Ecuación de segundo grado

UNEFA –C.I.N.U. Matemáticas 2011
Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N.,
Lorenzo J. y Gómez T. (2008) Fundamentos de Matemáticas, Unidad 5 Ecuaciones e
Inecuaciones, CIU 2008, UNEFA, Caracas.
Ecuación de segundo grado
Es una ecuación polinómica cuyo grado es dos (el mayor exponente de la variable es 2).
Por ejemplo
a) x 2  2x  3  0
b) 3y 2  y  2
c)
1 2 1
x   2x
2
4
En los ejemplos propuestos, (a) está ordenada e igualada a cero; (b) está ordenada pero
no está igualada a cero; y (c) no está ordenada ni igualada a cero.
Solución de una ecuación de segundo. grado
Para hallar la solución de una ecuación cuadrática (segundo grado) es recomendable
ordenarla en forma descendente e igualarla a cero, así tendremos:
a) x 2  2x  3  0
b) 3y2  y - 2  0
c)
1 2
1
x  2x   0
2
4
Resolver una ecuación cuadrática implica encontrar los valores de la variable que al
reemplazarla satisfagan la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución
dentro del conjunto de los números reales; para algunas ecuaciones la solución pertenece
al conjunto de los números imaginarios (lo cual está fuera del objetivo de esta unidad).
La ecuación general de segundo grado con una incógnita, se expresa como:
ax 2  bx  c  0 ,
donde:
“ a ” es el coeficiente de x 2 , a  0 , “ b ” es el coeficiente de x y
“ c ” es el término independiente.
La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula
cuadrática o resolvente:
 b  b 2  4bc
x
2a
Tenga presente que el denominador “2 a ”
pertenece a toda la expresión y no sólo a la raíz
cuadrada.
La expresión “ b 2  4ac ” se denomina el discriminante (  ) de la ecuación cuadrática y
determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos pueden presentar tres
casos:
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a) Si “ b 2  4ac ” es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
b) Si “ b 2  4ac ” es cero, la ecuación tiene sólo una solución real.
c) Si “ b 2  4ac ” es negativo, la ecuación no tiene solución en los números reales.
Resolveremos ahora algunos ejemplos mediante la fórmula cuadrática:
Hallar la solución de la ecuación 2 x 2  3x  2  0 , determinamos los
Ejemplo 1:
valores de a, b y c .
b =3
a= 2
c = -2
Luego calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac  3  4(2)( 2)    9  16    25
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos:
x
 3  25
35
; x
4
2( 2 )
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
x1 
35 2 1
 
4
4 2
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
x2 
solución:
35 8

 2
4
4
Las soluciones de la ecuación son
1 2
y
, pues al reemplazar estos valores en la
2
ecuación original, ésta se cumple.
Comprobación:
1
2
Si x 
Si x  2
 2  312 2  0
21
2
 
2 2  3 2  2  0
2
2 1  3 2  0
4
2
24  6  2  0
1  3 2  0
2
2
8–8=0
22  0 0  0
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0=0
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En ambos casos, se cumple la ecuación
Respuesta: La solución de la ecuación 2 x 2  3x  2  0 es x 
1
y x2
2
Resuelve 9 x 2  12 x  4  0
Ejemplo 2:
b = 12
a= 9
Determinamos los valores de a, b y c:
c= 4
Luego calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac  12  4(9)(4)    144  144    0
2
Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene una solución real.
x
- 12  12
2
 b  b 2  4bc
; x
; x

2 9 
18
3
2a
La solución de la ecuación es 
2
, pues al reemplazar este valor en la ecuación original,
3
ésta se cumple. Compruébalo.
Ejemplo 3:
2 x 2  3x  5  0
Resuelve la ecuación
Determinamos los valores de a, b y c :
b = -3
a= 2
c= 5
Luego calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac   3  4(2)(5)    9  40    31
2
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real.
Respuesta: la ecuación 2 x 2  3x  5  0 , no tiene solución en los números reales.
5
Resuelva x 2  x -1  0
6
Ejemplo 4:
Determinamos los valores de a, b y c : a = 1
b
5
6
c = -1
Luego calculamos el valor del discriminante:
2
25
169
 5
  b  4ac      4(1)(1)   
4
36
36
 6
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
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169
 5
5 13



