación 16𝑦 2 − 9𝑥 2 − 96𝑦 − 36𝑥 − 36 = 0, hallar: a) el centro; b) los
semiejes; c) los focos; d) los vértices y e) las ecuaciones de las asíntotas. (GRÁFICO)
64. Hallar la ecuación de la parábola de foco 𝐹 −1; 3 y directriz de ecuación 𝑥 = 1. (GRÁFICO)
65. Dada la curva de ecuación 𝜌 =
2
sen 𝜃 −1
, indicar a que curva corresponde y expresar la ecuación
en coordenadas cartesianas rectangulares. (GRÁFICO)
66. Hallar, en coordenadas polares, la ecuación de la recta que forma un ángulo de 150° con el eje
polar y dista del polo 5 unidades. (GRÁFICO)
Cursillo π
7
Ing. Raúl Martínez
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Año 2005
67. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta de ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 en el
punto 𝑃 2 ; 5 . El centro de la circunferencia está en la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0.
(GRÁFICO)
68. Dada la parábola de ecuación 𝑥 =
𝑦2
4
−
3𝑦
2
+
25
4
, hallar: a) el vértice, b) el foco y c) la ecuación de
la directriz. (GRÁFICO)
69. El punto 𝑂′(2 ; 1) es el centro de una elipse que pasa por los puntos 𝑃(8 ; 5) y 𝑄(−6 ; 4).
Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que sus ejes están en rectas paralelas a los ejes
coordenados. (GRÁFICO)
70. Hallar los puntos de intersección de la hipérbola de ecuación 𝑥 2 − 4𝑦 2 − 20 = 0 y la recta de
ecuación 2𝑥 − 𝑦 − 10 = 0. (GRÁFICO)
71. Dada la curva de ecuación
𝜌=
144
13−5 cos 𝜃
, expresar a que curva corresponde y hallar sus
semiejes.
72. Determinar las coordenadas de los extremos del segmento de recta que es dividido en tres
partes iguales por los puntos 𝑃(4; 0; 4) y 𝑄(10; −4; 0).
73. Determinar el valor de "𝑘" para que las rectas 𝑘 − 1 𝑥 + (𝑘 + 29𝑦 − 8 = 0 y 𝑘 − 2 𝑥 −
𝑦 − 4 = 0 se corten en un punto situado en el eje de abscisas. (GRÁFICO)
74. Hallar la distancia entre las rectas de ecuación
(GRÁFICO)
3𝑥 + 4𝑦 − 8 = 0
y
6𝑥 + 8𝑦 + 2 = 0.
75. Los puntos 𝐴(2; 1); 𝐵(3; 2) y 𝐶(−2; −5) son los vertices del triángulo 𝐴𝐵𝐶. Hallar la
ecuación de la recta que pasa por el vertice 𝐴 y es paralela a la recta que contiene a la mediana
relativa al lado 𝐴𝐶 . (GRÁFICO)
76. Hallar la ecuación de las rectas que pasan por el punto 𝑃(1; 2) y forman un ángulo de 45º con
la recta de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0. (GRÁFICO)
77. Deducir la ecuación polar de la recta, conociendo su distancia “d” al polo y el ángulo polar “α”
de la normal a la misma. (GRÁFICO)
78. Los extremos de la base 𝐴𝐶 (lado desigual) del triángulo isósceles ABC son los puntos
𝐴(1; −6) y 𝐶(−3; 2). El vértice 𝐵 se encuentra en la recta de ecuación 𝑥 + 6𝑦 − 24 = 0.
Hallar el área del triángulo ABC. (GRÁFICO)
Cursillo π
8
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79. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo de vértices 𝐿(8; −2), 𝑀(6; 2) y
𝑁(−1; 1). (GRÁFICO)
80. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse de ecuación 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 225.
