I.C.A.I.-E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES RESISTENCIA DE MATERIALES. Ejercicios propuestos 1.-Una barra de sección circular, de 25 mm de diámetro, está sometida a una fuerza de tracción de 5000 kg, que se supone distribuida uniformemente en la sección. A partir de la definición de vector tensión, determinar sus componentes normal y tangencial en el plano A-A. A 60º F F A 250 2.-En el estado de tensiones de la figura (en kg/cm2), hallar: a) Valores de las tensiones normal y tangencial en el plano ABC. b) Valores y direcciones de las tensiones principales. c) Valor de la tensión tangencial máxima . B OA = 2 OB = 3 OC = 4 o A 150 200 400 400 600 3.-Dado el estado de tensiones de la figura (en kg/cm2), hallar: a) Tensiones en ABC. b) Tensiones y planos principales. c) Tensiones cortantes máximas, sus planos y las σ-s correspondientes. 200 500 400 A B 400 35º 500 C 200 500 500 150 C 500 200 4.-Hallar el incremento de longitud y el incremento de volumen que experimenta una barra suspendida del techo sometida a la acción de su propio peso. Datos: longitud=L; sección=A (uniforme); módulo de elasticidad=E; coeficiente de Poisson=µ; densidad = ρ 5.-La figura representa un estado plano de deformaciones; es decir: sólo son posibles las deformaciones según X e Y, siendo nulas en Z. Son datos: σx, coeficiente de Poisson (µ) ; σy= 4σx. a) Hallar la tensión según el eje Z. b) Determinar para qué intervalo de valores del coeficiente de Poisson del material (µ) la tensión tangencial máxima tiene lugar en planos paralelos al eje Z. ¿Cuál es la inclinación de dichos planos? σy σx Z 6.-Una barra homogénea de sección circular tiene un recubrimiento de pequeño espesor adherido a su superficie. Cuando la barra queda sometida a una tensión uniforme de tracción de 250 kg./cm2, el recubrimiento sufre unas deformaciones como consecuencia. Representar el círculo de Mohr correspondiente al estado de las tensiones que se producen en el recubrimiento en los planos normales a la superficie cilíndrica. Datos: Recubrimiento Barra 5 2 Módulo de elasticidad 0.75x10 kg/cm 1.7x106kg/cm2 Coeficiente de Poisson 0.20 0.35 recubrimiento σ σ 7.-En un punto del interior de un sólido las tensiones principales valen: 953, 267 y -370 kg/cm2. Determinar la tensión equivalente según los criterios de: Rankine, Tresca, SaintVenant, Von Mises y Mohr, así como los valores respectivos del coeficiente de seguridad. La tensión del límite elástico del material es 2400 kg/cm2, (supóngase igual a tracción que a compresión). Coeficiente de Poisson: µ = 0.30. 8.-Una columna de hormigón armado de 20x20 cm2 con 4∅20 (cuatro redondos de acero de 20 mm de diámetro), se carga con P = 30.000 kg (centrada). Hallar la tensión a que queda sometido cada material (hormigón y acero), y el acortamiento unitario de la columna. Datos: módulos de elasticidad: - acero Ea = 2,1·106 kg/cm2. - hormigón Eh = 2,1·105 kg/cm2. P=30000kg 4 ∅20 SECCION 9.-La barra de la figura tiene los extremos fijos. Sabemos que se ha producido un error de construcción de + 0.2mm., por lo que para su montaje será necesario someterla a una fuerza de compresión. Son datos: Dimensiones (mm): a=200 b=125 c=400 r1=50 r2=65 Sección circular. Características de los materiales: Material 1 Material 2 Modulo de elasticidad Coeficiente de dilatación 2.0x106 1.2x10-5 1.2x106 1.4x10-5 Material 3 0.75x106 kg/cm2 2.4x10-5 0 C -1 a)Definir la ley de variación de las tensiones normales a lo largo de la barra. b)Hallar la variación de temperatura que debe producirse para que se anulen dichas tensiones. r1 1 a r1 r2 2 b 3 2 b c 10.- Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal en la siguiente estructura, acotando los valores más característicos: 2m 30° 1000 kg 4m 2m 2000 kg 3000 kg·m 3m 3 11.- En la siguiente estructura, representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal en ABC, acotando los valores más característicos. 