6
36

x 
x 6 6
2( 1 )
2
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
5 13

18 3
x1  6 6 

2
12 2
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución:
5 13
8


8
2
x2  6 6  6  

2
2
12
3
Respuesta: Las soluciones de x 2 
Ejemplo 5:
Resuelva
5
3
2
x- 1  0 son x  y x  
6
3
2
5 2
2
m 2 m
6
3
Primero escribimos la ecuación en su forma general, pasando todos los términos para la
izquierda e igualando a cero:
5 2 2
m  m20
6
3
Determinamos los valores de a, b y c .
a
5
6
b
2
3
c  2
En este caso específico podemos convertir la ecuación en entera, para trabajar con mayor
facilidad. Si queremos llevar esta ecuación cuadrática a una equivalente, multiplicamos
por el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación, mcm(3,6) = 6.
5
 2 
6 m 2   6 m   62  0
6
 3 
Luego simplificando, nos queda la siguiente ecuación cuadrática:
5m 2  4m  12  0  a  5
b  4
c  12
Ahora calculamos el valor del discriminante:
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  b 2  4ac   4  4(5)( 12)    16  240    256
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
m
4  256
4  16
m
10
10
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
m
4  16 20

2
10
10
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
solución:
m
4  16  12
6


10
10
5
Respuesta: Las soluciones de
5 2
2
6
m  2  m son m  2 y m  
6
3
5
Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado
La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en
matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En
este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 6:
raíz.
Encuentra los valores de “ x ”, tal que x 2  dx  3  d  0 , tenga sólo una
De la definición del discriminante, sabemos que cuando b2  4ac es igual a cero (0), la
ecuación tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los valores de
a, b y c
a  1, b  d y c  3  d
Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero.
  0  b 2  4ac  0  d   4 13  d   0  d 2  4 3  d   0
2
d 2  12  4d  0  d 2  4d  12  0
Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática,
d 2  4d  12  0 , donde
a  1 b  4 c  12
Ahora calculamos el valor del discriminante:
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  b 2  4ac  4  4(1)( 12)    16  48    64
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
d
 (4)  64
48
d 
2(1)
2
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
d1 
48 4
 2
2
2
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
d2 
solución:
 4  8  12

 6
2
2
Las soluciones de la ecuación son d  2,
hacen
d  2,
que
la
d  6 , es decir, que los valores de “ d ” que
x 2  dx  3  d  0 tenga una sola solución, son
ecuación en x ,
d  6 y las ecuaciones resultantes de sustituir los valores de d , son:
x 2  2 x  1  0 y x 2  6x  9  0 .
Ejemplo 7:
Resolver la ecuación x 4  5x 2  36  0
Esta es una ecuación de cuarto grado, sin embargo, puede resolverse utilizando la
fórmula cuadrática o Factorizando, ya que todas las potencias de la variable son pares.
Para tal efecto debemos hacer un cambio de variable. Digamos que m  x 2 , sustituyendo
en la ecuación nos queda: m2  5m  36  0
Aplicando la fórmula cuadrática para
a 1
b  5
c  36
Calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac   5  4(1)( 36)    25  144    169
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
m
 ( 5)  169
2(1)
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m
5  13
2
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Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución:
m1 
5  13 18

9
2
2
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda
m2 
solución:
5  13  8

 4
2
2
Una vez encontrados los valores de m , debemos devolver el cambio de variable:
si
m  x2
entonces x   m
Si tomamos el valor de m  9 , entonces x   9 , es decir, x  3
Si m  4 , al sustituir en x , nos queda x    4   (*), por lo tanto, la solución de la
ecuación x 4  5x 2  36  0 , es x  3 y x  3 .
(*) Recordemos que si la cantidad sub-radical de una raíz de índice par es
negativa, dicho número no pertenece a los números reales, por lo tanto,
decimos que no es solución de la ecuación.
Con los dos últimos ejemplos, hemos querido indicar que podemos aplicar la resolverte en
ecuaciones, que en su forma original no son cuadráticas, pero pueden transformarse en
tales, mediante operaciones adecuadas.
Ejemplo 8:
Factorice la ecuación 2 x 2  5xy  3 y 2  0
En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables
como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra
variable base, entonces reescribimos la ecuación:
2 x 2  (5 y) x  3 y 2  0 , donde a  2, b  5 y y c  3y 2
Calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac   5 y   4(2)( 3 y 2 )    25 y 2  24 y 2    49 y 2
2
Como el discriminante resultó positivo, para cualquier valor de y , la ecuación tiene dos
soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
5 y  49 y 2
5y  7 y
x
x
2( 2 )
4
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Donde x1 
son
5 y  7 y 12 y
5y  7 y  2 y
1