Hallar la ecuación de la hipérbola, siendo su excentricidad igual 2. (GRÁFICO)
81. Hallar el punto medio de la cuerda determinada en la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 por la
parábola de ecuación 𝑥 2 − 4𝑦 = 0. (GRÁFICO)
82. Trabajando exclusivamente en coordenadas polares, hallar la ecuación de la circunferencia con
centro 𝐶(4; 30°)y radio𝑅 = 2. (GRÁFICO)
Año 2006
83. Hallar los puntos de intersección de las circunferencias dadas mediante las siguientes
ecuaciones: 𝑥 − 4
2
+ 𝑦−1
2
= 10 ; 𝑥 −
3 2
2
+ 𝑦−
7 2
2
5
= . (GRÁFICO)
2
84. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro en el punto 𝐶(4 ; 30°) y radio igual a 5
unidades. (GRÁFICO)
85. Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y 24 metros de base,
situado a una distancia de 8 metros del centro del arco.
86. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, focos en el eje de
abscisas, distancia focal igual a 8 unidades y que pasa por el punto 𝑃
87. Dada la curva de ecuación 𝜌 =
4
2−3 cos 𝜃
15 ; −1 . (GRÁFICO)
, indicar a que curva corresponde. Gráfico, usando
coordenadas polares.
88. Hallar la ecuación de las dos circunferencias tangentes al eje de las abscisas, sabiendo que pasa
por el punto 𝑃(2; 1) y que su centro está sobre la recta 𝑦 = 𝑥 + 1. (GRÁFICO)
89. Hallar el lugar geometría de los puntos 𝑃(𝑥; 𝑦) que están a una misma distancia del punto
𝑀(4; 0) y de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. (GRÁFICO)
90. Trabajando exclusivamente en coordenadas polares, hallar el área del triángulo cuyos vértices
son: 𝐴(0; 0),𝐵(−5; −120°) y 𝐶(4; 120°). (GRÁFICO)
91. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo
tiene sus cuatro lados iguales.
Cursillo π
9
Ing. Raúl Martínez
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92. Calcular 𝑚, sabiendo que A(𝑚; 1; 1); B 1; −1; 0 y C(2; 1; −1) son vértices de un triángulo de
área igual a
29
2
unidades cuadradas.
93. Los vértices del triángulo ABC son los puntos A(3 ; 4), B(−3; −2) y 𝐶(5; −6). Hallar el punto
de intersección de la mediatriz del lado 𝐴𝐵 y la recta que contiene a la mediana relativa al lado
𝐵𝐶 . (GRÁFICO)
94. Hallar las ecuaciones de la bisectrices de los ángulos determinados por las rectas de ecuación
3𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0 y 5𝑥 + 12𝑦 + 7 = 0. (GRÁFICO)
95. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑀 1; −2 y 𝑁 −2; −6 en su forma
normal. Dar el significado del término independiente y el de los coeficientes de 𝑥 y de 𝑦.
(GRÁFICO)
96. Calcular el ángulo agudo formado por las rectas 𝑟:
𝑥 =𝑡+2
𝑥 = 3𝑡
y 𝑠:
. (GRÁFICO)
𝑦=𝑡
𝑦 = 2𝑡 − 1
97. Hallar, en coordenadas polares, la ecuación de la recta que forma un ángulo de 135° con el eje
polar y que corta al mismo a una distancia del polo igual a 6 2 unidades. (GRÁFICO)
Año 2007
98. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto 𝐴(2 ; −1) es igual a su
distancia a la recta de ecuación 𝑦 + 2 = 0. (GRÁFICO)
99. El punto 𝑀(3 ; −1) es un extremo del eje menor de una elipse, cuyos focos están en la recta
𝑦 + 6 = 0. Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que su excentricidad es igual a
2
2
.