1 Carga q = 3000 kg/m C B A 0.5 D (Cotas en metros) 0.5 E 1 1 Apoyo móvil Articulaciones en A, B, C, D, E 12.- Representar las Leyes de Variación del momento flector, el esfuerzo cortante, el esfuerzo normal y el momento torsor en la estructura de la figura, acotando los valores más característicos: y abrazadera 1000 N A 500 N B 200 200 x 300 Cotas en mm. rueda sobre carril C z q uniforme 13.- La viga ABC tiene una longitud total de 5 m . Determinar dónde debe colocarse el apoyo B (hallar a) para que el Mf máximo sea lo menor posible . C B A a 5m 14.1.-Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal en la viga de la figura, acotando los valores más característicos: 5000 kg q =2000 kg/m 4 1 1 4 (metros) 14.2.a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta por dos tablones dispuestos como se indica en la figura (hallar a expresado en número entero de centímetros). Tensión admisible de la madera: σ tracción = 250 kg/cm2 σ compresión = 400 kg/cm2 b) Razonar si sería o no más conveniente invertir la posición de los tablones. 3a a 3a a 14.3.a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta por un perfil IPN. Platabandas b) Una solución alternativa consiste en elegir el segundo perfil anterior al que resulta en el apartado a) y suplementarlo, donde sea necesario, con platabandas de 80x10 mm. Comprobar si esta solución es aceptable y determinar el intervalo teórico de la viga en que habrían de colocarse las platabandas. σadm = 1600 kg/cm2 14.4.- En la viga: a) Para la solución de construirla con tablones, se han elegido éstos finalmente con dimensiones 27 x 9 cm. Se trata ahora de mantenerlos unidos mediante pernos de ∅12 mm. y τadm = 800 kg/cm2, dispuestos como se indica en la figura. Determinar el número de pernos necesarios por metro lineal de viga, en la zona más desfavorable. b) Para la solución con IPN-200 más dos platabandas, y suponiendo que cada una de éstas se sujeta al perfil por dos soldaduras continuas laterales de garganta = 6mm., hallar la tensión tangencial en el plano de la garganta de las soldaduras, en la sección más desfavorable. 15.1.- Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal en la viga de la figura, acotando los valores más característicos. Hallar además la expresión analítica del momento flector y el esfuerzo cortante en función de x. El origen está en O. qo = 6000 kg/m P = 6000 kg M = 2000 kg·m O 1 2 0.5 (Cotas en metros) 15.2a) Calcular los momentos de inercia y el producto de inercia de la sección de la figura respecto a los ejes Y-Z. b) Determinar si la sección es válida para la viga . σadm = 1600 kg/cm2 Z Y UPN-200 UPN-200 G SECCIÓN 16.- Hallar Wz de un cuadrado de 10 cm de lado en cada uno de los casos representados; en c) se han suprimido las esquinas superior e inferior, d = 0’8 cm. ¿Qué comentarios se te ocurren a la vista de los resultados? Cita otras secciones en las que pudieran darse circunstancias similares. d c) b) a) Z Z Z d 17.- Dimensionar la viga de la figura con perfil HEB. σadm = 1730 kg/cm2 6000 kg 2500 kg 1m 1m 1m 18.a) En la estructura de la figura, representar las leyes de variación de la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flector para q = 100 kg/m (la unidad de longitud de los kg/m se entiende en proyección horizontal). b) Hallar el máximo valor posible de q para σadm = 1730 kg/cm2. La sección transversal está constituida por dos IPN 160 colocados como se indica : q q a q q a Dato: a = 2’00 m. a a 19.- En la viga de la figura: a) Dimensionar la sección en el empotramiento con b = a, h =2a (dar a en número entero de mm.) b) Hallar la ley de variación de ancho b = b(x) para que la viga sea equirresistente; es decir, que la tensión normal máxima sea igual en todas las secciones. P = 1500 kg q=2000 kg/m x h 2m b Dar el resultado de forma que, para x en metros, se obtenga la b en mm.