Pauta de corrección del Certamen no 1 1. (25 pts) Formule el

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
Fundamentos de Informática I
Primer semestre de 2009
Pauta de corrección del Certamen no 1
1. (25 pts) Formule el siguiente argumento en lógica proposicional y derive lo solicitado
explicando su razonamiento.
Un detective ha tomado una declaración a cuatro testigos de un crimen. De
las declaraciones concluye que:
•
•
•
•
si el mayordomo dice la verdad, también lo hace el cocinero;
el cocinero y el jardinero no pueden ambos decir la verdad;
el jardinero y el gaster no están mintiendo ambos;
y si el gaster dice la verdad, entonces el cocinero miente.
Para cada uno de los testigos ¾puede el detective determinar si miente o dice
la verdad?
Solución:
Se denen las siguientes variables (5 pts):
m: el mayordomo dice la verdad
g : el gaster dice la verdad
j : el jardinero dice la verdad
c: el cocinero dice la verdad
Entonces, el argumento queda formalizado de la siguiente manera (10 pts):
m→c
(c ∧ ¬j) ∨ (¬c ∧ j)
o ¬(c ↔ j)
j∧g
g → ¬c
si el mayordomo dice la verdad, también lo hace el cocinero;
el cocinero y el jardinero no pueden ambos decir la verdad;
el jardinero y el gaster no están mintiendo ambos;
si el gaster dice la verdad, entonces el cocinero miente.
Se debe encontrar una asignación de valores de verdad a las variables proposiciones
que haga todas las declaraciones verdaderas (3 pts).
Para que j ∧ g sea verdadera, tanto j como g deben ser verdaderas. Si g es verdad,
para que g → ¬c sea verdadera c debe ser falsa. Si c es falsa, para que m → c sea
verdadera m debe ser falsa. Revisando, (c ∧ ¬j) ∨ (¬c ∧ j) es verdadera, ya que ¬c ∧ j
es verdadera.
Por lo tanto, el jardinero y el gaster dicen la verdad, y el cocinero y el mayordomo
mienten (7 pts).
2. (20 pts) Simplique la siguiente expresión, especicando en cada paso la propiedad,
equivalencia o razón para establecerla: p ∧ ((¬q → (r ∧ r)) ∨ ¬(q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ ¬s))))
Solución:
p ∧ ((¬q → (r ∧ r)) ∨ ¬(q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ ¬s)))) ≡
p ∧ ((¬q → r) ∨ ¬(q ∨ (r ∧ (s ∨ ¬s)))) ≡
p ∧ ((¬q → r) ∨ ¬(q ∨ r)) ≡
p ∧ ((q ∨ r) ∨ ¬(q ∨ r)) ≡
p ∧ ((q ∨ r) ∨ ¬(q ∨ r)) ≡ p
(aproximadamente 3 pts por ley)
Ley de Idempotencia, Ley Distributiva
Ley de Medio Excluido, Ley de Dominación
Elim. de implicancia, Ley de Doble Neg.
Ley de Medio Excluido, Ley de Dominación
3. (25 pts) Inera formalmente lo siguiente:
∀x(p(x) ∨ q(x))
∀x(¬q(x) ∨ r(x))
∃x¬p(x)
∀x(s(x) → ¬r(x))
∃x¬s(x)
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Paso
∃x¬p(x)
¬p(a)
∀x(p(x) ∨ q(x))
p(a) ∨ q(a)
q(a)
∀x(¬q(x) ∨ r(x))
¬q(a) ∨ r(a)
r(a)
∀x(s(x) → ¬r(x))
s(a) → ¬r(a)
¬s(a)
∃x¬s(x)
Línea
1,
3,
2, 4
6,
5, 7
9
8, 10
11
Razón
Premisa
Particularización existencial
Premisa
Particularización Universal
Silogismo Disyuntivo
Premisa
Particularización Universal
Silogismo Disyuntivo
Premisa
Particularización Universal
Modus Tollens
Generalización Existencial
Descuento de 3 pts por empezar por particularización universal en vez de existencial.
4. (30 pts) Demuestre que el cuadrado de un número entero par es un número par.
(a) por demostración directa
Solución: Dado que n es par, demostrar que n2 es par:
Si n es par, entonces se representa como: n = 2k , donde k ∈ Z. Al elevar esta
ecuación al cuadrado obtenemos: n2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) = 2l, donde l = 2k 2 . Si
n2 = 2l, entonces es un numero par. (12 pts)
Por lo tanto se demuestra que si n es par entonces n2 es par (3 pts).
(b) por demostración indirecta
+10 pts por lograrlo
(c) por contradicción (reducción al absurdo)
Solución: Sea n impar y n2 par. Como n es impar se puede escribir como: n =
2k + 1, donde k ∈ Z. Al elevar esta ecuación al cuadrado obtenemos: n2 =
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2m + 1, donde m = 2k 2 + 2k . Esto
último contradice nuestra suposición de que n2 es par. (12 pts)
Por lo tanto queda demostrado que dado un n par, n2 es par. (3 pts)