(GRÁFICO)
100. Una hipérbola, con centro en el origen y eje transverso en el eje de abscisas, pasa por el punto
𝑃 5;
9
4
. Una de las asíntotas es la recta de ecuación 3𝑥 − 4𝑦 = 0. Hallar la ecuación de la
hipérbola. (GRÁFICO)
101. Hallar la ecuación de la circunferencia inscripta en el triángulo cuyos lados son las rectas de
ecuación 2x − 3y + 21 = 0 , 3x − 2y − 6 = 0 y 2x + 3y + 9 = 0. (GRÁFICO)
102. Se dan una elipse y una hipérbola centradas en el origen de un sistema cartesiano y cuyos ejes
focales coinciden con el eje Ox. Los focos de la elipse son vértices de la hipérbola y los focos de la
hipérbola son vértices de la elipse. Sean 2a = 10 y 2b = 20/3 los ejes de la elipse. Hallar la
ecuación de las parábolas que pasan por los puntos de intersección de la elipse y la hipérbola y
son tangente al eje Oy. (GRÁFICO)
103. Un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos. ¿Cuál será el volumen del mayor
cono que se genera con un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm?
Cursillo π
10
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104. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación
ecuación x = 2y. (GRÁFICO)
x = 8y 2
y la recta de
105.
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(1; 2) y forman con la recta
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 un ángulo de 45°. Gráfico.
106.
Dados los vértices de un triángulo A (−10; −13), B (−2; 3)y C(2; 1), calcular la
distancia del vértice B a la mediana relativa al lado AB. Gráfico.
107.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝑃 −2; 1
recta de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 en el punto 𝑇(4; 3). Gráfico.
108.
y es tangente a la
Utilizando exclusivamente coordenadas polares, hallar el centro y el radio de la
circunferencia 𝜌2 + 4𝜌 cos 𝜃 − 4 3𝜌 sen 𝜃 − 20 = 0. Gráfico.
Año 2008
109.
Sean los puntos 𝐵(4; 1) y 𝐶(2; −3) vértices de un triángulo ABC, rectángulo en A.
Hallar el área del triángulo ABC, sabiendo que el vértice A se encuentra en la recta de ecuación
2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0. (GRÁFICO)
110.
Hallar el valor de 𝑘 para que la recta de ecuación 3𝑥 − 𝑘𝑦 − 8 = 0 forme un ángulo de
45° con la recta de ecuación 2𝑥 + 5𝑦 − 17 = 0. (GRÁFICO)
111.
Hallar la condición que debe verificar 𝑚, para que el punto 𝑃(4; 3) sea exterior al circulo
de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 𝑚 = 0.
112.
Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta de ecuación 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
en el punto 𝑃(2; 5), sabiendo que su centro está en la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0.
(GRÁFICO)
113.
Hallar la ecuación de la parábola, sabiendo que su lado recto es el segmento de recta
definido por los puntos 𝐴(2; 2) y 𝐵(−2; 4). (GRÁFICO)
114.
Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que uno de sus focos es el punto 𝐹(−4; 1), una
1
de sus directrices es la recta de ecuación 𝑦 + 3 = 0 y su excentricidad es 𝑒 = . (GRÁFICO)
2
115.
Determinar la ecuación de la hipérbola que pasa por el origen y tiene por asíntotas a las
rectas de ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 1 e 𝑦 = −2𝑥 + 3. (GRÁFICO)
116.
Determinar la ecuación polar de la parábola 𝑦 2 = 4(𝑥 + 2), sabiendo que el eje polar
coincide con el eje de abscisas y el polo coincide con el vértice. (GRÁFICO)
11
Cursillo π
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117.
Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 en el punto
P(2; 5), sabiendo que el centro de la circunferencia está en la recta 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0. Gráfico.
118.
Una elipse que pasa por el punto P(0; 8) tiene su centro en el punto 𝑂′(−1; 4). Hallar la
ecuación de la elipse, sabiendo que uno de sus focos es el punto F(-1; 1). Gráfico.
119.
El punto M(−3; −5) pertenece a la hipérbola con foco en F(−2; −3) y la directriz
correspondiente a ese foco es 𝑥 + 1 = 0. Hallar la ecuación de la hipérbola. Gráfico.
120.
Trabajando exclusivamente en coordenadas polares hallar la ecuación de la cónica cuya
directriz es la recta 𝜌 =
𝑝
−2 cos 𝜃
y siendo que el foco se encuentra 𝐹(𝑓; 0)
Año 2012
121.
Sabiendo que los vectores no nulos 𝐴 y 𝐵 del espacio de tres dimensiones son
linealmente independientes, demostrar que los vectores 𝐴 ; 𝐵 y 𝐴 + 𝐵 son linealmente
dependientes.