(Tómese el canto constante, igual al obtenido en a). c) La solución anterior da b = 0 para el extremo libre, lo que no permite soportar esfuerzo cortante alguno. Hallar b = b(x) para las proximidades de dicho extremo con la condición de que τmax sea constante. τadm = 800 kg/cm2 Datos: σadm = 1600 kg/cm2; 20.- La viga de la figura se ha dimensionado con la sección indicada para t = 8mm. a) Determinar la tensión principal máxima. b) ¿Para qué valores de x resulta que la tensión principal en B es mayor que la tensión principal en A? P=5000 kg t t 20t x L=0.50 m B A t 20t 21.1- Para el perfil representado en la figura, dibujar la ley de variación del esfuerzo cortante, acotando los valores más característicos. a) Para Ty = 10.000 kg. 100 b) Para Tz = 2.000 kg. 10 21.2.- Situación del centro de esfuerzos cortantes. 10 200 G 10 Cotas en mm 22.- Razonar la posición del centro de esfuerzos cortantes de las secciones representadas en la figura. 100 100 10 100 10 10 10 100 Cotas en mm 23.- En la barra representada en la figura, se pide: a) Máximo valor de la tensión normal. b) Tensión tangencial en el plano de la garganta de las soldaduras. Dato: Cordones de soldadura de 5mm de espesor y 50mm, de longitud eficaz, situados cada 0’25 m. 5mm L=50 mm cada 0’25 m 750 kg 2 IPN-200 0.5 m 1.5 m 1800 kg SECCION 5 mm Detalle de las soldaduras 24.- Las soldaduras A y B de la viga representada han sido dimensionadas en base a la fuerza cortante máxima. a) Obsérvese que las secciones de soldadura son (de forma aproximada) inversamente proporcionales a sus distancias dA y dB al eje del angular. Se pide: exponer una justificación de este criterio de proyecto. b) Hallar la tensión tangencial en cada una de las soldaduras para la fuerza cortante máxima. Datos: L = 4’50 m q = 1000 kg/m angulares: 40 x 6 platabanda: 250 x 10 (mm) soldaduras: sección eficaz de soldadura por unidad de longitud de viga A: 4’80 cm2/m B: 2’00 cm2/m A B A dA q G B A L dB B 25.- Una rueda motriz M dispone de una potencia de 100 kW y gira a 1000 r.p.m. De esta potencia se transmiten 60 kW a la rueda A y 40 kW a la rueda B. Dimensionar el eje de transmisión (diámetro) con el criterio: τadm = 800 kg/cm2, en los dos casos a) y b) representados en la figura. a) A M B 60kw 100 kw 40kw b) A M 60 kw 100 kw B 40kw 26.- La barra de la figura está sometida a dos leyes triangulares de carga de valor máximo qo. Se pide: a) Expresión analítica y representación gráfica de la ley de momentos torsores. b) Giro del extremo libre. Datos: qo, L, G, r (radio de la sección) qo qo l 27.1- La varilla doblada está situada en el plano XZ, soportada por cojinetes en A y B y por un cable en C. Está sometida a las fuerzas que se indican en la figura. Y 50 150 100 D 100 100 75 Fy=200N A C Z B E Cable Fz=300N Fx=100N X Representar las leyes de variación de las acciones internas en el tramo D-A-B-E. (Signos según el sistema de ejes habitual situado en la cara frontal de la rebanada). 27.2.a) Dimensionar el eje con el criterio de Tresca, τadm = 85 N/mm2. b) Id. con el criterio de Von Misses, σadm = 170 N/mm2. (La sección es circular, dar el diámetro en mm. Considerar sólo D-A-B-E.) M 28.1.- Una barra de sección cuadrada uniforme, empotrada en su extremo A y libre en el B, está sometida a los dos momentos M que se indican; uno de ellos está en el plano XY, y el otro en un plano a 45º que pasa por el eje X. Hallar la expresión analítica de las leyes de momentos flectores y de momentos torsores (en función de s) y dibujarlas acotando los valores más característicos. 28.2.- Dimensionar la barra (dar el lado del cuadrado en mm)con el criterio: σadm = 1600 kg/cm2. c) Dimensionar la barra con el criterio: τ adm = 800 kg/cm2. s B Y M X Z r=250 mm A M=5 kg·m 29.- El eje biempotrado de la figura tiene sección uniforme. Dibujar y acotar la ley de momentos torsores . 