6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales

6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (elípticas, parabólicas e hiperbólicas)
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6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (elípticas,
parabólicas e hiperbólicas)
Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables
independientes y con coeficientes constantes puede pertenecer a uno de tres tipos
generales. Dicha clasificación solo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo
orden, suponiendo que al menos uno de los coeficientes es diferente de cero.[13]
La forma general de la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden, homogénea
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
A 2 +B
+C 2 + D
+E
+ Fu = 0
∂x∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
(1)
Donde A, B, C , D, E y F son constantes reales, y dependiendo del valor de B 2 − 4 AC , las
ecuaciones diferenciales se clasifican en tres grupos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas
Hiperbólica si
B 2 − 4 AC > 0
Parabólica
si
B 2 − 4 AC = 0
Elíptica
si
B 2 − 4 AC < 0
Otra forma de identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no es formal pero si
práctica, es observando el orden de las derivadas con respecto al tiempo. Cuando no se
tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son
usualmente hiperbólicas, las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son
parabólicas y las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas.
Ejemplo 6.3.1 Clasifique la ecuación 3
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∂ 2 u ∂u
=
∂x 2 ∂y
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∂ 2 u ∂u
−
= 0 , podemos observar el valor de los coeficientes de
∂x 2 ∂y
acuerdo a la forma general donde A = 3, B = 0 y C = 0 de tal manera que
Rescribiendo la ecuación 3
B 2 − 4 AC = ( 0 ) − 4(3)(0) = 0
2
Concluimos que es una ecuación parabólica
Ejemplo 6.3.2 Clasifique la ecuación
∂ 2u ∂ 2u
=
∂x 2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u
−
= 0 , podemos observar el valor de los coeficientes de
∂x 2 ∂y 2
acuerdo a la forma general donde A = 1, B = 0 y C = −1 de tal manera que
Rescribiendo la ecuación
B 2 − 4 AC = (1) − 4(1)(−1) = 3 , o sea que B 2 − 4 AC > 0 , por lo tanto concluimos que es
2
una ecuación hiperbólica.
Ejemplo 6.3.3 Clasifique la ecuación
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
Podemos observar el valor de los coeficientes de acuerdo a la forma general donde
2
A = 1, B = 0 y C = 1 de tal manera que B 2 − 4 AC = ( 0 ) − 4(1)(1) = −4 , o sea que
B 2 − 4 AC < 0 , por lo tanto concluimos que es una ecuación elíptica.
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
Ejemplo 6.3.4 Determine el tipo de la ecuación
+
+
=0
∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
Podemos observar el valor de los coeficientes de acuerdo a la forma general donde
A = 1, B = 1 y C = 1 de tal manera que B 2 − 4 AC = 12 − 4(1)(1) = −3 , o sea que
B 2 − 4 AC < 0 , por lo tanto concluimos que es una ecuación elíptica.
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Ejemplo 6.3.5 Determine el tipo de la ecuación
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∂ 2u
∂2u
∂2u
+
6
+
9
=0
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
Podemos observar el valor de los coeficientes de acuerdo a la forma general donde
2
A = 1, B = 6 y C = 9 de tal manera que B 2 − 4 AC = ( 6 ) − 4 (1)( 9 ) = 0 o sea que
B 2 − 4 AC = 0 , concluimos que es una ecuación parabólica
Ejemplo 6.3.6 Determine el tipo de la ecuación
∂ 2u
∂2u
9
=
∂x∂y
∂x 2
∂ 2u
∂2u
−
9
= 0 , podemos observar el valor de los coeficientes
∂x∂y
∂x 2
de acuerdo a la forma general donde A = 1, B = −9 y C = 0 de tal manera que
Rescribiendo la ecuación
B 2 − 4 AC = ( −9 ) − 4 (1)( 0 ) = 81 , o sea que B 2 − 4 AC > 0 , por lo tanto concluimos que
2
es una ecuación hiperbólica.
Ejemplo 6.3.7 Determine el tipo de la ecuación
∂ 2u
∂ 2 u ∂ 2 u ∂u
∂u
+
2
+ 2 +
−6
=0
2
∂x∂y ∂y
∂x
∂y
∂x
Podemos observar el valor de los coeficientes de acuerdo a la forma general donde
2
A = 1, B = 2 y C = 1 de tal manera que B 2 − 4 AC = ( 2 ) − 4 (1)(1) = 0 o sea que
B 2 − 4 AC = 0 , concluimos que es una ecuación parabólica
Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales maneja una clase
específica de problemas en ingeniería. Comúnmente las ecuaciones elípticas se usan para
caracterizar sistemas en estado estable. Por lo general este tipo de ecuaciones se emplean
para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones.
En contraste con las ecuaciones elípticas, las ecuaciones parabólicas determinan como una
incógnita varía tanto en espacio como en tiempo. Esto se manifiesta por la presencia de la
derivada espacial y temporal. Tales casos se conocen como problemas de propagación, ya
que la solución se propaga con el tiempo. Un ejemplo de esto es el problema de
transferencia de calor en estado transitorio de una barra delgada, en la cual la solución
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consiste en una serie de distribuciones espaciales que corresponden al estado de la barra en
diferentes momentos.
Las ecuaciones hiperbólicas, también tratan con problemas de propagación. Sin embargo,
una importante diferencia es la presencia de la segunda derivada con respecto al tiempo.
En consecuencia, la solución oscila. Esta diferencia de orden en la derivada temporal entre
las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, también se manifiesta en la forma que se
propaga la solución.
Por ejemplo, para los problemas definidos por ecuaciones hiperbólicas, en los cuales se
produce una perturbación en el contorno, esta perturbación viaja al interior del cuerpo pero
existe un intervalo de tiempo antes de que los puntos internos perciban esa perturbación.
Por el contrario, en los problemas con ecuaciones diferenciales parabólicas, los puntos en
interior perciben inmediatamente la perturbación en la frontera, pero el efecto se intensifica
con el tiempo.
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