122.
Siendo 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 tres vectores linealmente independientes en el espacio de tres
dimensiones, demostrar que:
2𝑢 + 𝑣 ; 𝑢 − 2𝑣
y 𝑤, también son linealmente
independientes.
123.
Explicar por qué el producto vectorial de dos vectores unitarios, es otro vector cuyo
módulo es menor o igual a uno.
124.
En 𝑅3 , si el producto mixto de tres vectores no nulos es igual a cero, demostrar que los
tres vectores son linealmente dependientes (LD).
125.
Sabiendo que los vectores 𝐴 y 𝐵 son perpendiculares y que se cumple la relación
𝑃 ∧ 𝐵 = 𝐴 − 𝑃 , demostrar que 𝑃 es perpendicular a 𝐵 .
126.
Dados los puntos: 𝑃 −1 , −2 , 2 , 𝑄 −3 , 2 , 0
y 𝑅 −1 , 0 ,1 , determinar un punto 𝑀
tal que se cumpla la relación 𝑃𝑀 = 2𝑃𝑅 − 3𝑀𝑄.
127.
Los vectores 𝐴 = 2 , −3, 6 y 𝐵 = 12 , 6 , 4 , están aplicados a un mismo punto. Hallar
las coordenadas del vector 𝐶, que tenga la dirección de la bisectriz del ángulo formado por 𝐴 y
𝐵, y que 𝐶 = 2.
128.
El vector 𝑋 es perpendicular a los vectores: 𝐴 = 3 , −1 , 0 y 𝐵 = 3 , −2 , 4 y forma
con el eje 𝑂𝑋 un ángulo obtuso. Hallar 𝑋 si 𝑋 = 26.
Cursillo π
12
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
129.
En un triángulo se conocen sus vértices 𝐴 0 , 2 , 2 , 𝐵 1 , 9 , 0 y 𝐶 −4 , 4 , −2 . Si 𝑃 es el
pie de la perpendicular trazada al lado 𝐴𝐶 desde el vértice 𝐵, determinar el vector 𝐵𝑃.
130.
Demostrar que, si las asíntotas de la hipérbola
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
−
2
= 1 son perpendiculares, la
hipérbola es equilátera. Graficar.
131.
Demostrar que la ecuación polar de la tangente a la circunferencia 𝜌 = 𝑅, en el punto
𝑅 ; 𝛼 , está dada por la expresión 𝜌 cos 𝜃 cos 𝛼 + 𝜌 sen 𝜃 sen 𝛼 = 𝑅. Graficar.
132.
Dada la recta de ecuación 2 𝑥 + 𝑦 + 6 = 0, determinar la nueva ecuación de la misma
tal que, al trasladar el sistema de ejes coordenados paralelamente a lo largo del eje de abscisas,
esa recta dada forme con los nuevos ejes coordenados un triángulo de área igual a 32 𝑢2 .
Graficar.
133.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 +
10𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 que sean paralelas a la recta de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0. Graficar.
134.
Dada la elipse 10 𝑥 2 + 15 𝑦 2 + 100 𝑥 + 100 = 0, hallar las ecuaciones de las rectas
tangentes a ella que contengan al origen de coordenadas. Graficar.
135.
Determinar la ecuación de la hipérbola que pasa por el origen de coordenadas y tiene por
asíntotas a las rectas de ecuaciones 𝑦 = 𝑥 + 1 e 𝑦 = −𝑥 + 3. Graficar.
136.
Demostrar que si una hipérbola es equilátera, su excentricidad es igual a
2. Graficar.
137.
Demostrar que la ecuación polar de la circunferencia que pasa por el polo y por los
puntos 𝐴 𝑏 , 0 y 𝐵 𝑏 , 𝜋/2 está dada por la expresión: 𝜌 = 𝑏 cos 𝜃 + sen 𝜃 . Graficar.
138.
Los puntos 𝐴 3 , 4
y 𝐵 2 , 3 están referidos al sistema de coordenadas 𝑋𝑂𝑌.