2 ton·m 3 ton·m 1 0.5 1 ( Cotas en m. ) 30.a) Dimensionar la sección de la viga de la figura con IPN, de forma que la flecha no exceda de 2’5 mm en ningún punto. b) Lo mismo, pero suprimiendo la articulación. Datos: a = 1’2m q = 800 kg/m E = 2,1·106 kg/cm2 c) Para el caso b), calcular la flecha en el extremo del voladizo utilizando el formulario de vigas. q articulación a 3a 31.- Aplicando los teoremas de Mohr, hallar el giro y la flecha en el extremo libre. Datos: qo, L, I 1, E. qo I2 = 2 I1 3 I1 L/2 I2 L/2 a 32.- La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la que actúa una fuerza F horizontal. Datos: articulación q L = 1’50 m F q = 400 kg/m F = 2000 kg L L E = 2,1·106 kg/cm2 Sección IPE-100 Se pide: a) Reacciones en los empotramientos y leyes de variación del momento flector, la fuerza cortante y la fuerza normal, acotando los valores más característicos. b) En la articulación, la flecha, y el ángulo que forman las dos tangentes. 33.- Datos de la estructura de la figura: a a = 3’00 m. b= 2’50 m c= 1’50 m q P = 2000 kg q = 800 kg/m E = 2,1·106 kg/cm2 Iz,pilar = 500 cm4 Iz,dintel = 700 cm4 Se pide: P a) Reacciones en el apoyo y en el b empotramiento, y leyes de momentos c flectores, fuerzas cortantes y fuerzas normales, acotando los valores más característicos. b) Giro del apoyo y de la esquina. c) Dibujar a estima (pero cuidando detalles: tangencias, inflexiones, etc.) la deformada de la estructura. 34.- La viga de la figura está soportada por un apoyo y dos tirantes, como se indica en la figura. Sección de cada tirante: 1 cm2 45º 45º Sección de la viga: IPE 120 E = 2,1·106 kg/cm2 Hallar: a) σ en los tirantes . q=1000 kg/m b) σmax en la viga . c) Flecha en los extremos . (Cotas en metros) 0’5 2 2 0’5 NOTA.- Este problema es más sencillo de lo que aparenta a primera vista. Obsérvese que la estructura es simétrica, lo que permite reducir el problema a un caso más simple. y 35.- Para el eje de la figura: a) Dimensionar con sección circular, con el criterio: σadm = 1600 kg/cm2. b) Representar el diagrama de giros y acotar los máximos (en radianes). Datos: P = 2500 kg E = 2,1·106 kg/cm2 µ = 0’3 a = 500 mm b = 700 mm r = 250 mm x z P r P r a a b 36.- Dimensionar el elemento resistente ABC-BD con sección circular maciza uniforme (dar el diámetro en nº entero de mm.), con el criterio: Flecha en D≤ 1 mm. Datos: y B 200 C A 200 P = 1000 kg 6 2 E = 2,1·10 kg/cm µ = 0’3 x (Cotas en mm. ) D P z 100 Indicación: Considerar las deformaciones por torsión y flexión en ABC y la deformación por flexión en BD. 37.- Dimensionar la sección de la viga de la figura con perfil IPN, con la condición de que la flecha en el punto de aplicación de la carga no exceda de 4 mm. E = 2,1·106 kg/cm2 P=4000 kg 1 38.- La barra ABC de la figura es de cobre con sección 25x25 mm2 ; los extremos A y C están unidos por un alambre de acero de 10 mm2 de sección. Se somete todo ello a un aumento de temperatura de 100 ºC. Se pide: a) Tensión a que queda sometido el alambre. b) Valor de la tensión normal máxima en ABC . c)Rotación de las secciones en A y C, y desplazamiento (horizontal y vertical) de B. Datos: Módulo de elasticidad (kg/cm2) ACERO 2·106 COBRE 106 Cotas en metros 1 2 2 B 200 200 A:25x25 A 45º 45º 2 A = 10mm Cotas en mm. Coeficiente de dilatación lineal (ºC-1 ) 10-5 2·10-5 C 39.- Calcular la flecha máxima y la σx máxima que resultan con el modelo de soporte esbelto sometido a carga excéntrica. E = 2,1 · 106 kg/cm2 P=10000 kg. M=5000 kg⋅m Sección 2Ipn 220 soldados a tope en las alas 4 m. x x y 40.- ¿Cuál es la longitud de pandeo, en el plano de la figura, en los casos siguientes? En todos los pórticos se supone el dintel infinitamente rígido. Supóngase que solo es posible el pandeo en el plano de la figura. a 2a a P 41.- Dimensionar la sección del pilar biempotrado de la figura con el criterio: N ⋅ω 1730 kg/cm2 ≥ A Datos: P = 30000 kg Acero A-42 E = 2,1·106 kg/cm2 Sección 2 Upn Soldados en cajón 6m P