estadistica descriptiva media geometrica

ESTADISTICA DESCRIPTIVA
MEDIA GEOMETRICA
En matemáticas y estadística, la media geométrica de una
cantidad arbitraria de números (digamos n números) es la raíz
n-ésima del producto de todos los números. Y se señala con la
letra G.
G=
G=
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
G=
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
G=
NOTA: En muchas ocasiones, los valores de la distribución nos
impiden poder efectuar los cálculos al exceder la capacidad de
la calculadora.
Utilizaremos las propiedades de los logaritmos:
lg (a.b) = lg a + lg b
lg an = n lg a
1
1
n
n
lgG = lg(x1n1 x 2n2 x 33 .......xknk ) n = lg(x1n1 x 2n2 x33 .......xknk ) =
n
1
= (lgx1n1 + lgx22n2 + lgx3n3 + ....+ lgxknk )
n
Sabiendo que lo podemos expresar en notación compacta:
n lg x i
1
( n 1 lg x 1 + n 2 lg x 2 + n 3 lg x 3 + ...... + n k lg x k ) = ∑ i
= lg G ,
n
n
por
lo
que
podemos decir que
G = anti lg
∑
n i lg x i
n
El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los
logaritmos de los valores de la variable. El problema se presenta
cuando algún valor es 0 ó negativo y exponente de la raíz par ya que
no exista raíz par de un número negativo.
Suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una
progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas,
nº índices, etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes.
G=
EJEMPLO 10:
Sea una clase de 22 niños, en los cuales, la talla se reparte
del modo siguiente. Hallar la media geométrica:
Xi (Tallas)
ni(Frecuencias)
100
120
125
140
10
5
4
3
n = 22
lg G =
∑
n i lg x i
n
Por lo tanto será conveniente ampliar la tabla con lo que nos
quedará:
xi
100
120
125
140
ni
10
5
4
3
n = 22
lg G =
∑
n
i
n
lg xi
lg 100 = 2
lg 120 = 2.079
lg 125 = 2.097
lg 140 = 2.146
lg x
i
=
45 , 221
22
ni lg xi
20
10,396
8,387
6,438
45.221
==2,0555
2 , 056
G = anti lg. 2,0555 = 113,632 cm
OTRA MENERA DE HACERLO:
22
G
=
10010. 1205 . 1254 . 1403
Para el cálculo de la media geométrica, se suelen aplicar
logaritmos decimales, de manera que:
1
1
log G = ----- [ 10. log 100 + 5. log 120 + 4 . log 125 + 3 . log 140] = ------- [45,22193] = 2,05554
22
22
G = antilog [2,05554] = 113,6 cm
NOTA: En la calculadora el antilogaritmo
apretando la tecla SHIFT log x.
EJEMPLO 11:
G=
EJEMPLO 12:
se
halla
G=
EJEMPLO 13:
G=
Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas.
MEDIA ARMÓNICA
La media armónica, H, en una distribución de frecuencias se
define como la inversa de la media aritmética de los inversos
de los valores de la variable.
H=
n
n
=
ni n1 n2 n3
∑ x x + x + x + ....
i
1
21
3
La media armónica se utiliza cuando la variable está medida
en unidades relativas, por ejemplo, marcos/ptas., Km./h.,
etc., es decir, para promediar velocidades, tiempos,
rendimientos, etc. Cuando algún valor de la variable es 0 o
próximo a cero no se puede calcular.
EJEMPLO 14:
Sea una clase de 22 niños, en los cuales, la talla se reparte
del modo siguiente. Hallar la media Armónica:
Xi (Tallas)
ni(Frecuencias)
100
120
125
140
10
5
4
3
n = 22
Para poder hallarla, es necesario que calculemos el inverso de x y el
inverso de la frecuencia por lo que ampliaremos la tabla con 2
columnas adicionales:
xi
100
120
125
140
H=
ni
10
5
4
3
N= 22
n
22
= 112,82
=
ni
0,195
∑x
i
1/xi
1/100
1/120
1/125
1/140
X=
(1/xi * ni)
0.1
0.042
0.032
0.021
0.195
∑ x i ni
n
Entre la media aritmética la media geométrica y
siempre la siguiente relación:
H ≤ G ≤ X
=
xini
1000
600
500
420
2520
2520
= 114 ,545
22
media armónica se da
EJEMPLO 15:
Un hotel ha comprado a sus clientes, en tres días de una
semana, marcos alemanes a los siguientes tipos de cambio:
Tipo de cambio
X
89,9
87,5
89,3
Volumen comprado
ni
200
300
300
0,01112347
0,011428571
0,011198208
k
N = ∑ ni
i=1
800
N
1/xi
(1/xi). ni
2,2246941
3,428571428
3,359462486
------------------9,012728016
800
H = --------------------- = ------------------- = 88,76 ptas./marco cambio medio)
k
∑(1/xi).ni
i=1
9,012728016