Determinar las coordenadas del nuevo origen 𝑂′ sabiendo que en este nuevo sistema
trasladado en forma paralela, el punto 𝐴 se sitúa en el eje de abscisas y el punto 𝐵 en el eje de
ordenadas. Graficar.
139.
Encontrar la longitud de la cuerda de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 que
pasa por el punto 𝑃 5 ,7 y es paralela a su tangente en el punto 𝑄 2 , −2 . Graficar.
140.
Dada la elipse 10 𝑥 2 + 15 𝑦 2 − 100 𝑥 + 100 = 0, hallar las ecuaciones de las rectas
tangentes a ella que contengan al origen de coordenadas. Graficar.
141.
Las rectas 4 𝑥 − 3 𝑦 + 11 = 0 y 4 𝑥 + 3 𝑦 + 5 = 0 son asíntotas de una hipérbola
que tiene uno de los vértices de su conjugada en 𝐵 −2 , 5 . Determinar la ecuación de la
hipérbola. Graficar.
Cursillo π
13
Ing. Raúl Martínez
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Si 𝛼 , 𝛽 y 𝛿 son escalares, demostrar que el producto mixto de los vectores 𝐴 +
𝛼𝐵 ;𝐵 +𝛽𝐶 y 𝐶 +𝛿𝐴 está dado por la expresión 1+𝛼𝛽𝛿𝐴 𝐵 𝐶 .
142.
143.
Si en la elipse de ecuación
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
= 1 el segmento de recta, determinado por el foco
izquierdo y el extremo superior de su eje menor, tiene por pendiente 𝑚, probar que la
excentricidad de la cónica es 𝑒 =
1
1+𝑚 2
. Graficar.
144.
El vector 𝑋 es perpendicular a los vectores 𝐴 = 4 , −2 , −3
con el eje 𝑂𝑌 un ángulo agudo. Hallar 𝑋 si 𝑋 = 91.
y 𝐵 = 0 ,1 ,3
y forma
145.
TEMA 3: Los puntos 𝐴 −2 , 0 , 𝐵 10 , 0 y 𝐶 0 , 4 son vértices de un triángulo.
Determinar la ecuación de la recta que, pasando por el vértice 𝐴, divide al triángulo 𝐴𝐵𝐶 en
dos triángulos equivalentes. Graficar.
146.
Determinar la ecuación de la hipérbola de excentricidad 𝑒 = 5, que tenga uno de sus
focos en 𝐹 2 , −3 y que la directriz correspondiente a dicho foco sea la recta de ecuación
3𝑥𝑦 + 3 = 0. Graficar.
147.
La ecuación de una circunferencia es 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 = 20 en coordenadas
cartesianas. Expresar la misma ecuación en coordenadas polares si el polo coincide con el origen
de coordenadas y el eje polar coincide con el eje positivo de ordenadas. Graficar.
148.
Demostrar que 𝐴 + 𝐵 . 𝐵 + 𝐶 ∧ 𝐶 + 𝐴 = 2𝐴 . 𝐵 ∧ 𝐶
149.
Dada la elipse de ecuación
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, demostrar que el coseno del ángulo de
inclinación de la recta que pasa por el vértice izquierdo del eje mayor y por el vértice superior
del eje menor, expresado en función de su excentricidad, es cos 𝛼 =
1
2−𝑒 2
. Graficar.
150.
El vector 𝑋 es perpendicular a los vectores 𝐴 = −4 , −2, 0 y 𝐵 = 0 , −1 , 3 y forma
con el eje 𝑂𝑍 un ángulo obtuso. Hallar 𝑋 si 𝑋 = 70.
151.
Los puntos 𝑃 −2 , 0 , 𝑄 10 , 0 y 𝑅 0 , 4 son vértices de un triángulo. Determinar la
ecuación de la recta que, pasando por el vértice 𝑄, divide al triángulo 𝑃𝑄𝑅 en dos triángulos
equivalentes. Graficar.
152.