 3 y y x2 

  y . Luego las soluciones
4
4
4
4
2
x  3y y x  
1
y . Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma:
2
1 

2 x 2  5 xy  3 y 2  2x  3 y  x  y  = x  3 y 2 x  y 
2 

Respuesta: 2 x 2  5xy  3 y 2  x  3 y (2 x  y )
Ejercicios Propuestos
Encuentra las soluciones de cada ecuación planteada:
x 2  3x  10  0
1.
2.
2 x 2  3x  2  0
3.  x 2  6 x  14  0
5. 6 x 2  2 x  3
6. 2  4 x  x 2  0
8. 4m2  4m  1  0
9. 9 y 2  6 y  1  0
10. 8m  m2  14
11. t 2  2t  24
12. 36 p 2  12 p  1  0
13. x 4  5x 2  14  0
14. y 4  12  7 y 2
4. 3x  1  2 x 2
y 2  4 y  21  0
7.
16.
1 2
 3
x2 x
17. 1 
19.
1 2 5
x  x3
4
3
12
20.
15. t 2 
1 6

x x2
1
1
t
2 16
18. m  1 
3 2
m
4
1 2 1
3
x  x
2
5
10
Encuentra los valores reales de “ k ” para que la ecuación tenga sólo una solución.
21. 2 x 2  kx  1  0
22. x 2  kx  7  11
24. 2 x 2  kx  k  0
25. x 2  k  3x  k 2  0
23. kx2  2kx  k  0
Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones.
26.
3x  4 6 x  5

4x  1 2x  7
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27.
3x  5 5 x  3

3x  1
x 1
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Aplicaciones Directas.
28. Para la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0
a) Demuestra que las sumas de sus raíces es igual a
b
b) Demuestra que el producto de sus raíces es igual a
c
a
a
29. Si la ganancia mensual de una empresa puede expresarse como
G(x) = – 0,0025x2 +27x – 66.000, donde “x” es el número de unidades producidas.
Determina el número de unidades “x” que producirá una ganancia de BsF 6900.
30. Cierta deuda se pagará en n meses, donde
416 
n
22  2n  1
2
¿En cuántos meses se pagará la deuda?
31. ¿Para qué valor o valores de x el costo iguala a la ganancia, si el costo es:
C(x) =  x 2  15x  16 y la ganancia es G(x) = 7 x  4 ?
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
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Ecuaciones Radicales
Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical.
Son ejemplos de ecuaciones radicales:
a)
4  2. x  2  2. 3
4
b)
2 x 1  1 
c)
3x  7 
x
x6  0
Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuenta lo siguiente: Si A y B son dos
expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto de
soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación A n = B n donde n es cualquier
entero positivo.
Ejemplo 9:
Resuelva
3x  6  x  2
Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:

3x  6
2  x  22
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al
cuadrado ambos miembros de la igualdad.
Desarrollamos el producto notable a  b  a 2  2ab  b2 del lado derecho
2
3x  6  x 2  4 x  4
Despejamos los valores de x , para igualar la ecuación a
cero. Entonces nos queda una ecuación cuadrática.
0  x 2  4 x  4  3x  6
a  1 , b  7 y c  10
x 2  7 x  10  0 , donde
Ahora calculamos el valor del discriminante:
  b 2  4ac   7  4(1)(10)    49  40    9
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
x
Donde x1 
 ( 7 )  9
73
x
2( 1 )
2
7  3 10

5 y
2
2
x2 
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
73 4
 2
2
2
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Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,
debemos comprobar ambos valores de x en la ecuación original, por sustitución.
Para x  5 la igualdad se cumple
3 5  6  5  2  15  6  3  9  3
(cierto)
Para x  2 la igualdad también se cumple
3 2  6  2  2 
00
3x  6  x  2 , es x  5 y x  2 .
Respuesta: La solución de la ecuación
Ejemplo 10: Resuelva
(cierto)
5x  1  2 x  3  1
Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformarse de la siguiente manera:
Primero elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad, para no alterar el valor de
la expresión.