La recta de ecuación 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 es tangente a una hipérbola cuyos focos están en
los puntos 𝐹1 −3 , 0 y 𝐹2 3 , 0 . Determinar la ecuación de la cónica. Graficar.
Cursillo π
14
Ing. Raúl Martínez
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153.
La ecuación de una circunferencia es 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 = 23 en coordenadas
cartesianas. Expresar la misma ecuación en coordenadas polares si el polo coincide con el origen
de coordenadas y el eje polar coincide con el eje negativo de coordenadas. Graficar.
Año 2013
154.
Formula una condición sobre los escalares: 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑎; 𝑏 , 𝑐; 𝑑 , sean linealmente independientes.
y 𝑑; para que los vectores:
155.
Siendo 𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 el vector de posición de un punto 𝑀, determinar en que cuadrantes
pueden estar situado el punto 𝑀 𝑥; 𝑦 si:
a) 𝑥. 𝑦 < 0
b) 𝑥 + 𝑦 = 0
c) 𝑥 + 𝑦 < 0
d) 𝑥 − 𝑦 < 0
156.
Demostrar que la ecuación vectorial de una recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 puede
expresarse de la forma: 𝑃 = 𝐴 + 𝑘𝑉 .
2
157.
Verificar que la ecuación 𝑥 − 𝑦
− 4 = 0 representa dos rectas paralelas.
158.
Siendo 𝑎 = 𝐴 , 𝑏 = 𝐵 , probar que el vector 𝐶 =
𝑎𝐵 +𝑏𝐴
𝑎+𝑏
tiene la dirección de la
bisectriz del ángulo formado por 𝐴 y 𝐵 .
159.
Dados los vectores 𝐴 = 4, −2, 2 , 𝐵 = 2, 4, −2 y 𝐶 = 2, 2, −4 en el espacio, hallar
el vector 𝐷 tal que 𝐷 = 2 y 𝐷 . 𝐴 = 0, siendo 𝐵 , 𝐶 y 𝐷 linealmente dependientes.
160.
Los puntos 𝐴(4; 1) y 𝐵 −4; 2 son dos vértices del triángulo 𝐴𝐵𝐶. Determinar las
coordenadas del tercer vértice 𝐶, sabiendo que sus alturas se cortan en el punto 𝐷 −3,5; 1 .
Gráfico.
161.
Los puntos: 𝑂 0; 0 , 𝐴 16; 0 y 𝐵 0; 4 son vértices de un triángulo. Determinar la
ecuación de la recta que pasando por el punto 𝑀 8; 2 corte al triángulo en dos polígonos
equivalentes. Gráfico.
162.
Por el foco derecho de la elipse
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
= 1 se traza una perpendicular a su eje mayor,
siendo 𝐶 el punto de intersección superior de esta perpendicular con la elipse. Si 𝐴 y 𝐵 son los
vértices superior e izquierdo de la elipse, determinar para qué valor de la excentricidad de la
elipse, serán paralelas las rectas 𝐴𝐵 y 𝑂𝐶. Graficar.
Cursillo π
15
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
Hallar la ecuación de la cónica 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0, en el sistema
163.
∠
𝑥 ′ 𝑂𝑦 ′ 𝑥𝑂𝑥 ′ = 45° . Determinar los elementos de la cónica en el nuevo sistema girado
(directriz o directrices; foco o focos; vértice o vértices, según corresponda).
164.
Calcular la distancia mínima del punto 𝑃(6 ; 8) a la circunferencia de ecuación
2
𝑥 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0. Graficar.
165.
𝑥2
100
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la elipse
+
𝑦2
64
= 1. Las directrices de la hipérbola pasan por los focos de la elipse. Graficar.
166.
En coordenadas polares, deducir la ecuación de la parábola cuyo esté situado en el punto
𝐹 8 ; 0° y la ecuación de su directriz sea 𝜌 cos 𝜃 = −8. Graficar.
Año 2014
167.
El sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦 se gira un ángulo positivo 𝛼 para obtener un nuevo
sistema de coordenadas 𝑥´𝑂𝑦´. Determinar, utilizando conceptos de rotación de sistemas:
a. El ángulo de giro para que la recta de ecuación 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, en el sistema 𝑥𝑂𝑦, sea paralela
al eje 𝑂𝑥´ en el sistema 𝑥´𝑂𝑦´.
b. La ecuación de la recta 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 en el sistema 𝑥´𝑂𝑦´.
Graficar.
168.
Demostrar que la ecuación vectorial de una recta perpendicular a un vector 𝑩y que pasa
por un punto fijo 𝑴puede expresarse de la forma: 𝑷. 𝑩 = 𝑴. 𝑩,donde 𝑷es un punto cualquiera
de la recta. (Gráfico).
169.
En un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, el punto 𝑃 del lado 𝐴𝐵 divide al mismo lado en la razón 𝜆.
Demostrar que el segmento DP divide a la diagonal AC en la razón
𝜆
𝜆+1
. (Gráfico).
170.
El punto 𝐴(−3 ; −2 ) es el extremo de la diagonal menor de un rombo cuyo punto de
intersección de sus diagonales es el punto 𝑀(−1 ; 0 ). Sabiendo que la diagonal menor tiene la
misma longitud que los lados, determinar los vértices del rombo. (Gráfico).
171.
Los puntos: 𝐴(−2 ; 0),𝐵( 10 ; 0 ) y 𝐶(0 ; 4) son vértices de un triángulo. Determinar la
ecuación de la recta que sea paralela al lado AC y que corte al triángulo en dos polígonos
equivalentes. (Gráfico).
172.
Determinar las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son los puntos
𝐴 0 ; 0 ; 𝐵 3 ; 0 𝑦 𝐶 2 ; 3 . (Gráfico).
Cursillo π
16
Ing. Raúl Martínez
TAA-GEOMETRÍA ANÁLITICA-CPI
173.
Determinar la ecuación del lugar geométrico del vértice del ángulo rectángulo del
triángulo cuya hipotenusa tiene sus extremos en los puntos (0 ,b) y (a, b). Gráfico.
174.
Determinar la ecuación canónica de la elipse de excentricidad 𝑒 = 0,8 ; uno de sus focos
en 𝐹 2 ; −2 y la ecuación de la directriz correspondiente 4𝑦 + 17 = 0.Gráfico
175.
Un arco parabólico tiene 18 metros de altura y 24 metros de base. Determinar la altura
de un punto del arco parabólico situado a 4 metros del eje vertical del arco. Gráfico.
176.
Determinar la ecuación de la hipérbola equilátera de focos en los puntos 𝐹1 (7 ; 2) y
𝐹2 1 ; 4 . Determinar además sus vértices y las ecuaciones de sus síntomas. Gráfico.
177.
Trabajando exclusivamente en coordenadas polares, determinar el centro y el radio de la
circunferencia:
𝜌2 − 4 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4 3 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 9 = 0,
Donde 𝜌 es el radio vector de un punto de la circunferencia y 𝜃 es el ángulo que el radio vector
forma con el eje polar. Gráfico.
178.
Demostrar vectorialmente que: Un triángulo inscrito en una circunferencia, con dos de
sus vértices en los extremos de un diámetro, es un triangulo rectángulo. Gráfico.
179.
Los puntos 𝐴(−9 ; 3) y 𝐵(7 ; 5) son vértices del triángulo 𝐴𝐵 𝐶. El punto 𝐻(6 ; 3) es la
intersección de las alturas. Hallar el vértice 𝐶. Gráfico.
180.
Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos focos se encuentran en los vértices de la
elipse de ecuación
𝑥2
100
+
𝑦2
64
= 1 y sus directrices pasan por los focos de la elipse dada. Gráfico.
181.
El vértice de una parábola de eje vertical es 𝑉(0 , 4). Una recta paralela al eje de abscisas
y que pasa por 𝐴(−6 , −1) determina en la parábola una cuerda de 10 unidades de longitud.
Hallar la ecuación general de la parábola. Gráfico.
182.
Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro 𝐶(8 ; 120°) y que pasa por el
punto 𝑃1 (4 ; 60°).Gráfico.
Cursillo π
17
Ing. Raúl Martínez