 
2
5x  1 

2x  3  1
2
En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz cuadrada elevada al cuadrado, la
cual da como resultado la expresión sub-radical. En el lado derecho de la ecuación
tenemos un binomio al cuadrado (producto notable):
a  b2
 a 2  2ab  b2 donde a  2 x  3
y b  1.
Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecuación, tenemos
5x  1 


2
2x  3  2


2 x  3 1  1  5x  1  2 x  3  2 2 x  3  1
2
Despejamos la raíz cuadrada resultante
5x  1  2 x  3  1  2 2 x  3 
3x  3  2 2 x  3
Nuevamente, elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad
3x  32

 2 2x  3

2
Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el cuadrado del lado derecho
3x 2  23x 3  32  22 
2x  3

2
 9 x 2  18 x  9  42 x  3
9 x 2  18 x  9  8 x  12  9 x 2  18 x  9  8 x  12  0
9 x 2  26 x  3  0
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
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Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula cuadrática, donde:
a  9,
b  26
c  3
y
 b  b 2  4ac   26 
x

2a

26  784
18

26  28
18
 262  4 9 3 26 

2 9
x1 
x2 
676  108
18
26  28 54
 3
18
18
26  28  2
1


18
18
9
Como se hicieron operaciones algebraicas para convertirla en una ecuación cuadrática,
debes comprobar si ambos valores de x son la solución de la ecuación original:
5x  1  2 x  3  1.
Ejemplo 11:
3x  7 
Resuelve
x6  0
El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos que nunca va a dar
cero(0), por consiguiente no existe valor de x que satisfaga la ecuación, en consecuencia
la solución es VACIO (  )
Ejemplo 12: Resolver
4

4
4  2. x  2
 4 4  2. x  2   2. 3



4
 2. 3
 Eleva a la cuatro ambos miembros
4  2. x  2  144
 Resuelve las potencias
2. x  2  140
 Agrupa términos semejantes
 Divide entre 2 ambos miembros
x  2  70

x2

2
  70 
2
 Eleva al cuadrado ambos miembros
x  2  4900
 Resuelve las potencias
x  4902
 Pasa el 2 sumando para el otro lado de la igualdad
Comprueba por ti mismo la solución a la ecuación, sustituyendo el valor de x  4902
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
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Ejemplo 13:
Resuelva
x 
2
.
x
x  1.
x 
x .
x2 
2
x
1
 Multiplica por el m.c.m que es
x
 Resuelve los productos y simplifica
x
 x  2 2  
x
x

 Eleva al cuadrado ambos miembros y
2
x2  4x  4  x
 Resuelve
x 2  5x  4  0
 Factoriza
( x  4)( x  1)  0
 Si a  b  0  a  0 ó b  0
x  4 y x  1 . Verifica si cada una de ellas son soluciones de la
Por consiguiente
ecuación.
Respuesta: La única solución de
Ejemplo 14:


x  16 
x  16 
x  16
2
x 4
x
2  4 
x  16  16  8
08
x
  2 2

x
x  16  4 

x  16 
Resolver
2
x
x 
x
2
x x
x
Por consiguiente,
 1 es x  4 .
2

Eleva al cuadrado ambos miembros

Resuelve las potencias

Suma

Eleva al cuadrado ambos miembros

Resuelve las potencias

Agrupa términos semejantes
x a ambos lados
x0
Respuesta: La única solución de
x  16 
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
x
 2 es x  0 .
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Ejercicios Propuestos
Encuentra las soluciones de cada ecuación:
1.
5x  9  2 x  3
2.
x  2  3x  4
3.
3x  12  1  5x  9
4.
4 x 2  15  1  2 x
6.
x 
5.
x4 
7.
x2 
9.
11.
x 1
2x  1
6x 
 5
 2x
x7

12 x  1  0
3x  5  10  0
8. 2 
10.
12.
3
10
x
x5 
x 2  2x
 0
t t  6
2x  1  1 
x
13. Se ha determinado que el número de materias x , solicitadas por los estudiantes en
cierto semestre de una universidad, viene dado por x  3 x  3  1 . Determina la
menor y mayor cantidad de materias solicitadas.
Ecuaciones: Ecuaciones Cuadráticas y Radicales
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